1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 17 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解任意角和弧度制的概念 2 能进行弧度与角度的互化 3 理解任意角三角函数的定义 . 2017 北京卷 ， 9 2016 四川卷 ， 11 2015 福建卷 ， 6 1.根据角的终边上的点的坐标求三角函数值 2 根据三角函数值求参数值 3 利用三角函数的定义判断三角函数的图象 . 分值： 5 分 1 角的有关概念 (1)角的形成：角可以看成平面内 _一条射线 _绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 _图形 _. (2)从运动的角度看 ， 角可分为正角 、 _负角 _和 _零
2、角 _. (3)从终边位置来看 ， 角可分为象限角与轴线角 (4)若 与 是终边相同的角 ， 则 用 表示为 _ 2k ， k Z_. 2 弧度制 (1)定义：长度等于 _半径 _的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 ， 用符号 rad 表示 ， 读作弧度 (2)角 的弧度数：如果半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l， 那么角 的弧度数的绝对值是 | | _lr_. (3)角度与弧度的换算： 1 _ 180_rad,1 rad _? ?180 _. (4)弧长 、 扇形面积的公式：设扇形的弧长为 l， 圆心角大小为 rad， 半径为 r， 则 l _| |r_， 扇形的面积为 S 12lr
3、 _12| | r2_. 3 任意角的三角函数 (1)定义：设 是一个任意角 ， 它的终边与单位圆交于点 P(x， y)， 那么 sin _y_，cos _x_， tan _yx(x0) _. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)几何表 示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示正弦线的起点都在 x 轴上 ，余弦线的起点都是原点 ， 正切线的起点都是 (1,0) 如图中有向线段 MP， OM， AT 分别叫做角 的 _正弦线 _、 _余弦线 _和 _正切线 _. 1 思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)顺时针旋转得到的角是正角 ( ) (2)钝角是第二象限角 ( ) (3)若
4、两个角的终边相同 ， 则这两个角相等 ( ) (4)1 弧度的角就是长度为 1 的弧所对的圆心角 ( ) (5)终边在 y 轴上的角的正切值不存在 ( ) 解 析 (1)错误顺时针旋转得到的角是负角 (2)正确钝角的范围是 ? ? 2 ， ， 显然是第二象限角 (3)错误角 180 的终边与角 180 的终边相同 ， 显然它们不相等 (4)错误 .1 弧度的角是单位圆中长度为 1 的弧所对的圆心角 (5)正确终边在 y 轴上的角与单位圆的交点坐标为 (0,1)， (0， 1) 由三角函数的定义知 ， 角的正切值不存在 2 870 的终边在第几象限 ( C ) A一 B二 C三 D 四 解析 因
5、为 870 2360 150 ， 150 是第三象限角 ， 所以 870 的终边在第三象限 3 已知角 的终边经过点 ( 3， 1)， 则角 的最小正值是 ( B ) A 23 B 116 C 56 D 34 解析 sin 12 12， 且 的终边在第四象限 ， 的最小正值为 116 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 若 sin 0， 则 是 ( C ) A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 解析 由 sin 0，知 在第一或第三象限 ， 因此 在第三象限 5 弧长为 3 ， 圆心角为 135 的扇形半径为 _4_， 面积为 _6 _. 解析 弧长 l 3 ， 圆心角
6、 34 ， 由弧长公式 l | | r， 得 r l| | 334 4，面积 S 12lr 6. 一 角及其表示 (1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限 ， 一般是先将角化为 2k (0 0， 4m264m2 9125， 即 m12. =【 ;精品教育资源文库 】 = 三 扇形的弧长及面积公式的应 用 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时 ， 要注意角的单位必须是弧度 (2)求扇形面积的最大值时 ， 常转化为二次函数的最值问题 ， 利用配方法使问题得到解决 (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时 ， 要合理地利用圆心角所在的三角形 【例 3】 已知扇形的圆心角是 ， 半径为 R， 弧长为 l
7、. (1)若 60 ， R 10 cm， 求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 20 cm， 当扇形的圆心角 为多少弧度时 ， 这个扇形的面积最大？ (3)若 3 ， R 2 cm， 求扇形的弧所在的弓形的面积 解析 (1)l 10 3 103 (cm) (2)由已知得 l 2R 20， 所以 S 12lR 12(20 2R)R 10R R2 (R 5)2 25， 所以 R 5 时 ， S 取得最大值 25，此时 l 10 cm， 2 rad. (3)设弓形面积为 S 弓 ， 由题知 l 23 cm， S 弓 S 扇 S 12 23 2 122 2 sin 3 23 3(cm2) 1 若
8、sin tan 0， cos 30， sin 2cos 3tan 40 时 ， r 5a， sin yr 45， cos xr 35， tan yx 43. 【跟踪训练 1】 已知角 的终边上有一点 P(x， 1)(x0) ， 且 tan x， 求 sin ， cos . 解析 的终边过点 (x， 1)， tan 1x， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 tan x， x2 1， x 1. 当 x 1 时 ， sin 22 ， cos 22 ； 当 x 1 时 ， sin 22 ， cos 22 . 课时达标 第 17 讲 解密考纲 本考点主要考查任意角、弧度制和三角函数的概念通常以选择题
9、、填空题的形式呈现，安排在比较靠前的位置 一、选择题 1将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( C ) A 3 B 6 C 3 D 6 解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故 A， B 项不正确又因为拨快10 分钟，故应转过的角为圆周的 16，即 为 162 3.故选 C 2点 P 从 (1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动 23 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标为( A ) A ? ? 12， 32 B ? ? 32 ， 12 C ? ? 12， 32 D ? ? 32 ， 12 解析 由三角函数定义可知点 Q 的坐标 (x， y)满足 x cos23
10、 12， y sin23 32 . 3已知角 的终边经过点 (3a 9， a 2)，且 cos 0 ， sin 0，则实数 a 的取值范围是 ( A ) A ( 2,3 B ( 2,3) C 2,3) D 2,3 解析 由 cos 0 ， sin 0 可知，角 的终边在第二象限或 y 轴的正半轴上，所以有? 3a 90 ，a 20， 解得 20， sin cos |cos |， cos 2 |cos |2 |sin |20. (1)求 角的集合； (2)求 2 的终边所在的象限； (3)试判断 tan 2sin 2cos 2 的符号 解析 (1)由 sin 0，知 的终边在第一、三象限， 故 的终边在第三象限，其集合为 ? ? ?2k 1?0， cos 20， 所以 tan 2sin 2cos 2 也取正号 综上所述， tan 2 sin 2cos 2 取正号
