1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 简单的三角恒等变换 1 函数 y sin xsin? ? 2 x 的最小正周期是 _ 解析 因为 y sin xcos x 12sin 2x， 所以 T 22 . 答案 2. 若 1 cos 2sin 2 12， 则 tan 2 _ 解析 因为 1 cos 2sin 2 2cos22sin cos cos sin 12， 所以 tan 2，所以 tan 2 2tan 1 tan2 41 4 43. 答案 43 3 化简 2 cos 2 sin21的结果是 _ 解析 2 cos 2 sin21 1 cos 2 1 sin21 2cos21 cos21
2、 3cos 1. 答案 3cos 1 4 已知 ABC 中 ， AB 2， C 3 ， 则 ABC 的周长为 _ 解析 设三边分别为 a， b， c， 则 asin A 2sin C， a 4 33 sin A， bsin? ?23 A 2sin C，b 4 33 sin? ?23 A ， ABC 的周长 l 4 33 sin A 4 33 sin? ?23 A 2 2 3sin A 2cos A 2 4sin? ?A 6 2. 答案 4sin? ?A 6 2 5 函数 y 3cos 4x sin 4x 的最小正周期为 _ 解析 y 3cos 4x sin 4x 2? ?32 cos 4x 1
3、2sin 4x =【 ;精品教育资源文库 】 = 2? ?cos 6cos 4x sin 6sin 4x 2cos? ?4x 6 ， 故 T 24 2. 答案 2 6.sin235 12sin 20 _ 解析 sin235 12sin 20 2sin235 12sin 20 cos 702sin 20 sin 202sin 20 12. 答案 12 7 函数 f(x) sin2x 3sin xcos x 在区间 ? ? 4 ， 2 上的最大值是 _ 解析 f(x) sin2x 3sin xcos x 1 cos 2x2 3sin 2x2 32 sin 2x 12cos 2x12 sin?2x
4、6 12， 当 x ?4 ，2 时 ， 2x6 ?3 ，56 ， 所以当 2x6 2 时 ， f(x)max 1 12 32. 答案 32 8 若 f(x) 2tan x2sin2x2 1sinx2cosx2， 则 f? ?12 的值为 _ 解析 因为 f(x) 2tan x1 2sin2x212sin x 2tan x 2cos xsin x 2sin xcos x 4sin 2x， 所以f? ?12 4sin 6 8. 答案 8 9 设 ? ?0， 2 ， 则 sin3cos cos3sin 的最小值为 _ 解析 sin3cos cos3sin sin4 cos4sin cos =【 ;精
5、品教育资源文库 】 = （ sin2 cos2 ） 2 2sin2 cos2sin cos 1sin cos 2sin cos . 令 sin cos t， 则 t 12sin 2 . 因为 ? ?0， 2 ， 所以 t ? ?0， 12 . 令 g(t) 1t 2t， 则 g(t)在 ? ?0， 12 上是减函数 ， 所以当 t 12时 ， g(t)min 2 1 1. 答案 1 10 (2016 高考江苏卷 )在锐角三角形 ABC 中 ， 若 sin A 2sin Bsin C， 则 tan Atan Btan C 的最小值是 _ 解析 由 sin A sin(B C) 2sin Bsin
6、 C 得 sin Bcos C cos Bsin C 2sin Bsin C，两边同时除以 cos Bcos C 得 tan B tan C 2tan Btan C， 令 tan B tan C 2tan Btan C m， 因为 ABC 是锐角三角形 ， 所以 2tan Btan C2 tan B tan C， 则 tan Btan C1， m2.又在三角形中有 tan Atan Btan C tan(B C)tan Btan C m1 12m 12m m2m 2 m 24m 2 4 2 （ m 2） 4m 2 4 8， 当且仅当 m 24m 2， 即 m 4 时取得等号 ， 故tan At
7、an Btan C 的最小值为 8. 答案 8 11 (1)化简 4cos4x 2cos 2x 1tan? ? 4 x sin2? ? 4 x； (2)求值： 4cos 50 tan 40 . 解 (1)原式 （ 1 cos 2x）2 2cos 2x 1tan? ? 4 x cos2? ? 4 x cos22xsin? ? 4 x cos? ? 4 x 2cos22xsin? ? 2 2x 2cos22xcos 2x 2cos 2x. (2)原式 4sin 40 sin 40cos 40 4sin 40 cos 40 sin 40cos 40 2sin 80 sin 40cos 40 =【 ;
