1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 48 讲 曲线与方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 . 2016 全国卷 ， 20(1) 2016 全国卷 ， 20(2) 2015 湖北卷， 20(1) 求满足条件的动点轨迹及轨迹方程，用直接法和定义法较为普遍 分值： 3 5 分 1曲线与方程 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y) 0 的实数解建立了如下关系： (1)曲线上点的坐标都是 _这个方程 _的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是 _曲线上 _的点 那 么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 曲线可以看
2、作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题 2求曲线方程的基本步骤 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)f(x0， y0) 0 是点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y) 0 上的充要条件 ( ) (2)方程 x2 xy x 表示的曲线是一个点和一条直线 ( ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2 y2.( ) (4)方程 y x与 x y2表 示同一曲线 ( ) 解析 (1)正确由 f(x0， y0) 0 可知点 P(x0， y0)在曲线 f(x， y) 0 上，又 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)
3、 0 上时，有 f(x0， y0) 0.所以 f(x0， y0) 0 是 P(x0， y0)在曲线 f(x， y)=【 ;精品教育资源文库 】 = 0 上的充要条件 (2)错误方程变为 x(x y 1) 0，所以 x 0 或 x y 1 0，故方程表示直线 x 0或直线 x y 1 0. (3)错误当以两条互相垂直的直线为 x 轴， y 轴时，是 x2 y2，否则不正确 (4)错误因为方程 y x表示的曲线只是 方程 x y2表示的曲线的一部分，故其不正确 2到点 O(0,0)， A(c,0)距离的平方和为常数 c(c0) 的点的轨迹方程为 _2x2 2y2 2cx c2 c 0_. 解析 设
4、点的坐标为 (x， y)，由题意知 ( ?x 0?2 ?y 0?2)2 ( ?x c?2 ?y 0?2)2 c， 即 x2 y2 (x c)2 y2 c， 即 2x2 2y2 2cx c2 c 0. 3 MA 和 MB 分别是动点 M(x， y)与两定点 A( 1,0)和 B(1,0)的连线，则使 AMB 为直角的动点 M 的轨迹方程是 _x2 y2 1(x1)_ . 解析 点 M 在以 A， B 为直径的圆上，但不能是 A， B 两点 4平面上有三个点 A( 2， y)， B? ?0， y2 ， C(x， y)，若 AB BC ，则动点 C 的轨迹方程为 _y2 8x(x0)_ . 解析 A
5、B ? ?2， y2 ， BC ? ?x， y2 ， 由 AB BC ，得 AB BC 0， 即 2x ? ? y2 y2 0，即 y2 8x. 若 x 0，则 y 0，则 A， B， C 三点都 在 x 轴上，此时不存在 AB BC . 动点 C 的轨迹方程为 y2 8x(x0) 5已知圆的方程为 x2 y2 4，若抛物线过点 A( 1,0)， B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是 _ x24y23 1(y0) _. 解析 设抛物线焦点为 F，过 A， B， O(O 为坐标原点 )作准线的垂线 AA1， BB1， OO1，则 | |AA1 | |BB1 2| |OO1 4
6、，由抛物线定义得 | |AA1 | |BB1 | |FA | |FB ， | |FA | |FB 4，故点 F 的轨迹是以 A， B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆 (去掉长轴两端点 ) 一 定义法求轨迹方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 应用定义法求曲线方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解 【例 1】 已知圆 M： (x 1)2 y2 1，圆 N： (x 1)2 y2 9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C，求 C 的方程 解 析 由已知得圆 M 的圆心为 M( 1,0)
7、，半径 r1 1；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r2 3.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以 | |PM | |PN (R r1) (r2 R) r1 r2 4 2 | |MN .由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆 (左顶点除外 )，其方程为 x24y23 1(x 2) 二 直接法求轨迹方程 直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略 (1)题中给出等量关系，求轨迹方程直接代入即可得出方程 (2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程 【
8、例 2】 已知定点 A， B，且 |AB| 2a.如果动点 P 到点 A 的距离与到点 B 的距离之比为21 ，求点 P 的轨迹 解析 取 AB 所在的直线为 x 轴，从 A 到 B 为正方向，以 AB 的中点 O 为原点， 以 AB 的中垂线为 y轴，建立直角坐标系，则 A( a,0)， B(a,0)设 P(x， y)， | |PA| |PB 21，即 ?x a?2 y2?x a?2 y2 2，化简整理得 3x2 3y2 10ax 3a2 0，即 ? ?x 53a 2 y2 169a2.动点 P的轨迹是以 C? ?53a， 0为圆心， 43a 为半径的圆 三 相关点法求轨迹方程 相关点法求轨
