1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（二十四） 等比数列的 3 考点 基本运算、判定和应用 一、选择题 1若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1 b1 1， a4 b4 8，则 a2b2 ( ) A 1 B 1 C.12 D 2 解析：选 B 设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q， 则 a4 1 3d 8，解得 d 3； b4 1 q3 8，解得 q 2. 所以 a2 1 3 2， b2 1( 2) 2， 所以 a2b2 1. 2 (2018 海口调研 )设 Sn为等比数列 an的前 n 项和， a2 8a5 0，则 S8S4的值为 ( ) A.12 B.17
2、16 C 2 D 17 解析：选 B 设 an的公比为 q，依题意得 a5a2 18 q3，因此 q 12. 注意到 a5 a6 a7 a8 q4(a1 a2 a3 a4)， 即有 S8 S4 q4S4，因此 S8 (q4 1)S4， S8S4 q4 1 1716. 3在等比数列 an中， a1， a5为方程 x2 10x 16 0 的两根，则 a3 ( ) A 4 B 5 C 4 D 5 解析：选 A a1， a5为方程 x2 10x 16 0 的两根， a1 a5 10， a1a5 16，则 a1， a5为正数， 在等比数列 an中， a23 a1a5 16，则 a3 4 ， a1， a5
3、为正数， a3 4. 4已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若存在 m N*，满足 S2mSm 9， a2mam 5m 1m 1 ，则数列an的公比为 ( ) A 2 B 2 C 3 D 3 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析：选 B 设数列 an的公比为 q， 若 q 1，则 S2mSm 2，与题中条件矛盾，故 q1. S2mSma1 q2m1 qa1 qm1 q qm 1 9， qm 8. a2mam a1q2m 1a1qm 1 qm 8 5m 1m 1 ， m 3， q3 8， q 2. 5已知等比数列 an的各项均为不等于 1 的正数，数列 bn满足 bn lg an， b3
4、 18，b6 12，则数列 bn的前 n 项和的最大值为 ( ) A 126 B 130 C 132 D 134 解析：选 C 设等比数列 an的公比为 q(q0)， 由题意可知， lg a3 b3， lg a6 b6. 又 b3 18， b6 12，则 a1q2 1018， a1q5 1012， q3 10 6，即 q 10 2， a1 1022. 又 an为正项等比数列 ， bn为等差数列，且公差 d 2， b1 22， 数列 bn的前 n 项和 Sn 22n n n2 ( 2) n2 23n ? ?n 232 2 5294 . 又 n N*，故 n 11 或 12 时， (Sn)max
5、132. 6正项等比数列 an中，存在两项 am， an，使得 aman 4a1，且 a6 a5 2a4，则 1m 4n的最小值是 ( ) A.32 B 2 C.73 D.256 解析：选 A 设等比数列 an的公比为 q，其中 q0， 于是有 a4q2 a4q 2a4，即 q2 q 2 0， (q 1)(q 2) 0(q0)， 由此解得 q 2.由 aman 16a21，得 a212 m n 2 16a21， 故 m n 6，其中 m， n N*， =【 ;精品教育资源文库 】 = 1m 4n 161m 4n(m n)5 nm 4mn6 5 2 nm 4mn6 32， 当且仅当 nm 4mn
6、 ，即 m 2， n 4 时等号成立， 1m 4n的最小值为 32. 二、填空题 7已知数列 an满足 a1， a2a1， a3a2， ， anan 1是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则 a101_. 解析：因为数列 an满足 a1， a2a1， a3a2， ， anan 1是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 所以 a1 1， anan 1 2n 1， 所以 an a1 a2a1 a3a2 anan 1 122 22 n 1 21 2 (n 1) 2 -)(12nn ， 当 n 1 时， a1 1 满足上式，故 an 2 -)(12nn ， 所以 a101 2 2 25 050. 答
7、案： 25 050 8 (2017 辽宁一模 )在等比数列 an中，若 a7 a8 a9 a10 158 ， a8a9 98，则 1a7 1a81a91a10 _. 解析：因为 1a7 1a10 a7 a10a7a10， 1a8 1a9 a8 a9a8a9， 由等比数列的性质知 a7a10 a8a9， 所以 1a7 1a8 1a9 1a10 a7 a8 a9 a10a8a9 158 ? ? 98 53. 答案： 53 9设数列 an的前 n 项和为 Sn(n N*)，关于数列 an有下列四个命题： 若 an既是等差数列又是等比数列，则 an an 1(n N*)； 若 Sn an2 bn(a，
8、 b R)，则 an是等差数列； =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 Sn 1 ( 1)n，则 an是等比数列； 若 S1 1， S2 2，且 Sn 1 3Sn 2Sn 1 0(n2) ，则数列 an是等比数列 其中真命题的序号是 _ 解析：若 an既是等差数列又是等比数列， 设其前三项分别为： a d， a， a d(d 为公差 )， 则 a2 (a d)(a d)，解得 d 0， 因此 an an 1(n N*)， 正确； 由 Sn an2 bn(a， b R)是数列 an为等差数列的充要条件，可知 正确； 若 Sn 1 ( 1)n，则 a1 2， n2 时， an Sn Sn 1 2(
