1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标 第 23 讲 平面向量的概念及其线性运算 解密考纲 本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下 一、选择题 1在 ABC 中，已知 M 是 BC 的中点，设 CB a， CA b，则 AM ( A ) A 12a b B 12a b C a 12b D a 12b 解析 AM AC CM CA 12CB b 12a.故选 A 2已知 a， b 是两个非零向量，且 |a b| |a| |b|，则下列说法正确的是 ( D ) A a b 0 B a b C a 与 b 共线反向 D存在正实数 ，使 a b 解析 因为
2、a， b 是两个非零向量，且 |a b| |a| |b|，则 a 与 b 共线同向，故 D 项正确 3 (2018 湖北襄阳四校联考 )已知 a， b 为平面向量，若 a b 与 a 的夹角为 3 ， a b与 b 的夹角为 4 ，则 |a|b| ( B ) A 33 B 63 C 53 D 64 解析 如图， OA a， OB b， 依题意， 在 OAC 中，由正弦定理得 |a|b| |OA |AC | sin 45sin 60 63 . 4如图所示，在 ABC 中，若 BC 3DC ，则 AD ( C ) A 23AB 13AC B 23AB 13AC =【 ;精品教育资源文库 】 = C
3、 13AB 23AC D 13AB 23AC 解析 AD CD CA 13CB CA 13(AB AC ) AC 13AB 23AC .故选 C 5已知 D 为 ABC 的边 AB 的中点， M 在边 DC 上且满足 5AM AB 3AC ，则 ABM 与 ABC的面积比为 ( C ) A 15 B 25 C 35 D 45 解析 由 5AM AB 3AC ，得 2AM 2AD 3AC 3AM ， 即 2(AM AD ) 3(AC AM )， 即 2DM 3MC ，故 DM 35DC ， 故 ABM 与 ABC 同底且高的比为 3 5， 故 S ABM S ABC 3 5. 6已知 O 是 A
4、BC 所在平面外一点且满足 OP OA ?AB|AB | AC|AC |， 为实数，则动点 P 的轨迹必须经过 ABC 的 ( B ) A重心 B内心 C外心 D垂心 解析 如图，设 AB|AB | AF ， AC|AC | AE ，已知 AF ， AE 均为单位向 量，且四边形 AEDF 为平行四边形， 故 ?AEDF 为菱形，所以 AD 平分 BAC 由 OP OA ?AB|AB | AC|AC |， 得 AP AD ，又 AP 与 AD 有公共点 A， 故 A， D， P 三点共线， 所以点 P 在 BAC 的平分线上， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故动点 P 的轨迹经过 ABC
5、的内心 二、填空题 7 (2017 浙江卷 )已知向量 a， b 满足 |a| 1， |b| 2，则 |a b| |a b|的最小值是_4_，最大值是 _2 5_. 解析 设 a， b 的夹角为 ， |a| 1， |b| 2， |a b| |a b| a b 2 a b 2 5 4cos 5 4cos ， 则 y2 10 2 25 16cos2 . 0， ， cos2 0,1， y2 16,20， y 4,2 5，即 (|a b| |a b|) 4,2 5 8已知 ABC 和点 M 满足 MA MB MC 0.若存在实数 m 使得 AB AC mAM 成立，则 m_3_. 解析 由题目条件可知
6、， M 为 ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D，则 AM 23AD ，因为 AD 为中线，则 AB AC 2AD 3AM ，所以 m 3. 9设 a， b 是两个不共线向量， AB 2a pb， BC a b， CD a 2b，若 A， B， D 三点共线，则实数 p 的值为 _ 1_. 解析 BD BC CD 2a b，又 A， B， D 三点共线， 存在实数 ，使 AB BD ， 即? 2 2 ，p ， p 1. 三、解答题 10在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点， CD 13CA CB ，求实数 的值 解析 如图， D 是 AB 边上一点，过点 D 作 DE B
7、C，交 AC 于点 E，过点 D 作 DF AC，交BC 于点 F，连接 CD， 则 CD CE CF . 因为 CD 13CA CB ， 所以 CE 13CA ， CF CB . =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 ADE ABC，得 DEBC AEAC 23， 所以 ED CF 23CB ，故 23. 11如图，在平行四边形 ABCD 中， O 是对角线 AC， BD 的交点， N 是线段 OD 的中点， AN的延长线与 CD 交于点 E，若 AE mAB AD ，求实数 m 的值 解析 由 N 是 OD 的中点得 AN 12AD 12AO 12AD 14(AD AB ) 34AD 14
8、AB ，又因为 A， N，E 三点共线， 故 AE AN ，即 mAB AD ? ?34AD 14AB ， 所以? m 14 ，1 34 ，解得? m 13， 43，故实数 m 13. 12如图所示，在 ABC 中， D， F 分别是 BC， AC 的中点， AE 23AD ， AB a， AC b. (1)用 a， b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ； (2)求证： B， E， F 三点共线 解析 (1)延长 AD 到 G，使 AD 12AG ， 连接 BG， CG，得到平行四边形 ABGC， 所以 AG a b， AD 12AG 12(a b)， AE 23AD 13(a b)， AF 12AC 12b， BE AE AB 13(a b) a 13(b 2a)， BF AF AB 12b a 12(b 2a) (2)证明：由 (1)可知 BE 23BF ，又因为 BE ， BF 有公共点 B，所以 B， E， F 三 点共线
