1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6.1 数列的有关概念 命题探究 考纲解读 考点 内容解读 要求 五年高考统计 常考题型 预测热度 2013 2014 2015 2016 2017 1.数列的概念及通项公式 1.求通项公式 2.数列性质 A 填空题 解答题 2.数列的前 n项和及性质 数列前 n项和的求法及简单运用 A 填空题 解答题 分析解读 本节知识一般和数列其他内容综合在一起出题 ,考查数列的综合运用 ,作为数列的基础知识 ,需要熟练掌握 . 五年高考 考点一 数列的概念及通项 公式 1.(2015课标 ,16,5 分 )设 Sn是数列 an的前 n项和 ,且 a1=-1,an+1=S
2、nSn+1,则 Sn= . 答案 - 2.(2013安徽理 ,14,5分 )如图 ,互不相同的点 A1,A2,A n, 和 B1,B2,B n, 分别在角 O的两条边上 ,所有 AnBn相互平行 ,且所有梯形 AnBnBn+1An+1的面积均相等 .设 OAn=an.若 a1=1,a2=2,则数列 an的通项公式是 . 答案 an= 3.(2015重庆 ,22,12分 )在数列 an中 ,a1=3,an+1an+a n+1+ =0(nN +). (1)若 =0,= -2,求数列 an的通项公式 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若 = (k0N +,k02),= -1,证明 :2+
3、0,归纳可得 3=a1a2a nan+10. 因为 an+1= = =an- + , 所以对 n=1,2,k 0求和得 =a1+(a2-a1)+( - ) =a1-k0 + 2+ =2+ . 另一方面 ,由上已证的不等式知 a1a2 2,得 =a1-k0 + 1 000. 因为 29=5120,Sn=n2+n. 于是 a1=S1=2,n2 时 ,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n. 综上 ,数列 an的通项 an=2n. (2)证明 :由于 an=2n,bn= , 则 bn= = - . Tn= 1- + - + - + - + - =【 ;精品教育资源文库 】 =
4、 = 0,nN *. (1)若 a2,a3,a2+a3成等差数列 ,求数列 an的通项公式 ; (2)设双曲线 x2- =1的离心率为 en,且 e2=2,求 + + . 解析 (1)Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,两式相减得到 an+2=qan+1,n1. 又由 S2=qS1+1 得到 a2=qa1, 故 an+1=qan对所有 n1 都成立 . 所以 ,数列 an是首项为 1,公比为 q的等比数列 . 从而 an=qn-1. 由 a2,a3,a2+a3成等差数列 ,可得 2a3=a2+a2+a3, 所以 a3=2a2,故 q=2.所以 an=2n-1(nN *). (2)由
5、 (1)可知 ,an=qn-1. 所以双曲线 x2- =1的离心率 en= = . 由 e2= =2解得 q= . 所以 , + + =(1+1)+(1+q2)+1+q 2(n-1) =n+1+q2+q 2(n-1) =n+ =n+ (3n-1). 7.(2015课标 ,17,12 分 )Sn为数列 an的前 n项和 .已知 an0, +2an=4Sn+3. (1)求 an的通项公式 ; (2)设 bn= ,求数列 bn的前 n项和 . 解析 (1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 可得 - +2(an+1-an)=4an+1,即
6、 2(an+1+an)= - =(an+1+an)(an+1-an). 由 an0,可得 an+1-an=2. 又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去 )或 a1=3. 所以 an是首项为 3,公差为 2 的等差数列 ,通项公式为 an=2n+1.(6分 ) (2)由 an=2n+1可知 bn= = = . 设数列 bn的前 n项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+b n = = .(12分 ) 教师用书专用 (8 13) 8.(2016北京 ,15,13分 )已知 an是等差数列 ,bn是等比数列 ,且 b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求 an的通项公式 ; (
