1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 58 讲 参数方程 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解参数方程，了解参数的意义 2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程 2017 全国卷 ，22 2016 全国卷 ，23 2016 江苏卷，21(C) 参数方程部分主要考查参数方程与普通方程的互化，并且多与极坐标方程结合考查 分值： 5 10 分 1参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上 _任意一点 _的坐标 x， y 都是某个变数 t的函数：? x f?t?，y g?t?， 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组 ? x f?t?，y g?t? 所确定的点 M(x，y)都在这条曲
2、线上，那么方程? x f?t?，y g?t? 就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数，简称 _参数 _，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 _普通方程_. 2直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0， y0)，倾斜角为 的 直线 l 的参数方程为? x x0 tcos ，y y0 tsin (t为参数 ) (2)圆心为点 M(x0， y0)，半径为 r 的圆的参数方程为? x x0 rcos ，y y0 rsin ( 为参数 ) (3) 椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的参数方程为 ? x acos ，y bsin ( 为参数 )； 椭圆 x2b2y2a2
3、1(ab0)的参数方程为 ? x bcos ，y asin ( 为参数 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 1思维辨析 (在括号内 “” 或 “ ”) (1)参数方程? x t 1，y 2 t (t1) 表示直线 ( ) (2)参数方程? x cos m，y sin m， 当 m 为参数时表示直线，当 为参数时表示的曲线为圆 ( ) (3)直线? x 2 tcos 30 ，y 1 tsin 150 (t 为参数 )的倾斜角 为 30.( ) (4) 参 数 方 程? x 2cos ，y 5sin ? 为参数，且 ?0， 2 表 示 的 曲 线 为 椭圆 ( ) 解析 (1)错误 t1 ， x
4、 t 12 ， y 2 t1 ，故参数方程表示的曲线是直线的一部分 (2)正确当 m 为参数时， x y cos sin 表示直线，当 为参数时 (x m)2(y m)2 1 表示圆 (3)正确方程可化为? x 2 tcos 30 ，y 1 tsin 30 表示直线其倾斜角为 30 . (4)错误 ? ?0， 2 ， x0 ， y0 ，方程不表示椭圆 2参数方程? x 2t21 t2，y 4 2t21 t2(t 为参数 )化为普通方程为 _3x y 4 0(x0,2)_. 解析 x 2t21 t2， y 4 2t21 t2 4?1 t2? 6t21 t2 4 32t21 t2 4 3x， 又
5、x 2t21 t22?1 t2? 21 t2 221 t2 0,2)， x 0,2)， 所求的普通方程为 3x y 4 0(x 0,2) 3在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? x 5cos ，y 5sin =【 ;精品教育资源文库 】 = ? 为 参数， 0 2 和? x 1 22 t，y 22 t(t 为参数 )，则曲线 C1与 C2的交点坐标为_(2,1)_. 解析 由 C1得 x2 y2 5，且 ? 0 x 5，0 y 5.由 C2得 x 1 y， 联立? x2 y2 5，x 1 y， 解得 ? x 2，y 1 或 ? x 1，y 2 (舍 ) 4直
6、线? x 4 at，y bt (t 为参数 )与圆 ? x 2 3cos ，y 3sin ( 为参数 )相切，则切线的倾斜角为 _ 3 或 23 _. 解析 直线的普通方程为 bx ay 4b 0，圆的普通方程为 (x 2)2 y2 3，因为直线与圆相切，则圆心 (2,0)到直线的距离为 3，从而有 3 |2b a0 4b|a2 b2 ，即 3a2 3b2 4b2，所以 b 3a，而直线的倾斜角 的正切值 tan ba，所以 tan 3，因此切线的倾斜角为 3 或 23 . 5在直角坐标系 xOy 中， 已知曲线 C1：? x t 1，y 1 2t (t 为参数 )与曲线 C2：? x asi
7、n ，y 3cos ( 为参数， a0)有一个公共点在 x 轴上，则 a _ 32 _. 解析 将曲线 C1与 C2的方程化为普通方程求解 将? x t 1，y 1 2t， 消去参数 t，得 2x y 3 0， 又? x asin ，y 3cos ， 消去参数 ，得x2a2y29 1. 根据题意可知 C1与 x 轴交点在 C2上， 则在方程 2x y 3 0 中，令 y 0，得 x 32. 将 ? ?32， 0 代入 x2a2y29 1，得94a2 1，又 a0， a32. =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 参数方程与普通方程的互化 将参数方程化为普通方程的方法 (1)将参数方程化为普通方
