1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测 (二十九） 等差数列及其前 n 项和 练基础小题 强化运算能力 1若等差数列 an的前 5 项之和 S5 25，且 a2 3，则 a7 _. 解析：由 S5 a2 a42 ，得 25 a42 ，解得 a4 7，所以 7 3 2d，即 d 2，所以 a7 a4 3d 7 32 13. 答案： 13 2在等差数列 an中， a1 0，公差 d0 ，若 am a1 a2 ? a9，则 m 的值为 _ 解析： am a1 a2 ? a9 9a1 982 d 36d a37，即 m 37. 答案： 37 3 (2018 启东中学月考 )在单调递增的等差数列
2、 an中，若 a3 1， a2a4 34，则 a1_. 解析：由题知， a2 a4 2a3 2，又 a2a4 34，数列 an单调递增， a2 12， a4 32.公差 d a4 a22 12. a1 a2 d 0. 答案： 0 4设等差数列 an的 前 n 项和为 Sn，若 a1 11， a3 a7 6，则当 Sn取最小值时， n等于 _ 解析：设等差数列 an的公差为 d.因为 a3 a7 6，所以 a5 3， d 2，则 Sn n212n，故当 n 等于 6 时 Sn取得最小值 答案： 6 5 (2018 苏南四校联考 )设各项均为正数的等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a5a3
3、 53，则 S9S5 _. 解析：法一：各项均为正数的等差数列 an中，由 a5a3 53得 a1 4da1 2d 53， a1 d， 即 an d (n 1)d nd，所以 Sn nd n n d2 n2 n2 d，所以S9S592 92 d52 52 d 3. 法二：等差数列 an中， a1 a9 2a5， a1 a5 2a3，所以 S9S5a1 a92a1 a52 9a55a3 95 53=【 ;精品教育资源文库 】 = 3. 答案： 3 练常考题点 检验高考能力 一、填空题 1 (2017 黄冈质检 )在等差数列 an中，如果 a1 a2 40， a3 a4 60，那么 a7 a8_.
4、 解析：由等差数列的性质可知， a1 a2， a3 a4， a5 a6， a7 a8 构成新的等差数列，于是 a7 a8 (a1 a2) (4 1)(a3 a4) (a1 a2) 40 320 100. 答案： 100 2 (2017 江阴三校联考 )已知 数列 an的首项为 3， bn为等差数列，且 bn an 1 an(n N*)，若 b3 2， b2 12，则 a8 _. 解析：设等差数列 bn的公差为 d，则 d b3 b2 14，因为 an 1 an bn，所以 a8a1 b1 b2 ? b7 b1 b72 72(b2 d) (b2 5d) 112，又 a1 3，则 a8 109.
5、答案： 109 3在等差数列 an中， a3 a5 a11 a17 4，且其前 n 项和为 Sn，则 S17 _. 解析：由 a3 a5 a11 a17 4，得 2(a4 a14) 4，即 a4 a14 2，则 a1 a17 2，故 S17 a1 a172 17. 答案： 17 4 (2017 全国卷 改编 )等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an前 6 项的和为 _ 解析：设等差数列 an的公差为 d， 因为 a2， a3， a6成等比数列，所以 a2a6 a23， 即 (a1 d)(a1 5d) (a1 2d)2. 又 a1 1，所以 d2
6、2d 0. 又 d0 ，则 d 2， 所以 an前 6 项的和 S6 61 652 ( 2) 24. 答案： 24 5设数列 an的前 n 项和为 Sn，若 SnS2n为常数，则称数列 an为 “ 吉祥数列 ” 已知等差数列 bn的首项为 1，公差不为 0，若数列 bn为 “ 吉祥数列 ” ，则数列 bn的通项公式为_ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：设等差数列 bn的公差为 d(d0) ， SnS2n k，因为 b1 1，则 n 12n(n 1)dk? ?2n 122 n n d ，即 2 (n 1)d 4k 2k(2n 1)d，整理得 (4k 1)dn (2k 1)(2 d) 0.
