2022高考 数学真题 纯word版 全集.rar

学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2022 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学数学姓名姓名_ 准考证号准考证号_本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分页，选择题部分 1 至至 3 页；非选择题部分页；非选择题部分 3 至至4 页满分页满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。考生注意：考生注意：1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上。题纸规定的位置上。2答题时，请按照答题纸上答题时，请按照答题纸上“注意事项注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。卷上的作答一律无效。参考公式参考公式：如果事件 A，B 互斥，则 柱体的体积公式 ()( )( )P ABP AP BVSh如果事件 A，B 相互独立，则 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式()( )( )P ABP AP B若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次 13VSh独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式( )C(1)(0,1,2, )kkn knnP kppkn台体的体积公式 24SR 球的体积公式112213VSS SSh其中表示台体的上、下底面积， 12,S S343VRh 表示台体的高 其中 R 表示球的半径选择题部分（共选择题部分（共 40 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1设集合，则（ ）1,2,2,4,6ABAB A B C D21,22,4,61,2,4,6 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2已知（ 为虚数单位） ，则（ ）,3i(i)ia babRiA B C D1,3ab 1,3ab 1,3ab 1,3ab3若实数 x，y 满足约束条件则的最大值是（ ）20,270,20,xxyxy34zxyA20 B18 C13 D64设，则“”是“”的（ ）xRsin1x cos0 x A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5某几何体的三视图如图所示（单位：） ，则该几何体的体积（单位：）是（ ）cm3cmA B C D2282231636为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）2sin3yx2sin 35yxA向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度55C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度15157已知，则（ ）825,log 3ab34abA25 B5 C D259538如图，已知正三棱柱，E，F 分别是棱上的点记与所成的1111,ABCABC ACAA11,BC ACEF1AA角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）EFABCFBCA 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司A B C D9已知，若对任意，则（ ）, a bR,|4|25| 0 xa xbxxRA B C D1,3ab1,3ab1,3ab1,3ab10已知数列满足，则 na21111,3nnnaaaanNA B C D100521002a100510032a100731002a100710042a非选择题部分（共非选择题部分（共 110 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每题小题，单空题每题 4 分，多空题每空分，多空题每空 3 分，共分，共 36 分分11我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积” ，它填补了我国传统数学的一个空白如果把这个方法写成公式，就是，其中222222142cabSc aa，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面积设某三角形的三边，则该三角形的面积2,3,2abc_S 12已知多项式，则_，42345012345(2)(1)xxaa xa xa xa xa x2a _12345aaaaa13若，则_，_3sinsin10,2sincos214已知函数则_；若当时，则22,1,( )11,1,xxf xxxx 12ff , xa b1( )3f x的最大值是_ba15现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司数字的最小值为，则_，_(2)P( )E16已知双曲线的左焦点为 F，过 F 且斜率为的直线交双曲线于点，22221(0,0)xyabab4ba11,A x y交双曲线的渐近线于点且若，则双曲线的离心率是_22,B xy120 xx| 3|FBFA17设点 P 在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是128A AA12A A222182PAPAPA _三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18 （本题满分 14 分）在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，cABC已知345 ,cos5acC（）求的值；sin A（）若，求的面积11b ABC19 （本题满分 15 分）如图，已知和都是直角梯形，ABCDCDEFABDCDCEF5AB ，二面角的平面角为设 M，N 分别为3DC 1EF 60BADCDE FDCB60的中点,AE BC（）证明：；FNAD（）求直线与平面所成角的正弦值BMADE20 （本题满分 15 分）已知等差数列的首项，公差记的前 n 项和为 na11a 1d nanSnN（）若，求；423260Sa anS（）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求 d 的取值范围nNnc12,4,15nnnnnnac ac ac21 （本题满分 15 分）如图，已知椭圆设 A，B 是椭圆上异于的两点，且点22112xy(0,1)P在线段上，直线分别交直线于 C，D 两点10,2QAB,PA PB132yx 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司（）求点 P 到椭圆上点的距离的最大值；（）求的最小值|CD22 （本题满分 15 分）设函数e( )ln (0)2f xx xx（）求的单调区间；( )f x（）已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点, a bR( )yf x 112233,xf xxf xxf x证明：( , )a b（）若，则；ea 10( )12eabf a（）若，则1230e,axxx22132e112ee6e6eaaxxa（注：是自然对数的底数）e2.71828 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司2022 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考答案数学参考答案选择题部分（共选择题部分（共 40 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的1. D 2. B 3. B 4. A 5. C 6. D 7. C 8. A 9. D 10. B非选择题部分（共非选择题部分（共 110 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每题小题，单空题每题 4 分，多空题每空分，多空题每空 3 分，共分，共 36 分分11. .23412. . 8213. . . 3 10104514. . . #3728333+315. ， . #163512751716. 3 6417. 122 2,16三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18.（1）； 55（2）2219.（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、EDDCABEGDHGH四边形和都是直角梯形，ABCDEFCD/ /,/ /,5,3,1ABDC CDEF ABDCEF，由平面几何知识易知，60BADCDE 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司，则四边形和四边形是矩形，2,90DGAHEFCDCFDCBABC EFCGDCBH在 Rt和 Rt，EGDDHA2 3EGDH，且，,DCCF DCCBCFCBC平面是二面角的平面角，则，DC ,BCFBCFFDCB60BCF是正三角形，由平面，得平面平面，BCFDC ABCDABCD BCF是的中点，又平面，平面，可得，而NBCFNBCDC BCFFN BCFFNCD，平面，而平面BCCDCFN ABCDAD ABCDFNAD（2）5 71420.（1） 235(N )2nnnSn（2）12d21.（1）； 12 1111（2）6 5522.（1）的减区间为，增区间为. fxe02,e,2（2） （）因为过有三条不同的切线，设切点为，, a b ,1,2,3iixf xi 故， iiif xbfxxa故方程有 3 个不同的根， f xbfxxa该方程可整理为，21eeln022xaxbxxx设， 21eeln22g xxaxbxxx则 22321e1e1e22gxxaxxxxxx 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司，31exxax 当或时，；当时，0exxa( )0gx故在上为减函数，在上为增函数， g x 0,e , a e,a因为有 3 个不同的零点，故且， g x e0g 0g a故且，21eeelne0e2e2eab21eeln022aaabaaa整理得到：且，12eab eln2baf aa此时， 1e13e11lnln2e2e22e222aaabf aaaaa 设，则， 3eln22u aaa 2e-202au aa故为上的减函数，故， u ae, 3elne022eu a 故. 1012eabf a（）当时，同（）中讨论可得：0ea故在上为减函数，在上为增函数， g x 0, e,a,ea不妨设，则，123xxx1230exaxx因为有 3 个不同的零点，故且， g x 0g a e0g故且，21eeelne0e2e2eab21eeln022aaabaaa整理得到：，1ln2e2eaaba 因为，故，123xxx1230exaxx又， 2ee1ln2aag xxbxx 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司设，则方程即为：etx0,1eam2ee1ln02aaxbxx即为，2eln0e2eaatttb21ln02mmtttb记123123eee,tttxxx则为有三个不同的根，113, ,t t t21ln02mmtttb设，3131e1xtktxa1eam 要证：，即证，22122e112ee6e6eaaxxa13e2ee26e6eaatta即证：，13132166mmttm即证：，13131321066mmttttm即证：，2131313122236mmmttmm tt而且，21111ln02mmtttb23331ln02mmtttb故，22131313lnln102mttttmtt故，131313lnln222ttttmmtt 故即证：，21313131312lnln236mmmttmttm tt即证：1213313ln1312072tttmmmttt即证：，213121 