1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 节 函数的单调性与最值 基础对点练 (时间： 30 分钟 ) 1 (2018 洛阳三模 )下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是 ( ) A f(x) x3 B f(x) x C f(x) tan x D f(x) 1x 解析： 因为 f(x) x3，定义域为 ( ， ) ， 所以 f( x) f(x)，设 x1 x2，则 x13 x23， 所以 f(x) x3既是奇函数又是减函数 因为 f(x) x，定义域 ( ， 0， 所以 f(x) x不是奇函数 f(x) tan x 在定义域上不是减函数 f(x) 1x在定义域上不是减函数 答案：
2、A 2已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(|x|) f(1)的实数 x 的取值范围是 ( ) A ( 1,1) B (0,1) C ( 1,0) (0,1) D ( ， 1) (1， ) 解析： 因为 f(x)为 R 上的减函数，且 f(|x|) f(1)，所以 |x| 1，所以 x 1 或 x1. 答案： D 3若函数 f(x)的定义域为 R，且 在 (0， ) 上是减函数，则下列不等式成立的是 ( ) A f? ?34 f(a2 a 1) B f? ?34 f(a2 a 1) C f? ?34 f(a2 a 1) D f? ?34 f(a2 a 1) 解析： 因 为 f(x)
3、在 (0， ) 上是减函数，且 a2 a 1 ? ?a 12 2 34 34 0，所以 f(a2 a 1) f? ?34 . 答案： B 4已知函数 f(x) log2x 11 x，若 x1 (1,2)， x2 (2， ) ，则 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A f(x1)0 C f(x1)0， f(x2)0， f(x2)0 解析： 函数 f(x) log2x 11 x在 (1， ) 上为增函数，且 f(2) 0， 当 x1 (1,2)时， f(x1)f(2) 0， 即 f(x1)0. 答案： B 5已知奇函数 f(x)对任意的正实数 x1， x2(x1 x2)恒有 (x1 x2)
4、(f(x1) f(x2) 0，则一定正确的是 ( ) A f(4) f( 6) B f( 4) f( 6) C f( 4) f( 6) D f(4) f( 6) 解析： 由 (x1 x2)(f(x1) f(x2) 0 知 f(x)在 (0， ) 上递增，所以 f(4) f(6)?f(4) f( 6) 答案： C 6 (2018 沈阳模拟 )已知函数 f(x)? x2， x 0， ，x3 a2 3a 2， x ， 在区间 ( ， ) 上是增函数，则常数 a 的取值范围是 ( ) A (1,2) B ( ， 1 2， ) C 1,2 D ( ， 1) (2， ) 解析： 由于 f(x)? x2，
5、x 0， ，x3 a2 3a 2， x ， ， 且 f(x)在区间 ( ， ) 上是增函数， 而当 x0 时， y x2显然递增， 当 x 0 时， y x3 a2 3a 2 的导数为 y 3x20 ，也递增， 所以 020 3 a2 3a 2，即 a2 3a 20 ， 解得 1 a2. 答案： C 7已知函数 f(x) 2x 1， g(x) 1 x2，构造函数 F(x)的定义如下 ：当 |f(x)| g(x)时， F(x) |f(x)|，当 |f(x)| g(x)时， F(x) g(x)，则 F(x)( ) A有最小值 0，无最大值 B有最小值 1，无最大值 C有最大值 1，无最小值 D无最
6、大值，也无最小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析： F(x)的图象如图所示，由图可知 F(x)有最小值 1，无最大值故选 B. 答案： B 8函数 f(x) 1x 1在区间 a， b上的最大值是 1，最小值是 13，则 a b _. 解析： 易知 f(x)在 a， b上为减函数， 所 以? f a 1，f b 13， 即 ? 1a 1 1，1b 113，所以? a 2，b 4. 所以 a b 6. 答案： 6 9 (2018 瑞安四校联考 )若 f(x)? ax， x1，4 a2x 2， x1 是 R 上的单调递增函数，则实数 a 的取值范围为 _ 解析： 因为 f(x)是定义在 R