8、程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如 sin2 cos2 1 等 (2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要出现增解 【例 1】 (1)将下列参数方程化为普通方程 ? x 1t，y 1t t2 1(t 为参数 )； ? x 2 sin2 ，y 1 cos 2 ( 为参数 ) (2)如图，以过原点的直线的倾斜角 为参数，求圆 x2 y2 x 0 的参数方程 解析 (1) ? ?1t 2 ? ?1t t2 1 2 1， x2 y2 1. t2 10 ，
9、t1 或 t 1.又 x 1t， x0. 当 t1 时， 0 x1 ， 当 t 1 时， 1 x 0， 所求普通方程为 x2 y2 1， 其中? 0 x1 ，0 y 1 或 ? 1 x 0， 1 y0. y 1 cos 2 1 1 2sin2 2sin2 ， sin2 x 2， y 2x 4， 2x y 4 0. 0sin 2 1 ， 2 x3 ， 所求的普通方程为 2x y 4 0(2 x3) (2)圆的半径为 12，记圆心为 C? ?12， 0 ，连接 CP，则 PCx 2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 xP 12 12cos 2 cos2 ， yP 12sin 2 sin c
10、os ( 为参数 ) 所以圆的参数方程为? x cos2 ，y sin cos ( 为参数 ) 二 参数方程的应用 (1) 圆 的 参 数 方 程? x x0 rcos ，y y0 rsin ( 为 参 数 ) 与 直 线 的 参 数 方 程? x x0 tcos ，y y0 tsin (t 的参数 )在外观上没有区别，如何区分两者，主要看参数是什么另外，圆的参数 和直线的参数 t 是有几何意义的，只要我们理解准确，运用恰当，便可以加速解题的过程因此，牢记圆的参数方 程，直线参数方程的标准式，是利用参数解决问题的关键 (2)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程
11、的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等 (3)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点 M0的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1， M2，所对应的参数分别为 t1， t2. 弦长 l |t1 t2|； M0为弦 M1M2的中点 ?t1 t2 0； |M0M1| M0M2| |t1t2|. 【例 2】 已知曲线 C1：? x cos ，y sin ( 为参数 )及曲线 C2： ? x 22 t 2，y 22 t(t 为参数 ) (1)指出 C1， C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数； (2)若把 C1， C2上各
12、点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线 C 1， C 2，写出 C 1，C 2的参数方程 C 1与 C 2公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同？说 明你的理由 解析 (1)C1是圆， C2是直线， C1的普通方程为 x2 y2 1， 圆心 C1(0,0)，半径 r 1.C2的普通方程为 x y 2 0. 因为圆心到直线 x y 2 0 的距离为 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 C1与 C2只有一个公共点 (2)压缩后的参数方程分别为 C 1：? x cos ，y 12sin ( 为参数 )， C 2： ? x 22 t 2，y 24 t(t 为参数 ) 化为普通方
13、程为 C 1： x2 4y2 1， C 2： y 12x 22 ， 联立消元得 2x2 2 2x 1 0，其 (2 2)2 421 0， 故压缩后 C 1与 C 2仍然只有一个公共点，和 C1与 C2公共点的个数相同 【例 3】 (2018 河南郑州一中月考 )在平面直角坐标系中，已知曲线 C 的参数方程为? x 2cos ，y 3sin ( 为参数 )，直线 l 的参数方程为 ? x 15t，y 3 25t(t 为参数 ) (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； (2)若点 B 坐标为 (0,3)，直线 l 与曲线 C 交于两 P， Q 点，求 |BP| BQ|. 解析 (1)由题意得
14、曲线 C的普通方程为 x24y23 1, 直线 l的普通方程为 2x y 3 0. (2)将直线 l 的参数方程? x 15t，y 3 25t(t 为参数 )代入 x24y23 1，得195t2 485t 24 0.设方程 195t2 485t 24 0 的两个根为 t1， t2，所以 |BP| BQ| |t1t2| 12019. 三 参数方程与极坐标方程的综合 问题 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程 【例 4】 在直角坐标系中，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 C ： sin2 2acos (a0)，过点 P( 2 ， 4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为? x 2 22 t，y 4 22 t(t 为参数 )， l 与 C 分别交于点 M， N. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)写出 C