ln0172mmmkkk 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司记，则， 1 ln,11kkkkk 2112ln01kkkkk设，则即， 12lnu kkkk 2122210u kkkkk 0k故在上为增函数，故， k1, km所以，22131213121 ln1 ln172172mmmmmmkkmmkm记， 211312ln,01721mmmmmmmm则， 2232322132049721330721721mmmmmmmm mm m所以在为增函数，故， m( )0,1 10m故即，211312ln0721mmmmmm213121 ln0172mmmmmm故原不等式得证： 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2022 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学数学姓名姓名_ 准考证号准考证号_本试题卷分选择题和非选择题两部分本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共全卷共 4 页，选择题部分页，选择题部分 1 至至 3 页；非选页；非选择题部分择题部分 3 至至 4 页满分页满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟.考生注意：考生注意：1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上写在试题卷和答题纸规定的位置上.2答题时，请按照答题纸上答题时，请按照答题纸上“注意事项注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效答，在本试题卷上的作答一律无效.参考公式：参考公式：如果事件 A，B 互斥，则 柱体的体积公式 ()( )( )P ABP AP BVSh如果事件 A，B 相互独立，则 其中 S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式()( )( )P ABP AP B若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次 13VSh独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式( )(1)(0,1,2, )kkn knnP kC ppkn台体的体积公式 24SR 球的体积公式112213VSS SSh其中表示台体的上、下底面积， 12,S S343VRh 表示台体的高 其中 R 表示球的半径选择题部分（共选择题部分（共 40 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则（ ）1,2,2,4,6ABABA. B. C. D. 21,22,4,61,2,4,6【答案】D【解析】 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用并集的定义可得正确的选项.【详解】，1,2,4,6AB 故选：D.2. 已知（ 为虚数单位） ，则（ ）,3i(i)ia babRiA. B. C. D. 1,3ab 1,3ab 1,3ab 1,3ab【答案】B【解析】【分析】利用复数相等的条件可求., a b【详解】，而为实数，故，3i1iab , a b1,3ab 故选：B.3. 若实数 x，y 满足约束条件则的最大值是（ ）20,270,20,xxyxy34zxyA. 20B. 18C. 13D. 6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐标系中画出可行域，平移动直线后可求最大值.34zxy【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线过时有最大值.340 xyzAz由可得，故，2270 xxy23xy2,3A 学科网（北京）股份有限公司故，max3 24 318z 故选：B.4. 设，则“”是“”的（ ）xRsin1x cos0 x A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：22sincos1xx当时，充分性成立；sin1x cos0 x 当时，必要性不成立；cos0 x sin1x 所以当，是的充分不必要条件.xRsin1x cos0 x 故选：A.5. 某几何体的三视图如图所示（单位：） ，则该几何体的体积（单位：）是（ cm3cm）A. B. C. D. 228223163【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体可知，原几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，即可根据球，圆柱，圆台的体积公式求出【详解】由三视图可知，该几何体是一个半球，一个圆柱，一个圆台组合成的几何体，球 学科网（北京）股份有限公司的半径，圆柱的底面半径，圆台的上底面半径都为，圆台的下底面半径为，所1cm2cm以该几何体的体积32222214122 1 1222 12 12333V 3cm故选：C6. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ 2sin3yx2sin 35yx）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度55C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度1515【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出【详解】因为，所以把函数图象2sin32sin 3155yxx2sin 35yx上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象152sin3yx故选：D.7. 已知，则（ ）825,log 3ab34abA. 25B. 5C. D. 25953【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出 学科网（北京）股份有限公司【详解】因为，即，所以25a821log 3log 33b 323b 22323232452544392aaabbb故选：C.8. 