7、上的增函数，故 y ax和 y 4 a2x 2 均为增函数，所以a1 且 4 a20，即 10 恒成立，则 b a 的最大值为 _ 解析： 当 f1(x) f2(x)时， g(x) f1 x f2 x2 f1 x f2 x2 f1(x)； 当 f1(x)f2(x)时， =【 ;精品教育资源文库 】 = g(x) f1 x f2 x2 f2 x f1 x2 f2(x) 综 上， g(x) ? f1 x ， f1 x f2 x ，f2 x ， f1 x f2 x 即 g(x)是 f1(x)， f2(x)两者中的较大者在同一直角坐标系中分别画出函数 f1(x)与 f2(x)的图象，则 g(x)的图象
8、如图中实线部分所示由图可知 g(x)在 0， ) 上单调递增，又 g(x)在 a， b上单调递增，故 a， b0,5，则 b a 的最大值为 5. 答案： 5 11 (2018 德州模拟 )已知定义在 (0， ) 上的函数 f(x)，满足 f(xy) f(x) f(y)，x 1 时， f(x) 0，判断函数 f(x)的单调性 解： 设 x1， x2 (0， ) ，且 x1 x2，则 x2x1 1， 所以 f(x2) f(x1) f? ?x1x2x1 f(x1) f(x1) f?x2x1 f(x1) f?x2x1 0. 所以函数 f(x)在定义域 (0， ) 上是减函数 能力提升练 (时间： 1
9、5 分钟 ) 12已知函数 f(x) x2 2ax a 在区间 ( ， 1)上有最小值，则函数 g(x) f xx 在区间 (1， ) 上一定 ( ) A有最小值 B有最大值 C是减函数 D是增函数 解析： 由题意知 a 1，所以 g(x) f xx x ax 2a， 当 a 0 时， g(x)在 (1， ) 上是增函数， 当 a 0 时， g(x)在 a， ) 上是增函 数， 故在 (1， ) 上为增函数， 所以 g(x)在 (1， ) 上一定是增函数 答案： D 13 (2018 衢州一模 )函数 f(x) ax(a 0 且 a1) 满足 f(1) 1，则函数 y loga(x2=【 ;精
10、品教育资源文库 】 = 1)的单调减区间为 ( ) A (1， ) B ( ， 0) C ( ， 1) D (0， ) 解析： 因为 f(x) ax(a 0 且 a1) 满足 f(1) 1， 所以 a 1. 设 t x2 1，由 t x2 1 0 得 x 1 或 x 1. 因为 y logat 是增函数， 所以要求函数 y loga(x2 1)的单调 减区间， 即求函数 t x2 1 的单调减区间 因为 t x2 1 的单调减区间是 ( ， 1)， 所以 y loga(x2 1)的单调减区间为 ( ， 1) 答案： C 14设函数 f(x) ax 1x 2a在区间 ( 2， ) 上是增函数，那
11、么 a 的取值范围是 _ 解析： f(x) ax 2a2 2a2 1x 2a a2a2 1x 2a， 因为函数 f(x)在区间 ( 2， ) 上是增函数 所以? 2a2 1 0， 2a 2 ? 2a2 1 0，a1 ?a1. 答案： 1， ) 15 (2018 昆明模拟 )已知函数 f(x) x2 2x ax ， x 1， ) (1)当 a 12时，求函数 f(x)的最小值； (2)若对任意 x 1， ) ， f(x) 0 恒成立，试求实数 a 的取值范围 解： (1)当 a 12， f(x) x 12x 2， f( x) 1 12x2，当 x 1， ) 时， f( x) 0 恒成立， f(x
12、)在 1， ) 上是增函数， 当 x 1 时， f(x)取最小值， f(1) 72. 故 f(x)min 72. (2)要使 f(x) 0， x 1， ) 恒成立， 即 x2 2x a 0， x 1， ) 恒成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 g(x) x2 2x a (x 1)2 a 1， 当 x 1， ) 时， g(x)min 3 a. 3 a 0， a 3 即可， a ( 3， ) 16函数 f(x)的定义域为 (0， ) ，且对一切 x 0， y 0 都有 f? ?xy f(x) f(y)，当 x 1 时，有 f(x) 0. (1)求 f(1)的值； (2)判断 f(x)的单调
13、性； (3)若 f(4) 2，求 f(x)在 1,16上的值域 解： (1)因为当 x 0， y 0 时， f? ?xy f(x) f(y)， 所以令 x y 0，则 f(1) f(x) f(x) 0. (2)设 x1， x2 (0， ) ，且 x1 x2， 则 f(x2) f(x1) f? ?x2x1. 因为 x2 x1 0，所以 x2x1 1， 所以 f? ?x2x1 0.所以 f(x2) f(x1)， 即 f(x)在 (0， ) 上是增函数 (3)由 (2)知 f(x)在 1,16上是增函数， 所以 f(x)min f(1) 0， f(x)max f(16)， 因为 f(4) 2，由 f? ?xy f(x) f(y)， 知 f? ?164 f(16) f(4)， 所以 f(16) 2f(4) 4， 所以 f(x)在 1,16上的值域为 0,4
