1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 七 十五 绝对值不等式 (45分钟 60分 ) 1.(10分 )(2018保定模拟 )已知函数 f(x)=|x-1|+|x+1|-2. (1)求不等式 f(x) 1的解集 . (2)若关于 x的不等式 f(x) a2-a-2在 R上恒成立 ,求实数 a的取值 范围 . 【解析】 (1)原不等式价于 或 或 解得 :x - 或 x , 所以不等式的解集为 . (2)因为 f(x)=|x-1|+|x+1|-2 |(x-1)-(x+1)|-2=0, 且 f(x) a2-a-2在 R上恒成立 , 所以 a2-a-2 0,解得 -1 a 2, 所以实数 a
2、的取值范围是 -1 a 2. 2.(10分 )已知函数 f(x)=|2x-1|,x R. (1)解不等式 f(x)0,|x-1|0,n0),求证 : + 3. 【解题指南】 (1)利用绝对值的几何意义 ,求出表达式的最小值 ,即可得到 a的取值范围 . (2)由 (1)可得 m+n=3,则 = (m+n)= ,根据基本不等式即可证明 . 【解析】 (1)因为 |2x-1|+|x+1|-a 0, 所以 a |2x-1|+|x+1|, 根据绝对值的几何意义可得 |2x-1|+|x+1|的最小值为 ,所以 a . (2)由 (1)可知 a的最大值为 k= , 所以 m+n=3, 所以 = (m+n)
3、 = =3,当且仅当 n=2m时等号成 立 , 问题得以证明 . 6.(10分 )(2017全国卷 ) 已知函数 f(x)= x+1 - x-2 (1)求不等式 f(x) 1的解集 . (2)若不等式 f(x) x2-x+m的解集非空 ,求 m的取值范围 . 【解析】 (1)当 x -1时 , f(x)=-(x+1)+(x-2)=-31,所以 x 2. 综上所述 ,f(x) 1的解集为 1,+ ). (2)原式等价于存在 x R,使 f(x)-x2+x m成立 ,即 m. 设 g(x)=f(x)-x2+x, 由 (1)知 g(x)= 当 x -1时 ,g(x)=-x2+x-3, 其开口向下 ,对称轴为 x= -1, 所以 g(x) g =-5. 当 -1x2时 g(x)=-x2+3x-1, 其开口向下 ,对称轴为 x= , 所以 g(x) g = . 当 x 2时 g(x)=-x2+x+3, 其开口向下 ,对称轴为 x= , 所 以 g(x) g =1. 综上 :g(x)max= ,即 m的取值范围为 .
