1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 47 讲 抛物线 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质 2了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景 3理解数形结合思想 2017 全国卷 ， 20 2017 全国卷 ， 12 2017 天津卷， 12 2017 浙江卷， 21 1.求解与抛物线定义有关的问题；利用抛物线的定义求轨迹方程；求抛物线的标准方程 2求抛物线的焦点和准线；求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题 ) 分值： 5 分 1 抛物线的定义 平 面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)_距离相等 _的点的
2、轨迹叫做抛物线点 F 叫做抛物线的 _焦点 _，直线 l 叫做抛物线的 _准线 _. 2抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2 2px (p 0) y2 2px (p 0) x2 2py (p 0) x2 2py (p 0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O_(0,0)_ 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F_? ?p2， 0_ F_? p2， 0 _ F_? ?0， p2_ F_?0， p2 _ 离心率 e _1_ 准线 x p2 x p2 y p2 y p2 范围 x0 ， y R x0 ， y R y0 ， x R y0 ， x R 开口方向 向右 向左 向
3、上 向下 =【 ;精品教育资源文库 】 = 焦半径 (其中 P(x0， y0) | |PF _x0 p2_ | |PF _ x0 p2_ | |PF _y0 p2_ | |PF _ y0 p2_ 3与焦点弦有关的常用结论 (以右图为依据 ) 设 A(x1， y1)， B(x2， y2) (1)y1y2 p2， x1x2 p24. (2)|AB| x1 x2 p 2psin2 ( 为 AB 的倾斜角 ) (3) 1|AF| 1|BF|为定值 2p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)平面内
4、与一个定点 F和一条定直线 l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 ( ) (2)方程 y ax2(a0) 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是 ? ?a4， 0 ，准线方程是 x a4.( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形 ( ) 解析 (1)错误当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线，而非抛物线 (2)错误方程 y ax2(a0) 可 化为 x2 1ay 是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是?0， 14a ，准线方程是 y14a. (3)错误抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 2抛物线 y 2x2的准线方程是 ( D ) =【
5、;精品教育资源文库 】 = A x 12 B x 18 C y 12 D y 18 解析 抛物线方程为 x2 12y， p 14，准线方程为 y 18. 3抛物线 y2 24ax(a 0)上有一点 M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为 ( A ) A y2 8x B y2 12x C y2 16x D y2 20x 解析 准线方程为 l： x 6a， M 到准线的距离等于它到焦点的距离，则 3 6a 5， a 13，抛物线方程为 y2 8x. 4若点 P 到直线 x 1 的距离比它到点 (2,0)的距离小 1，则点 P 的轨迹为 ( D ) A圆 B 椭圆 C双曲线 D
6、抛物线 解析 由题意知，点 P 到点 (2,0)的距离与 P 到直线 x 2 的距离相等，由抛物线定义得点 P 的轨迹是以 (2,0)为焦点、以直线 x 2 为准线的抛物线 5在平面直角坐标系 xOy 中，有一点 A(2,2)在抛物线 y2 2px(p 0)上，则该抛物线的准线方程是 _x 12_. 解析 由题意可得 4 4p，解得 p 1，所以焦点 F? ?12， 0 ，准线方程为 x 12. 一 抛物线的定义及应用 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出 “ 两点之间线
7、段最短 ” ，使问题得解 (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用 “ 与直线上所有点的连线中垂线段最短 ” 原理解决 【例 1】 已知抛物线方程为 y2 4x，直线 l 的方程为 x y 5 0，在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1，到直线 l 的距离为 d2，则 d1 d2的最小值为 _3 2 1_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意知，抛物线的焦点为 F(1,0)，点 P 到 y 轴的距离 d1 | |PF 1，所以 d1 d2 d2 | |PF 1.易知 d2 | |PF 的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d2 | |PF 的最小值为
