1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 25 讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3掌握数量积的坐标表达式，进行平面向量数量积的运算 4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 5会用向量方法解决某些简单的平面几何问题 6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题 . 2017 全国卷 ， 13 2017 全国卷 ， 13 2017 天津卷， 14 2017 北京卷， 12 2016 山东卷， 13 2016 江苏卷， 13 1.平面向量的数量积是
2、高考的热点，主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题 2数量积的综合应用是高考的重点，常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查 . 分值： 5 分 1平面向量的数量积 若两个 _非零 _向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则 _|a|b|cos _叫做 a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 _ab |a|b|cos _. 规定：零向量与任一向量的数量积为 _0_. 两个非零向量 a 与 b 垂直的充 要条件是 _ab 0_，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 _ab |a|b| _. 2平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度 |
3、a|与 b 在 a 方向上的投影 _|b|cos _的乘积 3平面向量数量积的重要性质 设 a， b 都是非零向量， e 是单位向量， 为 a 与 b(或 e)的夹角 (1)ea ae _|a|cos _. (2)非零向量 a， b， a b?_ab 0_. (3)当 a 与 b 同向时 ， ab _|a|b|_； 当 a 与 b 反向时 ， ab _ |a|b|_， aa _a2_， |a| _ aa _. =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)cos _ ab|a|b|_. (5)|ab| _ _|a|b|. 4平面向量数量积满足的运算律 (1)ab _ba _(交换律 ) (2)(a
4、) b (ab ) _a ( b)_( 为实数 ) (3)(a b)c _ac bc _. 5平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 ab _x1x2 y1y2_. 由此得到： (1)若 a (x， y)，则 |a|2 _x2 y2_或 |a| _ x2 y2_； (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 A， B 两点间的距离 |AB| |AB | _ ?x1 x2?2 ?y1 y2?2_； (3)设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b?_x1x2 y1y2 0_. 6平面向量数量积运算的常用公式 (1)
5、(a b) (a b) a2 b2. (2)(a b)2 a2 2ab b2. (3)(a b)2 _a2 2ab b2_. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，且有正有负，也可为零 ( ) (2)若 a b，则必有 ab 0.( ) (3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量 ( ) (4)若 ab0， |a b| 2cos x. (2)f(x) cos 2x 2cos x 2cos2x 2cos x 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2? ?cos x 12 2 32. x ? ? 3 ， 4 ， 12
6、cos x1 ， 当 cos x 12时， f(x)取得最小值 32； 当 cos x 1 时， f(x)取得最大值 1. 易错点 向量的夹角问题 错因分析：不注意两向量 a， b 夹角为锐角 (钝角 )?a b0(I3，作 AG BD 于 G，又 AB AD， OBOC OD ，即 I1I3， I3I1I2.故选 C 二、填空题 7 (2017 全国卷 )已知向量 a ( 2,3)， b (3， m)，且 a b，则 m _2_. 解析 因为 a b，所以 ab 23 3m 0，解得 m 2. 8已知 A， B， C 为圆 O 上 的三点，若 AO 12(AB AC )，则 AB 与 AC
7、的夹角为 _90 _. 解析 由 AO 12(AB AC )，可得 O为 BC的中点，故 BC为圆 O的直径，所以 AB 与 AC 的夹角为 90. 9 (2017 北京卷 )已知点 P 在圆 x2 y2 1 上，点 A 的坐标为 ( 2,0)， O 为原点，则 AO AP 的最大值为 _6_. 解析 由题意知 AO (2,0)，令 P(x， y)， 1 x1 ，则 AO AP (2,0)( x 2， y)=【 ;精品教育资源文库 】 = 2x 46 ，故 AO AP 的最大值为 6. 三、解答题 10已知 |a| 4， |b| 8， a 与 b 的夹角是 120. (1)求 |a b|和 |
8、4a 2b|； (2)当 k 为何值时， a 2b 与 ka b 垂直 解析 由已知得 ab 48 ? ? 12 16. (1) |a b|2 a2 2ab b2 16 2 ( 16) 64 48， |a b| 4 3. |4a 2b|2 16a2 16ab 4b2 16 16 16 ( 16) 4 64 768， |4a 2b| 16 3. (2)( a 2b) (ka b)， (a 2b)( ka b) 0， ka2 (2k 1)ab 2b2 0， 即 16k 16(2k 1) 264 0， k 7. 故 k 7 时， a 2b 与 ka b 垂直 11如图， O 是 ABC 内一点， A
9、OB 150 ， AOC 120 ，向量 OA ， OB ， OC 的模分别为 2， 3， 4. (1)求 |OA OB OC |； (2)若 OC mOA nOB ，求实数 m， n 的值 解析 (1)由已知条件易知 OA OB |OA | OB |cos AOB 3， OA OC |OA | OC |cos AOC 4， OB OC 0， |OA OB OC |2 OA 2 OB 2 OC 2 2(OA OB OA OC OB OC ) 9， |OA OB OC | 3. (2)由 OC mOA nOB ，可得 OA OC mOA 2 nOA OB ，且 OB OC mOB OA nOB 2， ? 4m 3n 4， 3m 3n 0， m n 4.