7、因为对任意的正整数 n 上式均成立，所以 (4k 1)d 0， (2k 1)(2 d) 0，解得d 2， k 14.所以数列 bn的通项公式为 bn 2n 1. 答案： bn 2n 1 6 (2018 南通模拟 )设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a2a4a6a8 120，且 1a4a6a8 1a2a6a8 1a2a4a8 1a2a4a6 760，则 S9的值为 _ 解析：由题意得 1a4a6a8 1a2a6a8 1a2a4a8 1a2a4a6 a2120 a4120 a6120 a8120 760，则 2(a2 a8) 14，即 a2 a8 7，所以 S9 a1 a92 92(a2
8、 a8) 632. 答案： 632 7 (2018 徐州质检 )在等差数列 an中，已知首项 a1 0，公差 d 0.若 a1 a260 ，a2 a3100 ，则 5a1 a5的最大值为 _ 解析：由题意得? a1 a260 ，a2 a3100 ， 所以 ? 2a1 d60 ，2a1 3d100. 设 x(2a1 d) y(2a1 3d)6a1 4d，所以? x y 3，x 3y 4， 解得 ? x 52，y 12，于是? 52 a1 d ，12 a1 3d ，两式相加得 5a1 a5200. 答案： 200 8记等差数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 a1 2，且数列 Sn也为等差数列，
9、则 a13_. 解析：设数列 an的公差为 d.因为 Sn为等差数列，所以 S1， S2， S3成等差数列，从而 2 4 d 2 6 3d，解得 d 4，所以 a13 2 12d 50. 答案： 50 9 (2018 金陵中学月考 )在等差数列 an中，已知 a4 a7 a10 15， ?i 414ai 77，若 ak 13，则正整数 k 的值为 _ =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：等差数列 an中 2a7 a4 a10， a4 a14 a5 a13 a6 a12 a7 a11 a8 a10 2a9，因为 a4 a7 a10 15， ?i 414ai 77，所以 3a7 15,11a9
10、 77，即 a7 5， a9 7，即 2d 2， d 1，因为 ak 13，所以 ak a9 13 7 6 6d (k 9)d，即 k 15. 答案： 15 10 (2018 无锡期初 )若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p 0， q 0)的两个不同的零点，且 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值为 _ 解析：由根与系数的关系得 a b p， a b q，则 a 0， b 0，当 a， b， 2 适当排序后成等比数列时， 2 必为等比中项，故 a b q 4， b 4a.当适当排序后成等差数列时， 2 必不是等差中项，当 a
11、是等差中项时， 2a 4a 2，解得 a 1， b 4；当 4a是等差中项时，8a a 2，解得 a 4， b 1.综上所述， a b p 5，所以 p q 9. 答案： 9 二、解答题 11已知数列 an满足 a1 1， an an 12an 1 1(n N*， n2) ，数列 bn满足关系式 bn 1an(n N*) (1)求证：数列 bn为等差数列； (2)求数列 an的通项公式 解： (1)证明： bn 1an，且 an an 12an 1 1， bn 1 1an 1 1an2an 1 2an 1an， bn 1 bn2an 1an 1an 2. 又 b1 1a1 1， 数列 bn是以
12、 1 为首项， 2 为公差的等差数列 (2)由 (1)知数列 bn的通项公式为 bn 1 (n 1)2 2n 1，又 bn 1an， an 1bn12n 1. 数列 an的通项公式为 an 12n 1. 12已知数列 an满足 2an 1 an an 2(n N*)，它的前 n 项和为 Sn，且 a3 10， S6 72，=【 ;精品教育资源文库 】 = 若 bn 12an 30，设数列 bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn的最小值 解： 2an 1 an an 2， an 1 an an 2 an 1， 故数列 an为等差数列 设数列 an的首项为 a1，公差为 d，由 a3 10， S6 72 得， ? a1 2d 10，6a1 15d 72， 解 得 a1 2， d 4. 故 an 4n 2，则 bn 12an 30 2n 31， 令? bn0 ，bn 10 ， 即 ? 2n 310 ，n 310 ， 解得 292 n 312 ， n N*， n 15， 即数列 bn的前 15 项均为负值， T15最小 数列 bn的首项是 29，公差为 2， T15 29 215 2 225， 数列 bn的前 n 项和 Tn的最小值为 225.