9、迹方程的基本步骤 (1)设点：设被动点坐标为 (x， y)，主动点坐标为 (x1， y1) (2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式? x1 f?x， y?，y1 g?x， y?. (3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹 方程 【例 3】 设直线 x y 4a 与抛物线 y2 4ax 交于 A， B 两点 (a 为定值 )， C 为抛物线上任意一点，求 ABC 的重心的轨迹方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 设 ABC 的重心为 G(x， y)，点 C 的坐标为 (x0， y0)， A(x1， y1)， B(x2， y2) 由方程组? x y 4a，y2
10、 4ax， 消 y 并整理， 得 x2 12ax 16a2 0， x1 x2 12a， y1 y2 (x1 4a) (x2 4a) (x1 x2) 8a 4a. G(x， y)为 ABC 的重心， ? x x0 x1 x23 x0 12a3 ，y y0 y1 y23 y0 4a3 ，? x0 3x 12a，y0 3y 4a. 又点 C(x0， y0)在抛物线上， 将点 C 的坐标代入抛物线的方程，得 (3y 4a)2 4a(3x 12a)， 即 ? ?y 4a3 2 4a3(x 4a) 又点 C 与 A， B 不重合 ， x0(62 5)a， 即 3x 12a(62 5)a， 即 x ? ?6
11、 2 53 a， ABC 的重心的轨迹方程为 ? ?y 4a3 2 4a3(x 4a)? ?x ? ?6 2 53 a . 1已知点 A( 4,4)， B(4,4)，直线 AM 与 BM 相交于点 M，且直线 AM 的斜率与 BM 的斜率之差为 2，点 M 的轨迹为曲线 C，则曲线 C 的轨迹方程为 _x2 4y(x4)_ . 解析 设 M(x， y)，由已知得 kAM kBM y 4x 4 y 4x 4 2，化简得 x2 4y(x4) 2已知圆 C 的方程为 (x 3)2 y2 100，点 A 的坐标为 ( 3,0)， M 为圆 C 上任一点，线段 AM 的垂直平分线交 CM 于点 P，则点
12、 P 的轨迹方程为 _ x225y216 1 _. 解析 由题可知 C(3,0)， r 10，由中垂线性质知 | |PA | |PM ，故 | |PA | |PC | |PM | |PC | |CM 10，即点 P 的轨迹为以原点为中心，点 A， C 为焦点的椭圆， 2a 10， c3， b 4，故点 P 的轨迹方程为 x225y216 1. 3已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且 | |O1O2 4.动圆 M 与圆 O1内切，又 与圆 O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线 解析 如图所示，以 O1O2的中点 O 为原点， O1O
13、2所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 | |O1O2 4，得 O1( 2,0)， O2(2,0)设动圆 M 的半径为 r，则由动圆 M 与圆 O1内切，有 | |MO1 r 1， 由动圆 M 与圆 O2外切， 有 | |MO2 r 2， | |MO2 | |MO1 3， 点 M 的轨迹是以 O1， O2为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左支， a 32， c 2， b2 c2 a2 74， 点 M 的轨迹方程为 4x29 4y27 1?x 32 . 4设点 F(1,0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且 MN 2MP ， PM PF ，当点
14、P 在 y 轴上运动时，求点 N 的轨迹方程 解析 设 M(x0,0)， P(0， y0)， N(x， y) PM PF ， PM (x0， y0)， PF (1， y0)， (x0， y0)(1 ， y0) 0. x0 y20 0. 由 MN 2MP ，得 (x x0， y) 2( x0， y0)， ? x x0 2x0，y 2y0， 即 ? x0 x，y0 12y. x y24 0，即 y2 4x. 故所求的点 N 的轨迹方程是 y2 4x. 易错点 轨迹方程与实际的轨迹不对应 错因分析： 要注意参数的取值影响 x， y 的取值范围； 曲线的方程与方程的曲线要对应 【例 1】 如图，在正方
15、形 OABC 中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (10,0)，点 C 的坐标为 (0,10)，分别将线段 OA 和 AB 十等分，分点分别记为 A1， A2， ? ， A9和 B1， B2， ? ， B9，连接 OBi，过 Ai作 x 轴的垂线与 OBi交于点 Pi(i N*， 1 i9) 求证：点 Pi(i N*,1 i9)都在同一条抛物线上，并求 P 的轨迹方程 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 依题意，过 Ai(i N*,1 i9) 且与 x 轴垂直的直线方程为 x i， Bi的坐标为 (10，i)， 所以直线 OBi的方程为 y i10x. 设 Pi的坐标为 (x， y)，由? x i，y i10x， 得 y 110x2，即 x2 10y. 所以点 Pi(i N*,1 i9) 都在同一条抛物线上，且抛物线 E 的方程为 x2 10y. 由于 i 1,9，所以 x 0,10， y 0,10，从而点 P 的轨迹方程为 x2 10y(x0,10) 【跟踪训练 1】 已知 ABC 的顶点 B(0,0)， C(5,0)， AB 边上的中线长 |CD| 3，则顶点A 的轨迹方程为 _(x 10)2 y2 3