如图，已知正三棱柱，E，F 分别是棱上的点记1111,ABCABC ACAA11,BC AC与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面EF1AAEFABCFBCA角为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先用几何法表示出，再根据边长关系即可比较大小，【详解】如图所示，过点作于，过作于，连接，FFPACPPPMBCMPE则，EFP FEP FMP，tan1PEPEFPABtan1FPABPEPEtantanFPFPPMPE所以，故选：A9. 已知，若对任意，则（ ）, a bR,|4|25| 0 xa xbxxR 学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 1,3ab1,3ab1,3ab1,3ab【答案】D【解析】【分析】将问题转换为，再结合画图求解| |25|4|a xbxx【详解】由题意有：对任意的，有恒成立xR| |25|4|a xbxx设， |f xa xb 51,2525439,421,4x xg xxxxxxx即的图像恒在的上方（可重合） ，如下图所示： fx g x由图可知，或，3a 13b13a3143ba故选：D10. 已知数列满足，则（ ） na21111,3nnnaaaanNA. B. C. D. 100521002a100510032a100731002a100710042a【答案】B【解析】【分析】先通过递推关系式确定除去，其他项都在范围内，再利用递推公式 na1a( )0,1 学科网（北京）股份有限公司变形得到，累加可求出，得出，再利用1111133nnnaaa11(2)3nna1001003a，累加可求出11111111333132nnnaaann，再次放缩可得出111 1111133 23nnan 10051002a【详解】，易得，依次类推可得11a 220,13a 0,1na 由题意，即，1113nnnaaa1131133nnnnnaaaaa，1111133nnnaaa即，211113aa321113aa431113aa1111,(2)3nnnaa累加可得，即，11113nna 11(2),(2)3nnna，即，,3,22nann100134a100100100334a又，11111111,(2)333132nnnnaaann，211111132aa321111133aa431111134aa，111111,(3)3nnnaan累加可得，111 11111,(3)33 23nnnan ，10011 1111 1113333494393 23993 26a 即，即；100140a100140a10051002a综上：100510032a故选：B 学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.非选择题部分（共非选择题部分（共 110 分）分）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，单空题每题小题，单空题每题 4 分，多空题每空分，多空题每空 3 分，共分，共 36 分分11. 我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白如果把这个方法写成公式，就是，其中 a，b，c 是三角形的三边，S 是三角形的面222222142cabSc a积设某三角形的三边，则该三角形的面积_2,3,2abcS 【答案】.234【解析】【分析】根据题中所给的公式代值解出【详解】因为，所以222222142cabSc a24231234244 2S故答案为：.23412. 已知多项式，则42345012345(2)(1)xxaa xa xa xa xa x_，_2a 12345aaaaa【答案】 . . 82【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令求出，再令0 x 0a即可得出答案1x 【详解】含的项为：，故；2x 3232222244C12 C14128xxxxxx 28a 令，即，0 x 02a令，即，1x 0123450aaaaaa，123452aaaaa 故答案为：；82 学科网（北京）股份有限公司13. 若，则_，_3sinsin10,2sincos2【答案】 . . 3 101045【解析】【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求【详解】，即，2sincos3sincos10即，令，3 101010sincos10101010sin103 10cos10则，即，10sin1022kkZ，22k ，3 10sinsin2cos210k则224cos22cos12sin15 故答案为：；3 10104514. 已知函数则_；若当时， 22,1,11,1,xxf xxxx 12ff , xa b，则的最大值是_1( )3f xba【答案】 . . #3728333+3【解析】【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.ab【详解】由已知，2117( )2224f 77437( )144728f 所以，137( )228ff当时，由可得，所以，1x 1( )3f x2123x 11x 学科网（北京）股份有限公司当时，由可得，所以，1x 1( )3f x1113xx 123x等价于，所以，1( )3f x123x , 1,23a b 所以的最大值为.ba33故答案为：，.37283315. 现有 7 张卡片，分别写上数字 1，2，2，3，4，5，6从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则_，_(2)P( )E【答案】 . ， . #1635127517【解析】【分析】利用古典概型概率公式求，由条件求分布列，再由期望公式求其期望.