8、| |1 512 ? 1?2 3 2，所以 d1 d2的最小值为 3 2 1. 二 抛物线的标准方程及其几何性质 (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有 p，所以只需一个条件确定 p值即可 (2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程 (3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性 【例 2】 (1)已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的两条渐近线与抛物线 y2 2px(p 0)的准线分别交于 A， B 两点， O 为坐标原点若双曲
9、线的离心率为 2， AOB 的面积为 3，则p ( C ) A 1 B 32 C 2 D 3 (2)抛物线 x2 2py(p 0)的焦点为 F，其准线与双曲线 x23y23 1 相交于 A， B 两点，若 ABF 为等边三角形，则 p _6_. 解析 (1)因为双曲线的离心率 e ca 2，所以 b 3a，所以双曲线的渐近线方程为 y bax 3x，与抛物线的准线 x p2相交于点 A? ? p2， 32 p ，点 B? ? p2， 32 p ，所以 AOB 的面积为 12 p2 3p 3，又 p 0，所以 p 2. (2)在等边三角形 ABF 中， AB 边上的高为 p， AB2 33 p，
10、所以 B? ?33 p， p2 .又因为点 B在双曲线上，故p233p243 1，解得 p 6. 三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题 (1)直线与抛物线的位置关系和 直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与=【 ;精品教育资源文库 】 = 系数的关系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式 | |AB x1 x2 p；若不过焦点，则必须用弦长公式 【例 3】 (2017 浙江卷 )如图，已知抛物线 x2 y，点 A? ? 12， 14 ， B? ?32， 94 ，抛物线上的点 P(x， y)? ? 12 x 32 ，过点 B
11、作直线 AP 的垂线，垂足为 Q. (1)求直线 AP 斜率的取值范围； (2)求 |PA| PQ|的最大值 解析 (1)设直线 AP 的斜率为 k， kx2 14x 12 x 12. 因为 120)的左、右焦点，点 P 是抛物线 y2 8ax与双曲线的一个交点，若 | |PF1 | |PF2 12，则抛物线的准线方程为 _x 2_. 解析 将双曲线方程化为标准方程得 x2a2y23a2 1，抛物线的准线为 x 2a，联立? x2a2y23a2 1，y2 8ax?x 3a，即点 P的横坐标为 3a.而由 ? | |PF1 | |PF2 12，| |PF1 | |PF2 2a ?| |PF2 6
12、 a，又 双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同， | |PF2 3a 2a 6 a，解得 a 1， 抛物线的准线方程为 x 2. 4 (2018 贵州贵阳高三摸底考试 )过抛物线 C： y2 4x 的焦 点 F 且斜率为 k 的直线 l交抛物线 C 与 A， B 两点，且 |AB| 8. (1)求直线 l 的方程； (2)若 A 关于 x 轴的对称点为 D，抛物线的准线与 x 轴的交点为 E，求证： B， D， E 三点共线 解析 (1)F 的坐标为 (1,0)，则 l 的方程为 y k(x 1)，代入抛物线方程 y2 4x，得k2x2 (2k2 4)x k2 0， =【 ;精品教育资源文库 】
13、= 由题意知 k0 ，且 (2k2 4)2 4k2 k2 16(k2 1)0. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， x1 x2 2k2 4k2 ， x1x2 1， 由抛物线的定义知 |AB| x1 x2 2 8， 2k2 4k2 6， k2 1，即 k 1 ， 直线 l 的方程为 y ( x 1) (2)证明：由抛物线的对称性知，点 D 的坐标为 (x1， y1)， 又 E( 1,0)， kEB kED y2x2 1 y1x1 1 y2?x1 1? y1?x2 1?x1 1?x2 1?， y2(x1 1) y1(x2 1) y2 ? ?y214 1 y1 ?y224 1 y1y24
14、 (y1 y2) (y1 y2) (y1 y2)? ?y1y24 1 . 由 (1)知 x1x2 1， (y1y2)2 16x1x2 16， 又 y1与 y2异号 ， y1y2 4， 即 y1y24 1 0， kEB kED， 又 ED 与 EB 有公共点 E， B， D， E 三点 共线 易错点 对抛物线的标准方程认识不清 错因分析：将抛物线的非标准方程误认为是标准方程，得出错误的准线方程 【例 1】 抛物线 y ax2的准线方程是 y 1，则 a 的值为 ( ) A 14 B 14 C 4 D 4 解析 抛物线的标准方程即为 x2 1ay，所以准线方程为 y 14a 1，解得 a 14.故
15、选B. 答案 B 【跟踪训练 1】 抛物线 y 14x2的准线方程是 ( A ) A y 1 B y 2 C x 1 D x 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由 y 14x2得 x2 4y，焦点在 y 轴正半轴上，且 2p 4，即 p 2，因此准线方程为 y p2 1.故选 A 课时达标 第 47 讲 解密考纲 对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题、填空题的形式出现 一、选择题 1已知点 A( 2,3)在抛物线 C： y2 2px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为 ( C ) A 43 B 1 C 34 D 12 解析 因为点 A 在抛物线的准线上，所以 p2 2，所以该抛物线的焦点为 F(2,0)，所以 kAF 3 0 2
