1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 11.6 矩阵与变换 1.在平面直角坐标系 xOy 中，设点 ? ?1,2A? 在矩阵 1001M ?对应的变换作用下得到点 A? ，将点? ?3,4B 绕点 A? 逆时针旋转 90 得到点 B? ，求点 B? 的坐标 【答案】 ? ?1,4? 2.选修 4 2：矩阵与变换 已知 a， b 是实数，如果矩阵 A 32ab?所对应的变换 T 把点 (2， 3)变成点 (3， 4) （ 1） 求 a， b 的值 （ 2）若矩阵 A 的逆矩阵为 B， 求 B2 【答案】 （ 1） a 1， b 5 （ 2） ? 45 112B【解析】（ 1）由 题意，得 3
2、2 32 3 4ab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 6 3a 3， 2b 6 4， 4 分 所以 a 1， b 5 6 分 （ 2）由（ 1），得 3152A ?由矩阵的逆矩阵公式得 2153B ? 8 分 =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 ? 45 112B 10 分 3.选修 4 2： 矩阵与变换 (本小题满分 10 分 ) 变换 T1是逆时针旋转 2? 角的旋转变换，对应的变换矩阵是 M1；变换 T2对应的变换矩阵是 M2 1101? （ 1）点 P(2， 1)经过变换 T1得到点 P，求 P的坐标； （ 2）求曲线 y x2先经过变换 T1，再经过变换 T
3、2所得曲线的方程 . 【答案】 （ 1） P(-1,2).（ 2） y x y2. 4.选修 4 2：矩阵与变换 已知曲线 C： x2 2xy 2y2 1，矩阵 A 1210?所对应的变 换 T 把 曲线 C 变成曲线 C1，求曲线 C1的方程 【答案】 x2 y2 2 【解析】设曲线 C 上的任意一点 P(x， y)， P 在矩阵 A 1210?对应的变换下得到点 Q(x ， y ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.选修 4 2：矩阵与变换 已知变换 T 把平面上的点 (3 4)?， ， (5 0)， 分别变换成 (2 1)?， ， ( 1 2)?， ，试求变换 T 对应的矩阵 M 【
4、答案】1 135 202 115 20? ?M 【解析】 设 abcd?M，由题意 ， 得 3 5 2 14 0 1 2abcd ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3 分 3 4 2513 4 15 2.abacdc? ? ? ? ?， 5 分 解得1,513,202,51120abcd? ? ? ? ?. 9 分 即1 135 202 115 20? ?M 10 分 6. 曲线 C1： x2 2y2 1 在矩阵 M ? ?1 20 1 的作用下变换为曲线 C2，求 C2的方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【答案】 (x 2y)2 2y2 1. 7. 求出
5、曲线 y2 4x 依次经过矩阵 A ? ?t 00 1 ， B ? ?0 11 0 作用下变换得到的曲线方程 x2 2y，求实数 t. 【答案】 2 【解析】 解：由已知得 BA ? ?0 11 0 ? ?t 00 1 ? ?0 1t 0 . 任取曲线 y2 4x 上一点 P(x0， y0)， 它在矩阵 AB 对应的变换作用下变为 P( x ， y) ， 即有 ? ?0 1t 0 ? ?x0y0 ? ?xy ， 则有? y0 x ，tx0 y ? y20 x 2，2tx0 2y. P 在曲线 x2 2y 上， x 2 2y. 即 y20 2tx0， y20 4x0， 比较 得 2t 4?t 2
6、. 8.已知曲线 C： x2 y2 1 在矩阵 M 对应的变换作用下得到曲线 C ： x24 y2 1，求矩阵 M. 【答案】 ? ?2 00 1 【解析】 解：在曲线 C 上任取一点 P(x， y)，点 P 在矩阵 M 作用下得点 P( x ， y) ， 设 M ? ?a bc d ，则 ? ?a bc d ? ?xy ? ?xy ， ? x ax by，y cx dy. 由题意? x 12x ，y y ，即? x 2x，y y， a 2， b 0， c 0， d 1， M ? ?2 00 1 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 9.已知向量 e1 ? ?11 是二阶矩阵 M ? ?a 1
7、0 b 的属于特征值 1 2 的一个特征向量 (1)求矩阵 M； (2)若 a ? ?21 ，求 M10a. 【答案】 （ 1） ? ?1 10 2 （ 2） ? ?1 0251 024 10.设矩阵 A ? ?m 00 n ，若矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 ? ?10 ，属于特征值 2 的一个特征向量为 ? ?01 ，求实数 m， n 的值 【答案】? m 1，n 2. 【解析】 解：由题意得? ? ?m 00 n ? ?10 1? ?10 ，?m 00 n ?01 2?01 ，化简得? m 1，0 n 0，0 m 0，n 2，所以? m 1，n 2. 11. 如果曲线 x2
8、4xy 3y2 1 在矩阵 ? ?1 ab 1 的作用下变换得到曲线 x2 y2 1，求 a b 的值 【答案】 a b 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 12.若一个变换所对应的矩阵是 ? ? 1 00 2 ，求抛物线 y2 4x 在这个变换下所得到的曲线的方程 【答案】 y2 16x. 【解析】 解：设 P(x， y)为 y2 4x 上任意一点， P( x ， y) 为变换后所得曲线上对应 P 的点，由题意? x x，y 2y， ? x x ，y y2 . ? ?y2 2 4( x) ，即 y 2 16x. 抛物线 y2 4x 经变换后的曲线方程为 y2 16x. 13. 已知矩阵
9、A ? ?0 1a 0 ， B ? ?0 2b 0 ，直线 l1： x y 4 0 经矩阵 A 所对应的变换得到 直线 l2，直线 l2又经矩阵 B 所对应的变换得到直线 l3： x y 4 0，求直线 l2的方程 【答案】 x 2y 4 0. 【解析】 解： BA ? ?0 2b 0 ? ?0 1a 0 ? ?2a 00 b ， 设 P(x， y)是 l1上的任意一点，其在 BA 所对应的变换作用下的像为 (x ， y) ，则 ? ?2a 00 b ? ?xy ? ?xy ，得? x 2ax，y by. 由题意可得，点 (x ， y) 在直线 l3上，所以 2ax by 4 0 即为直线 l
10、1： x y 4 0，故 a 12， b 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 此时 B ? ? 0 2 1 0 ，同理可设 Q(x0， y0)为 l2上的任意一点，其在 B 所对应的变换作用下的像为 (x 0， y 0)，则 ? ? 0 2 1 0 ? ?x0y0 ? ?x 0y0，得? x 0 2y0，y 0 x0. ，又 (x 0， y 0)在直线 l3上，所以 2y0 x0 4 0，故直线 l2的方程为 2y x 4 0，即 x 2y 4 0. 14.已知矩阵 A ? ?3 3c d ，若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 1 ? ?11 ，属于特征值 1 的一个特征向量为 2 ? ?3 2 .求矩阵 A，并写出 A 的逆矩阵 【答案】?23 12 13 12