(2)P【详解】从写有数字 1,2,2,3,4,5,6 的 7 张卡片中任取 3 张共有种取法，其中所抽取的卡37C片上的数字的最小值为 2 的取法有种，所以，112424CC C11242437CC C16(2)C35P由已知可得的取值有 1，2，3，4，2637C15(1)C35P16(2)35P，233377C31134C35C35PP， 所以,15163112( )1234353535357E 故答案为：，.163512716. 已知双曲线的左焦点为 F，过 F 且斜率为的直线交双曲线于22221(0,0)xyabab4ba点，交双曲线的渐近线于点且若，则双曲11,A x y22,B xy120 xx| 3|FBFA线的离心率是_【答案】3 64【解析】【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求AB2:blyxaB| 3|FBFA 学科网（北京）股份有限公司得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率AA【详解】过且斜率为的直线，渐近线，F4ba:()4bAB yxca2:blyxa联立，得，由，得()4byxcabyxa,3 3c bcBa| 3|FBFA5,99c bcAa而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.A2222222518181cb caa b228124ca3 6e4故答案为：3 6417. 设点 P 在单位圆的内接正八边形的边上，则的128A AA12A A222182PAPAPA 取值范围是_【答案】122 2,16【解析】【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在直线为轴，所37A Ax51A A在直线为轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设，再根据平面向量y( , )P x y模的坐标计算公式即可得到，然后利用2222212888PAPAPAxy 即可解出cos22.5| 1OP【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标37A Ax51A Ay系，如图所示： 学科网（北京）股份有限公司则,1345726222222(0,1),(1,0),(0, 1),( 1,0)222222AAAAAAA，设,于是，822,22A( , )P x y2222212888PAPAPAxy 因为，所以，故的取cos22.5| 1OP221 cos4512xy222128PAPAPA 值范围是.122 2,16故答案为：122 2,16三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤算步骤18. 在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知ABC345 ,cos5acC（1）求的值；sin A（2）若，求的面积11b ABC【答案】 （1）； 55（2）22【解析】【分析】 （1）先由平方关系求出，再根据正弦定理即可解出；sinC（2）根据余弦定理的推论以及可解出，即可由三角形面222cos2abcCab45aca积公式求出面积in12sSabC 学科网（北京）股份有限公司【小问 1 详解】由于， ，则因为，3cos5C 0C4sin5C 45ac由正弦定理知，则4sin5sinAC55sinsin45AC【小问 2 详解】因为，由余弦定理，得，45ac2222221612111355cos22225aaaabcCabaa即，解得，而，26550aa5a 4sin5C 11b 所以的面积ABC114sin5 1122225SabC 19. 如图，已知和都是直角梯形，ABCDCDEF/ /ABDC/ /DCEF5AB ，二面角的平面角为设3DC 1EF 60BADCDE FDCB60M，N 分别为的中点,AE BC（1）证明：；FNAD（2）求直线与平面所成角的正弦值BMADE【答案】 （1）证明见解析； （2）5 714【解析】【分析】 （1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、EDDCABEGDHG，由平面知识易得，再根据二面角的定义可知，由此可知，HFCBC60BCF，从而可证得平面，即得；FNBCFNCDFN ABCDFNAD（2）由（1）可知平面，过点做平行线，所以可以以点为原FN ABCDNABNKN 学科网（北京）股份有限公司点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求NKNBNFxyzNxyz出平面的一个法向量，以及，即可利用线面角的向量公式解出ADEBM 【小问 1 详解】过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点交于点、EDDCABEGDHGH四边形和都是直角梯形，ABCDEFCD，由平面几何知/ /,/ /,5,3,1ABDC CDEF ABDCEF60BADCDE 识易知，则四边形和2,90DGAHEFCDCFDCBABC EFCG四边形是矩形，在 Rt和 Rt，DCBHEGDDHA2 3EGDH，且，,DCCF DCCBCFCBC平面是二面角的平面角，则，DC ,BCFBCFFDCB60BCF是正三角形，由平面，得平面平面，BCFDC ABCDABCD BCF是的中点，又平面，平面，可得NBCFNBCDC BCFFN BCF，而，平面，而平面FNCDBCCDCFN ABCDAD ABCDFNAD【小问 2 详解】因为平面，过点做平行线，所以以点为原点， FN ABCDNABNKN，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，NKNBNFxyzNxyz设，则，(5, 3,0),(0, 3,0),(3,3,0),(1,0,3)ABDE3 33,22M3 33,( 2, 2 3,0),( 2, 3,3)22BMADDE 设平面的法向量为ADE( , , )nx y z由，得，取，00n ADn DE 22 302330 xyxyz( 3, 1, 3)n 设直线与平面所成角为，BMADE33 33 322|5 35 7sincos,14|397 2 33 1 3944n BMn BMnBM 学科网（北京）股份有限公司20. 