8、精品教育资源文库 】 = 2cos（ 40 30 ） sin 40cos 40 2（ cos 40 cos 30 sin 40 sin 30 ） sin 40cos 40 3cos 40cos 40 3. 12 (2018 合肥模拟 )已知 cos? ? 6 cos? ? 3 14， ? ? 3 ， 2 . (1)求 sin 2 的值； (2)求 tan 1tan 的值 解 (1)因为 cos? ? 6 cos? ? 3 cos? ? 6 sin? ? 6 12sin? ?2 3 14， 所以 sin? ?2 3 12. 因为 ? ? 3 ， 2 ，所以 2 3 ? ? ， 43 ， 所以 c
9、os? ?2 3 32 ， 所以 sin 2 sin? ? ?2 3 3 sin? ?2 3 cos 3 cos? ?2 3 sin 3 12. (2)因为 ? ? 3 ， 2 ， 所以 2 ? ?23 ， ， 又由 (1)知 sin 2 12， 所以 cos 2 32 . 所以 tan 1tan sin cos cos sin sin2 cos2sin cos 2cos 2sin 2 2 32122 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 若 tan 1tan 4， 则 sin 2 _. 解析 法一：因为 tan 1tan 1 tan2tan 4， 所以 4tan 1 tan2 ， 所以
10、 sin 2 2sin cos 2sin cos sin2 cos2 2tan 1 tan2 2tan 4tan 12. 法二 ： 因为 tan 1tan sin cos cos sin 1cos sin 2sin 2 ， 所以 42sin 2 ， 故 sin 2 12. 答案 12 2 设 为锐角 ， 若 cos? ? 6 45， 则 sin? ?2 12 的值为 _ 解析 因为 为锐角 ， cos? ? 6 45， 所以 sin? ? 6 35， sin 2? ? 6 2425， cos 2? ? 6 725， 所以 sin? ?2 12 sin? ?2? ? 6 4 sin? ?2? ?
11、 6 cos 4 cos? ?2? ? 6 sin 4 17 250 . 答案 17 250 3.(2018 南通调研 )如图 ， 在 ABC 中 ， AB 3， AC 2， BC 4， 点 D在边 BC 上 ， BAD 45， 则 tan CAD 的值为 _ 解析 法一 ： 在三角形 ABC 中 ， AB 3， AC 2， BC 4， 由余弦定理可得 cos BAC 14， tan BAC 15， tan CAD tan( BAC 45 ) tan BAC tan 451 tan BACtan 45 8 157 . 法二 ： 同上得 tan BAC 15 ， 再由 tan(45 CAD) 1
12、5， 解之得 tan CAD 8 157 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 8 157 4 已知方程 x2 3ax 3a 1 0(a 1)的两根分别为 tan ， tan ， 且 ， ? 2 ，2 ， 则 _ 解析：由已知 得 tan tan 3a， tan tan 3a 1， 所以 tan( ) 1. 又因为 ， ? ? 2 ， 2 ， tan tan 3a 0， tan tan 3a 1 0，所以 tan 0， tan 0， 所以 ， ? ? 2 ， 0 ， 所以 ( ， 0)， 所以 34 . 答案： 34 5 已知 sin(2 ) 3sin ， 设 tan x， tan y，
13、 记 y f(x) (1)求 f(x)的解析式； (2)若角 是一个三角形的最小内角 ， 试求函数 f(x)的值域 解 (1)因为由 sin(2 ) 3sin ， 得 sin( ) 3sin( ) ， 即 sin( )cos cos( )sin 3sin( ) cos 3cos( )sin ， 所以 sin( )cos 2cos( ) sin ， 所以 tan( ) 2tan ， 于是 tan tan 1 tan tan 2tan ， 即 x y1 xy 2x， 所以 y x1 2x2， 即 f(x) x1 2x2. (2)因为角 是一个三角形的最小内角 ， 所以 0 3 ， 则 0 x 3，
14、 f(x) x1 2x2 11x 2x 12 1x 2x 24 ? ?当且仅当 x 22 时取 “ ” ， 故函数 f(x)的值域为 ? ?0， 24 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 (2018 江苏省四星级学校联考 )已知向量 a (2， cos 2x)， b ? ?cos2? ? 4 x ， 3 ，函数 f(x) a b. (1)若 f( ) 12， ? ?0， 2 ， 求 f? ? 6 的值； (2)若函数 g(x) af(x) b 的定义域为 ? ?0， 2 ， 值域为 1 3， 3， 求实数 a， b 的值 解：由题意知 f(x) 2cos2? ? 4 x 3cos 2x cos? ? 2 2x 1 3cos 2x2sin? ?2x 3 1. (1)因为 f( ) 2sin? ?2 3 1 12， 所以 sin? ?2 3 14.又 ? ?0， 2 ， 所以 2 3 ? ? 3 ， 23 ， 则 cos? ?
