1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时跟踪检测 （ 五十三 ） 几何概型 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1在区间 1,2上随机取一个数 x，则 |x|1 的概率为 _ 解析：因为 |x|1 ，所以 1 x1 ，所以所求的概率为 1 2 23. 答案： 23 2 (2017 南京五校联考 )四边形 ABCD 为长方形， AB 2， BC 1， O 为 AB 的中点，在长方形 ABCD 内随机取一点，取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为 _ 解析： 如图，依题意可知所 求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率 P S阴影S长方形 ABCD2 22 14. 答案： 1 4 3已知正棱锥
2、 SABC 的底面边长为 4，高为 3，在正棱锥内任取一点 P，使得 VPABC 12VSABC的概率是 _ 解析：由题意知，当点 P 在三棱锥的中截面以下时，满足 VPABC12 VSABC ，故使得 VPABC 12 VSABC 的 概 率 ： P 大三棱锥的体积小三棱锥的体积大三棱锥的体积 1 ?123 78. 答案： 78 4已知函数 f(x) x2 x 2， x 5,5，若从区间 5,5内随机抽取一个实数 x0，则所取的 x0满足 f(x0)0 的概率为 _ 解析：令 x2 x 20 ，解得 1 x2 ，由几何概型的概率计算公式得 P 2 5 310. 答案： 310 5 (2018
3、 苏锡常镇一模 )已知 1 是集合 (x， y)|x2 y21 所表示的区域， 2 是集合 (x， y)|y| x|所表示的区域，向区域 1内随机的投一个点，则该点落在区域 2内的概率为 _ 解析：作出区域 1(圆面 )、 2(阴影部分 )的示意图如图所示，根据几何概型的概率计=【 ;精品教育资源文库 】 = 算公式得，该点落在区域 2内的概率为 34. 答案： 34 6.如图所示，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA， OB 为直径作两个半圆在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 _ 解析：设扇形的半径为 2，则其面积为 224 ，记由两段小圆弧围成的阴影面积为
4、S1，另外三段圆弧围成的阴影面积为 S2，则 S1 2 ? ? 4 12 2 1， S2 4 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1，故阴影部分总面积为 2 ? ? 2 1 2，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为 2 1 2 . 答案： 1 2 二保高考，全练题型做到高考达标 1 (2018 苏州中学高三期末 )已知实数 a 2,5，则 a x R|x2 2x 30 的概率为 _ 解析：由 x2 2x 30 ，解得 1 x3 ，故所求概率 P 3 5 2 47. 答案： 47 2取一根长度为 5 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么所得两段绳子的长度都不小于 2 m 的概率是 _ 解析：
5、记 “ 两段绳子的长度都不小于 2 m” 为事件 A，则只能在中间 1 m 的绳子上剪断，所得两段绳子的长度才都不小于 2 m，所以事件 A 发生的概率 P(A) 15. 答案： 15 3在 4,4上随机取一个实数 m，能使函数 f(x) x3 mx2 3x 在 R 上单调递增的概率为 _ 解 析：由题意，得 f( x) 3x2 2mx 3，要使函数 f(x)在 R 上单调递增，则 3x2 2mx=【 ;精品教育资源文库 】 = 30 在 R 上恒成立，即 4m2 360 ，解得 3 m3 ，所以所求概率为 3 4 34. 答案： 34 4已知平面区域 D (x， y)| 1 x1 ， 1 y
6、1 ，在区域 D 内任取一点，则取到的点位于直线 y kx(k R)下方的概率为 _ 解析：由题设知，区域 D 是以原点为中心的正方形，直线 y kx 将其面积平分，如图，所求 概率为 12. 答案： 12 5在区间 ? ? 6 ， 2 上随机取一个数 x，则 sin x cos x 1， 2 的概率是 _ 解析：因为 x ? ? 6 ， 2 ，所以 x 4 ? ?12， 34 ， 由 sin x cos x 2sin? ?x 4 1， 2 ， 得 22 sin ? ?x 4 1 ，所以 x ? ?0， 2 ， 故要求的概率为2 02 ? 6 34. 答案： 34 6已知集合 A y|y x2
7、 2x， 2 x2 ， B x|x2 2x 30 ，在集合 A 中任意取一个元素 a，则 a B 的概率是 _ 解析： A y|y x2 2x， 2 x2 y| 1 y8 B x|x2 2x 30 x| 3 x1 . 则所求的概率为 1 8 49. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： 49 7 (2018 无锡调研 )设 a 0,10，则函数 g(x) a 2x 在区间 (0， ) 上为增函数的概率为 _ 解析：因为函数 g(x) a 2x 在区间 (0， ) 上为增函数，所以 a 2 0，解得 a 2，所以函数 g(x) a 2x 在区间 (0， ) 上为增函数的概率 P 210 15