已知等差数列的首项，公差记的前 n 项和为 na11a 1d nanSnN（1）若，求；423260Sa anS（2）若对于每个，存在实数，使成等比数列，求nNnc12,4,15nnnnnnac ac acd 的取值范围【答案】 （1） 235(N )2nnnSn（2）12d【解析】【分析】 （1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；ndnS(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.d【小问 1 详解】因为，42312601Sa aa ，所以，46211260ddd 所以，又，230dd1d 所以，3d 所以，34nan所以，213522nnaannnS【小问 2 详解】因为，成等比数列，nnac14nnac215nnac所以，212415nnnnnnacacac，2141115nnnndcnddcnddc 学科网（北京）股份有限公司，22(1488)0nncdndcd由已知方程的判别式大于等于 0，22(1488)0nncdndcd所以，22148840dndd 所以对于任意的恒成立，1688 12880dnddndnN所以对于任意的恒成立，212320ndndnN当时，1n 21232120ndnddd当时，由，可得2n 2214320dddd2d当时，3n 21232(3)(25)0ndndnn又1d 所以12d21. 如图，已知椭圆设 A，B 是椭圆上异于的两点，且点在22112xy(0,1)P0,21Q线段上，直线分别交直线于 C，D 两点AB,PA PB132yx （1）求点 P 到椭圆上点的距离的最大值；（2）求的最小值|CD【答案】 （1）； 12 1111（2）6 55【解析】 学科网（北京）股份有限公司【分析】 （1）设是椭圆上任意一点,再根据两点间的距离公式求出(2 3cos ,sin )Q，再根据二次函数的性质即可求出；2|PQ（2）设直线与椭圆方程联立可得，再将直线1:2ABykx1212,x x xx方程与的方程分别联立，可解得点的坐标，再根据两点间的132yx PAPB、,C D距离公式求出，最后代入化简可得，由柯西不等式即可求出CD23 5161231kCDk最小值【小问 1 详解】设是椭圆上任意一点,则(2 3cos ,sin )Q(0,1)P 222221144144|12cos(1 sin )13 11sin2sin11 sin111111PQ ，当且仅当时取等号，故的最大值是.1sin11 |PQ12 1111【小问 2 详解】设直线,直线方程与椭圆联立,可得1:2ABykxAB22112xy,设，所以，22130124kxkx1122,A x yB xy12212211231412kxxkx xk 因为直线与直线交于,111:1yPA yxx132yx C则,同理可得,.则111114422(21)1Cxxxxykx222224422(21)1Dxxxxykx12124415|142 (21)1(21)1CDxxCDxxkxkx121221212122 52 5(21)1 (21)1(21)(21)1xxxxkxkxkx xkxx 学科网（北京）股份有限公司，2223941 1161143 51616 56 56 5162315315315kkkkkk 当且仅当时取等号，故的最小值为.316k CD6 55【点睛】本题主要考查最值的计算，第一问利用椭圆的参数方程以及二次函数的性质较好解决，第二问思路简单，运算量较大，求最值的过程中还使用到柯西不等式求最值，对学生的综合能力要求较高，属于较难题22. 设函数e( )ln (0)2f xx xx（1）求的单调区间；( )f x（2）已知，曲线上不同的三点处, a bR( )yf x 112233,xf xxf xxf x的切线都经过点证明：( , )a b（）若，则；ea 10( )12eabf a（）若，则1230e,axxx22132e112ee6e6eaaxxa（注：是自然对数的底数）e2.71828【答案】 （1）的减区间为，增区间为. fxe02,e,2（2） （）见解析；（）见解析.【解析】【分析】 （1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2） （）由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有 3 个不同的解可证明不等式成立， （） ，则题设不等式可转化为31xkx1eam ，结合零点满足的方程进一步转化为2131313122236mmmttmm tt，利用导数可证该不等式成立.211312ln0721mmmmmm【小问 1 详解】， 22e12e22xfxxxx 学科网（北京）股份有限公司当，；当，e02x( )0fx故的减区间为，的增区间为. fxe02, fxe,2【小问 2 详解】（）因为过有三条不同的切线，设切点为，, a b ,1,2,3iixf xi 故， iiif xbfxxa故方程有 3 个不同的根， f xbfxxa该方程可整理为，21eeln022xaxbxxx设， 21eeln22g xxaxbxxx则 22321e1e1e22gxxaxxxxxx ，31exxax 当或时，；当时，0exxa( )0gx故在上为减函数，在上为增函数， g x 0,e , a e,a因为有 3 个不同的零点，故且， g x e0g 0g a故且，21eeelne0e2e2eab21eeln022aaabaaa整理得到：且，12eab eln2baf aa此时， 1e13e11lnln2e2e22e222aaabf aaaaa 设，则， 3eln22u aaa 2e-202au aa故为上的减函数，故， u ae, 3elne022eu a 故. 1012eabf a 学科网（北京）股份有限公司（）当时，同（）中讨论可得：0ea故在上为减函数，在上为增函数， g x 0, e,a,ea不妨设，则，123xxx1230exaxx因为有 3 个不同的零点，故且， g x 0g a e0g故且，21eeelne0e2e2eab21eeln022aaabaaa整理得到：，1ln2e2eaaba 因为，故，123xxx1230exaxx又， 2ee1ln2aag xxbxx 设，则方程即为：etx0,1eam2ee1ln02aaxbxx即为，2eln0