1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 11.1 计数原理 【最新考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 计 数 原理 加法原理与乘法原理 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、 B、 C表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题 . 理解： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题 . 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题 . 排列与组合 二项式定理 【考点深度剖析】 本章知识点均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章
2、知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上 . 【课前检测训练】 【判一判】 判断下面结论是否正确 (请在括号中打“”或“” ) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 .( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 .( ) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只 有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 .( ) (4)如果完成一件事情有 n 个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法 mi(i 1,2,3，?， n)，那么完成这件事共有 m1m2m3? mn种方法 .( ) (5)在分步乘法计数原理
3、中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的 .( ) (6)所有元素完全相同的两个排列为相同排列 .( ) (7)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 .( ) (8)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 .( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (9)(n 1)！ n！ n n！ .( ) (10)Amn nAm 1n 1.( ) (11)kCkn nCk 1n 1.( ) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 【练一练】 1.三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下 .由甲开始踢，经过 3 次传递后，毽子又被踢回给甲 .则不同的传递方式共有 (
4、 ) A.5 种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】 B 【解析】传递方式有甲乙丙甲；甲丙乙甲 . 2.从 3名女同学和 2名男同学中选 1人主持主题班会，则不同的选法种数为 ( ) A.6 B.5 C.3 D.2 【答案】 B 【解析】 5个人中每一个都可主持，所以共有 5种选法 . 3.现有 4 种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有 ( ) A.24种 B.30种 C.36种 D.48种 【答案】 D 【解析】按 A B C D顺序分四步涂色，共有 4 3 2 2 48 种 . 4.用数字 2,3组成四位数，且数字 2,3
5、至少都出现一次，这样的四位数共有 _个 .(用数字作答 ) 【答案】 14 【解析】数字 2,3至少都出现一次，包括以下情况： =【 ;精品教育资源文库 】 = 5. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有 _种 . 【答案】 32 【解析】每位同学都有 2 种报名方法，因此，可分五步安排 5 名同学报名，由分步乘法计数原理，总的报名方法共 2 2 2 2 2 32(种 ). 6.用数字 1、 2、 3、 4、 5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( ) A.8 B.24 C.48 D.120 【答案】 C 【解析】末位数字排法有 A12种，其他位置排
6、法有 A34种， 共有 A12A34 48 种 . 7.某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有 ( ) A.4 种 B.10种 C.18种 D.20种 【答案】 B 【解析】方法一 不同的赠送方法有 A45A22A33 10 种 . 方法二 从 2本同样的画册， 3本同样的集邮册中取出 4本有两种取法：第一种：从 2本画册中取出 1本，将 3 本集邮册全部取出；第二种：将 2本画册全部取出，从 3本集邮册中取出 2本 .由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从 4位朋友中选出 1人赠送画册，
7、其余的赠送集邮册，有 C14 4种赠送方法；第二 种取法中只需从 4 位朋友中选取 2 人赠送画册，其余的赠送集邮册，有 C24 6 种赠送方法 .因此共有 4 6 10种赠送方法 . 8. 6把椅子摆成一排， 3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24 【答案】 D 【解析】“插空法”，先排 3个空位，形成 4个空隙供 3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A344 3 2 24. 9.从 4名男同学和 3名女同学中选出 3名参加某项活动，其中男女生 都有的选法种数为 _. 【答案】 30 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】分
