1、7.1 一元二次不等式 命题探究 答案 :8 解析 :sin A=2sin Bsin C, sin(B+C)=2sin Bsin C, 即 sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C, 亦即 tan B+tan C=2tan Btan C, tan A=tan -(B+C)=-tan(B+C) =- = , 又 ABC 为 锐角三角形 , tan A= 0,tan B+tan C0,tan Btan C1, tan Atan Btan C= tan Bta n C = , 令 tan Btan C-1=t,则 t0,tan Atan Btan C= =2 2(2+2)=
2、8, 当且仅当 t= ,即tan Btan C=2时 ,取 “=”. tan Atan Btan C 的最小值为 8.考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 不等式的解法 1.解不等式 2.由不等式求参数 C 填空题 解答题 分析解读 一元二次不等式很少单独命题 ,一般和其他知 识融合在一起考查 . 五年高考 考点 不等式的解法 1.(2016浙江理改编 ,1,5分 )已知集合 P=xR|1x3,Q=xR|x 24, 则 P( ?RQ)= . 答案 (-2,3 2.(2016课标全国 理改编 ,1,5分 )设集合 A=
3、x|x2-4x+30,则 AB= . 答案 3.(2013安徽理改编 ,6,5分 )已知一元二次不等式 f(x)0的解集为 . 答案 x|x0,区间 I=x|f(x)0. (1)求 I的长度 (注 :区间 (,) 的长度定义为 -); (2)给定常数 k(0,1), 当 1-ka1+k 时 ,求 I长度的最小值 . 解析 (1)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a0)有两个实根 x1=0,x2= , 故 f(x)0的解集为 x|x10,d(a)单调递增 ; 当 12,则实数 t的取值范围是 . 答案 t3 2.(2018江苏扬州中学高三月考 )已知函数 f(x)=x2-2x,xa,b 的值
4、域为 -1,3,则 b-a的取值范围是 . 答案 2,4 3.(苏教必 5,三 ,2,变式 )若关于 x的不等式 m(x-1)x2-x的解集为 x|13 5.(2017江苏苏州期中 )函数 y= 的定义域为 . 答案 (-2,1 6.(2016江苏南京三模 ,7)记不等式 x2+x-60 恒成立 ,则实数 a的取值范围是 . 答案 a|a-3 4.(2017江苏前黄高级中学第一次学情调研 ,6)已知函数 f(x)= 若对于任意 xR, 不等式 f(x) -t+1恒成立 ,则实数 t的取值范围是 . 答案 (-,13,+) 二、解答题 (共 30分 ) 5.(2018江苏金陵中学高三月考 )已知
5、函数 f(x)和 g(x)的图象关于原点对称 ,且 f(x)=x2+2x. (1)求函数 g(x)的解析式 ; (2)解不等式 g(x)f(x) -|x-1|; (3)若 h(x)=g(x)-f(x)+1 在 -1,1上是增函数 ,求实数 的取值范围 . 解析 (1)设函数 y=f(x)的图象上任一点 Q(x0,y0)关于原点的对称点为 P(x,y). 则 即 点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图象上 , -y=x2-2x,即 y=-x2+2x,故 g(x)=-x2+2x. (2)由 g(x)f(x) -|x-1|可得 2x2-|x-1|0. 当 x1 时 ,2x2-x+10, 此时不
6、等式无解 . 当 x -1,且 1 时 ,h(x)在 -1,1上是增函数 ,解得 -10恒成立 ,故图象始终与 x轴有两个交点 ,若 C?AB, 则这两个交点的横坐标 x1,x2 -1,1,所以 解得 :-1m1. (2)因为对任意 xR, 都有 f(1+x)=f(1-x),所以 f(x)的图象关于直线 x=1对称 , 所以 - =1,故 m=-4. 所以 f(x)=2(x-1)2-3,所以 f(x)在 上为减函数 . 所以 f(x)min=-2 ,f(x)max=2 ,故 xB 时 ,f(x)的值域为 -2 ,2 . C组 2016 2018 年模拟 方法题组 方法 1 一元二次不等式的解法
7、及应用 1.(2017江苏南京溧水中学质检 ,15)已知集合 A=x|(x-6)(x-2a-5)0,集合 B=x|(a2+2)-x(2a -x) ,且 “xA” 是 “xB” 的必要不充分条件 ,求实数 a的取值范围 . 解析 (1)当 a=5时 ,由 (x-6)(x-15)0,解得 x15,所以 A=(-,6)(15,+), 由 (27-x)(10 -x) 时 ,2a+56,a2+22a,A=( -,6)(2a+ 5,+),B=(2a,a 2+2), “xA” 是 “xB” 的必要不充分条件 ,B ?A, 显然 2a , 1,f(2)= ,则实数 a的取值范围是 . 答案 4.已知 f(x)
8、= 则 f(x)-1的解集为 . 答案 (-, -1)(0,1)(1,+) 方法 3 解含参数的一元二次不等式 5.(2017泰州第一次质量检测 )已知二次函数 f(x)=mx2-2x-3,关于 实数 x的不等式 f(x)0 的解集为 -1,n. (1)当 a0时 ,解关于 x的不等式 ax2+n+1(m+1)x+2ax; (2)是否存在实数 a(0,1), 使得关于 x的函数 y=f(ax)-3ax+1(x1,2) 的最小值为 -5?若存在 ,求实数 a的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 解析 由不等式 mx2-2x-30 的解集为 -1,n知 ,关于 x的方程 mx2-2x-3=0的两根为
9、 -1和 n,且 m0, 由根与系数的关系 ,得 解得 (1)原不等式可化为 (x-2)(ax-2)0, 当 00,且 2 或 x0,解得 xR 且 x2; 当 a1时 ,原不等式化为 (x-2) 0,且 2 ,解得 x2. 综上所述 ,当 01时 ,原不等式的解集为 . (2)存在 .假设存在满足条件的实数 a, 易知 f(x)=x2-2x-3, 则 y=f(ax)-3ax+1=a2x-(3a+2)ax-3. 令 ax=t(a2ta), 则 y=t2-(3a+2)t-3, 函数 y=t2-(3a+2)t-3的图象的对称轴为直线 t= , 因为 a(0,1), 所以 a20. 方程 两边平方 ,整理得 (2k-1)x2-(k2-1)x-k(k+1)2=0(xk). 当 k= 时 ,由 得 x= ,因为 ,所以原方程有唯一解 . 当 k 时 ,方程 整理为 (2k-1)x+k(k+1)(x-k-1)=0, 解得 x1= ,x2=k+1. i)k= 时 ,x1=x2,方程 有两个相等的实数根 ,此时 x= ,因为 ,所以原方程有唯一的解 . ii)0kk,x1-k= 0, 即 x1k. 故原方 程有两解 . iii)k 时 ,x1-k= k,故原方程有唯一解 . 综上所述 :当 k 或 k= 时 ,原方程有唯一解 ; 当 0k 且 k 时 ,原方程有两解 .