7、2)设 cn=an+bn,求数列 cn的前 n项和 . 解析 (1)等比数列 bn的公比 q= = =3,(1分 ) 所以 b1= =1,b4=b3q=27.(3分 ) 设等差数列 an的公差为 d. 因为 a1=b1=1,a14=b4=27, 所以 1+13d=27,即 d=2.(5分 ) 所以 an=2n-1(nN *).(6分 ) (2)由 (1)知 ,an=2n-1,bn=3n-1. 因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1.(8分 ) 从而数列 cn的前 n项和 Sn=1+3+(2n -1)+1+3+3 n-1 = + =n2+ .(13分 ) 9.(2015山东 ,18,12分
8、)设数列 an的前 n项和为 Sn.已知 2Sn=3n+3. (1)求 an的通项公式 ; (2)若数列 bn满足 anbn=log3an,求 bn的前 n项和 Tn. 解析 (1)因为 2Sn=3n+3,所以 2a1=3+3,故 a1=3, 当 n1时 ,2Sn-1=3n-1+3, =【 ;精品教育资源文库 】 = 此时 2an=2Sn-2Sn-1=3n-3n-1=23 n-1,即 an=3n-1, 所以 an= (2)因为 anbn=log3an, 所以 b1= , 当 n1时 ,bn=31-nlog33n-1=(n-1)3 1-n. 所以 T1=b1= ; 当 n1时 , Tn=b1+b
9、2+b3+b n= +13 -1+23 -2+(n -1)3 1-n, 所以 3Tn=1+13 0+23 -1+(n -1)3 2-n, 两式相减 ,得 2Tn= +(30+3-1+3-2+3 2-n)-(n-1)3 1-n = + -(n-1)3 1-n= - , 所以 Tn= - . 经检验 ,n=1时也适合 . 综上可得 Tn= - . 10.(2015浙江 ,20,15分 )已知数列 an满足 a1= 且 an+1=an- (nN *). (1)证明 :1 2(nN *); (2)设数列 的前 n项和为 Sn,证明 : (nN *). 证明 (1)由题意得 an+1-an=- 0, 即
10、 an+1a n, 故 an . 由 an=(1-an-1)an-1得 an=(1-an-1)(1-an-2)(1 -a1)a10. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 0an 得 = = (1,2, 所以 1 2. (2)由题意得 =an-an+1, 所以 Sn=a1-an+1. 由 - = 和 1 2 得 1 - 2, 所以 n - 2n, 因此 a n+1 (nN *). 由 得 (nN *). 11.(2014江西 ,17,12分 )已知首项都是 1的两 个数列 an,bn(bn0,nN *)满足 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0. (1)令 cn= ,求数列 cn的通
11、项公式 ; (2)若 bn=3n-1,求数列 an的前 n项和 Sn. 解析 (1)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn0(nN *), 所以 - =2,即 cn+1-cn=2. 因为 a1=b1=1,所以 c1= =1, 所以数列 cn是以 1为首项 ,2为公差的等差数列 , 故 cn=2n-1. (2)由 bn=3n-1知 an=cnbn=(2n-1)3n-1, 于是 数列 an的前 n项和 Sn=13 0+33 1+53 2+(2n -1)3 n-1, 3Sn=13 1+33 2+(2n -3)3 n-1+(2n-1)3 n, 相减得 -2Sn=1+2(3 1+32
12、+3 n-1)-(2n-1)3 n=-2-(2n-2)3n, 所以 Sn=(n-1)3n+1. 12.(2014山东 ,19,12分 )已知等差数列 an的公差为 2,前 n项和为 Sn,且 S1,S2,S4成等比数列 . (1)求数列 an的通项公式 ; (2)令 bn=(-1)n-1 ,求数列 bn的前 n项和 Tn. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)S1=a1,S2=2a1+ 2=2a 1+2, S4=4a1+ 2=4a 1+12, 由题意得 (2a1+2)2=a1(4a1+12), 解得 a1=1,所以 an=2n-1. (2)bn=(-1)n-1 =(-1)n-1 =(-1)n-1 . 当 n为偶数时 , Tn= - + - =1- = . 当 n为奇数时 , Tn= - + - + + + =1+ = . 所以 Tn= 13.(2014课标 ,17,12 分 )已知数列 an满足 a1=1,an+1=3an+1. (1)证明 是等比数 列 ,并求 an的通项公式 ; (2)证明 + + . 解析 (1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3 . 又 a1+ = ,所以 是首项为 ,公比为 3的等比数列 . an+ = ,因此 an的通项公式为 an= . (2)证明 :由 (1)知 = .