8、两类：男 1 女 2 或男 2 女 1，各有 C14C23和 C24C13种方法，所以选法种数为 C14C23 C24C13 12 18 30.也可用间接法 C37 C34 C33 30. 10.某市拟从 4个重点项目和 6 个一般项目中各选 2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目 A和一般项目 B至少有一个被选中的不同选法的种数是 _. 【答案】 60 【解析】从 4 个重点项目和 6 个一般项目中各选 2 个项目作为本年度启动的项目，所有的选法种数是 C24C26 90. 重点项目 A和一般项目 B都没有被选中的选法种数是 C23 C25 30，故重点项目 A和一般项目 B至少有一个被
9、选中的不同选法种数是 90 30 60. 【题根精选精析】 考点 1:分类加法计数原理与分步乘法计数原理 【 1-1】 【 徐州 2015质量检测 】用 0， 1， ? ， 9十个数字，可以组成 有 重复数字的三位数的个数为 _ 【答案】 252 【 1-2】 【 2015届高考模拟考试（二）】我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5架歼一 15飞机准备着舰，如果甲 .乙两机必须相邻着舰，而丙 .丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法种数为 _ 【答案】 24 【解析】对甲 ,乙两机进行排列为 22A ,把甲乙两机捆绑在一起与除丙丁 外的一辆进行排列为 22A ,则有三个空给
10、丙丁去插有 33A 种 ,根据分步计数原理可得满足要求的一共有 2 2 32 2 3 24AAA? 种 【 1-3】 【 2015 扬州 调研考试 】 我们把各位数字之和为 6的四位数称为 “ 六合数 ”( 如 2 013是 “ 六合数 ”) ，则 “ 六合数 ” 中首位为 2的 “ 六合数 ” 共有 _个 【答案】 15 【解析】 依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为 4.由 4、 0、 0组成 3个数分别为 400、 040、004；由 3、 1、 0组成 6个数分别为 310、 301、 130、 103、 013、 031；由 2、 2、 0组成 3个数分别为 220、20
11、2、 022；由 2、 1、 1组成 3 个数分别为 211、 121、 112.共计： 3 6 3 3 15(个 ) 【 1-4】 【 苏州 2015联考 】 春节期间，某单位安排甲、乙、丙三人于正月初一至初五值班，每人至少值班一天，且每人均不能连续值班两天，其中初二 不安排 甲值班，则共有 _种不同的值班安排方案 【答案】 28 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 每人均不能连续值班两天，其中初二 不安排 甲值班 的方法数为 2 2 2 2 2 32? ? ? ? ?种，其中包含甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有 32 4 28? 种 【 1-5】某
12、大学的 8名同学准备拼车去旅游，其中大一、 大二、大三、大四每个年级各两名，分 乘 甲、乙两辆汽车 .每车限坐 4名同学 (乘同一辆车的 4名同学不考虑位置 )，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4名同学中恰有 2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有 种； 【答案】 24 综合点评： 这些题都是 分类计数原理 与分步计数原理的应用 , 解决 这一类问题时 ，首先必须弄清楚是 “ 分类 ” 还是 “ 分步 ” ，接着还要搞清楚 “ 分类 ” 或者 “ 分步 ” 的具体标准是什么 ,分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和得到总数；分步要做到“步
13、骤完整 ” 【基础知识】 1. 分类加法计数原理（加法原理）的概念 一般形式：完成一件事有 n类不同方案，在第 1类方案中有 1m 种不同的方法，在第 2类方案中有 2m 种不同的方法，?，在第 n类方案中有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= 1m + 2m +? + nm 种不同的方法 . 2分步乘法计数原理 (乘法原理 )的概念 一般形式：完成一件事需要 n 个步骤，做第 1步有 1m 种不同的方法，做第 2步有 2m 种不同的方法，?，做第 n步有 nm 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= 12 nm m m? ? ? 种不同的方法 . 3. 两个原理的区别： （ 1）“
14、每类”间与“每步”间的关系不 同：分类加法计数原理中的每一类方案中的任何一种方法、不同类之间的任何一种方法都是相互独立，互不依赖的，且是一次性的；而分步乘法计数原理中的每一步是相互依赖，且是连续性的 . （ 2）“每类”与“每步”完成的效果不同：分类加法计数原理中所描述的每一种方法完成后，整个事件就=【 ;精品教育资源文库 】 = 完成了，而分步乘法计数原理中每一步中的每一种方法得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事 . 4.切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行，同时要优先考虑题中的限制条件 . 【思想方法】 . 1. 计数问题中如何判定是分类加 法计数原理还是分步乘法计数原理：如果已知的每类方法中的每一种方法都能单独完成这件事，用分类加法计数原理；如果每类方法中的每一种方法只能完成事件的一部分，用分步乘法计数原理 2.利用分类计数原理解决问题时： (1)将一个比较复杂的问题分解为若干个“类别”，先分类解决，然后将其整合，如何合理进行分类是解决问题的关键 (2)要准确把握分类加法计数原理的两个特点： 根据问题的特点