8、. 答案： 15 8.如图，正四棱锥 SABCD 的顶点都在球面上，球心 O 在平面 ABCD 上，在球 O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为 _ 解析：设球的半径为 R，则所求的概率为 P V锥V球13122 R2 R R43 R312 . 答案： 12 9已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，在正方体内随机取点 M. (1)求四棱锥 MABCD 的体积小于 16的概率； (2)求 M 落在三棱柱 ABCA1B1C1内的概率 解： (1)正方体 ABCDA1B1C1D1中，设 MABCD 的高为 h，令 13 S 四边形 ABCD h 16， 因为 S 四边形 ABCD
9、1，所以 h 12. 若体积小于 16，则 h 12，即点 M 在正方体的下半部分， 所以 P12V正方体V正方体 12. (2)因为 V 三棱柱 121 21 12， 所以所求概率 P1 V三棱柱V正方体 12. 10已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为 0 的小球 1 个，标号为 1=【 ;精品教育资源文库 】 = 的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是 12. (1)求 n 的值 (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球 标号为 b. 记 “2 a b3” 为
10、事件 A，求事件 A 的概率； 在区间 0,2内任取 2 个实数 x， y，求事件 “ x2 y2 (a b)2恒成立 ” 的概率 解： (1)依题意共有小球 n 2 个，标号为 2 的小球 n 个，从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球概率为 nn 2 12，得 n 2. (2) 从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球， (a， b)所有可能的结果为 (0,1)， (0,2)，(0,2)， (1,2)， (1,2)， (2,2)， (1,0)， (2,0)， (2,0)， (2,1)， (2,1)， (2,2)，共有 12 种，而满足 2 a b3 的结果有 8 种，故 P(A)
11、 812 23. 由 可知， (a b)24 ，故 x2 y2 4， (x， y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为 x， y x2 ， 0 y2 ， x， y R ， 由几何概型得概率为 P22 142 222 14. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1 (2018 苏州考前模拟 )在区间 1,1上随机取一个数 x， cos x2 的值介于 0 到 12之间的概率为 _ 解析：在区间 1,1上随机取一个数 x，即 x 1,1时，要使 cos x2 的值介于 0 到12之间，需使2 x2 3 或3 x2 2 ，所以 1 x 23或23 x1 ，区间长度为23，由几何概型知， c
12、os x2 的值介于 0 到 12之间的概率为23213. 答案： 13 2 (2018 启东中学检测 )? R， n 0,2，向量 c (2n 3cos ， n 3sin )的长度不超过 6 的概率为 _ 解析： |c| n 3cos 2 n 3sin 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 4n2 12ncos 9cos2 n2 6nsin 9sin2 9 5n2 12ncos 6nsin 6 ，化简得 5n2 6n(2cos sin )27 ，即 5n2 6 5n ? ?25cos 15sin 27 ，即 5n2 6 5ncos( )27 ，其中 tan 1525 12，当 n0 时，变形
13、得 cos( ) 27 5n26 5n ，由于27 5n26 5n 0，令27 5n26 5n 1 ，即 5n2 6 5n 270 ，解得 0 n 3 55 ，此时向量 c 的长度不超过 6，又 n 0,2，由几何概型的概率公式得向量 c 的长度不超过 6 的概率为3 552 3 510 . 答案： 3 510 3已知关于 x 的二次函数 f(x) b2x2 (a 1)x 1. (1)若 a， b 分别表示将一质地均匀的正方体骰子 (六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求 y f(x)恰有一个零点的概率 (2)若 a， b 1,6，求满足 y f
14、(x)有零点的概率 解： (1)设 (a， b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有 (1,1)， (1,2)，(1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (2,1)， (2,2)， ? ， (6,5)， (6,6)，共 36 个 用 A 表示事件 “ y f(x)恰有一个零点 ” ， 即 (a 1)2 4b2 0，则 a 1 2b. 则 A 包含的基本事件有 (1,1)， (3,2)， (5,3)，共 3 个， 所以 P(A) 336 112. 即事件 “ y f(x)恰有一个零点 ” 的概率为 112. (2)用 B 表示事件 “ y f(x)有零点 ” ，即 a 12 b. 试验的全部结果所构成的区域为 (a， b)|1 a6,1 b6 ， 构成事件 B 的区域为 (a， b)|1 a6,1 b6 ， a 2b 10 ， 如图所示： =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以所求的概率为 P(B)1255255 14. 即事件 “ y f(x)有零点 ” 的概率为 14.