9、 1)n 1，为等比数列， 首项为 2，公比为 1，因此 正确； 由 Sn 1 3Sn 2Sn 1 0(n2) ，可得 Sn 1 Sn 2(Sn Sn 1)，即 an 1 2an， 又 S1 1， S2 2， a1 1， a2 1，可得 a2 a1， 数列 an不是等比数列， 错误 故真 命题的序号是 . 答案： 三、解答题 10已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 an Sn n2 (n N*) (1)若数列 an t是等比数列，求 t 的值； (2)求数列 an的通项公式； (3)记 bn 1an 1 1anan 1，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1)当 n 1 时，由
10、a1 S1 12 a1 12 ，得 a1 1. 当 n2 时， an Sn Sn 1 2an n 2an 1 (n 1)， 即 an 2an 1 1， a2 3， a3 7. 依题意，得 (3 t)2 (1 t)(7 t)，解得 t 1， 当 t 1 时， an 1 2(an 1 1)， n2 ， 即 an 1为等比数列成立， 故实数 t 的值为 1. (2)由 (1)，知当 n2 时， an 1 2(an 1 1)， 又因为 a1 1 2， 所以数列 an 1是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 所以 an 1 22 n 1 2n， =【 ;精品教育资源文库 】 = an 2n 1. (
11、3)由 (2)，知 bn 1an 1 1anan 1 an 1anan 1 2nn n 1 12n 112n 1 1， 则 Tn 12 1 122 1 122 1 123 1 123 1 124 1 12n 1 1 12n 1 12n 112n 1 1 112n 1 1. 11已知数列 an满足 a1 1， a2 3， an 2 3an 1 2an(n N*) (1)证明：数列 an 1 an是等比数列； (2)设 bn 2n 1an an 1， Tn是数列 bn的前 n 项和，证明： Tn12. 证明： (1) an 2 3an 1 2an， an 2 an 1 2(an 1 an)， 又
12、a2 a1 3 1 2， 数列 an 1 an是首项为 2、公比为 2 的等比数列 (2)由 (1)可知 an 1 an 2n，显然数列 an是递增的， bn 2n 1an an 1122nan an 112an 1 anan an 112?1an1an 1 ， 于是 Tn 12? ?1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an 1 12? ?1a1 1an 1 12? ?1 1an 112. 12已知数列 an的前 n 项和是 Sn，且 Sn 13an 1(n N*) (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn log4(1 Sn 1)(n N*)， Tn 1b1b2 1b2b3 1b
13、nbn 1，求 Tn的取值范围 解： (1)当 n 1 时， a1 S1，由 S1 13a1 1，得 a1 34， 当 n2 时， Sn 13an 1， Sn 1 13an 1 1， 两式相减得， Sn Sn 1 13(an an 1) 0， an 14an 1. an是以 34为首项， 14为公比的等比数列 故 an 34? ?14 n 1 3? ?14 n(n N*) (2)由 (1)知 1 Sn 1 13an 1 ? ?14 n 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = bn log4(1 Sn 1) log4? ?14 n 1 (n 1)， 1bnbn 1 1n n 1n 1 1n 2，
14、 故 Tn 1b1b2 1b2b3 1bnbn 1 ? ?12 13 ? ?13 14 ? ?1n 1 1n 2 12 1n 2， 16 Tn12， 即 Tn的取值范围为 ? ?16， 12 . 1数列 an是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，数列 bn满足 bn 1 a1 a2 an，数列 cn 2 b1 b2 bn，若 cn为等比数列，则 a q ( ) A. 2 B 3 C. 5 D 6 解析：选 B 由题意知 q1. 因为数列 an是以 a 为首项， q 为公比的等比数列， 所以 bn 1 a1 q aqn1 q， 所以 cn 2 aq q 2 1 q a1 q n aqn 1
15、q 2， 要使 cn为等比数列，则 2 aq q 2 0 且 1 q a1 q 0， 所以 a 1， q 2，则 a q 3. 2设 Sn是数列 an的前 n 项和，已知 a1 3， an 1 2Sn 3. (1)求数列 an的通项公式； (2)令 bn (2n 1)an，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1)当 n 1 时， a2 2S1 3 2a1 3 9， 当 n2 时， an 1 2Sn 3， 可得 an 2Sn 1 3. 两式相减得， an 1 an 2(Sn Sn 1)， 即 an 1 an 2an， an 1 3an， 则 an a23 n 2 93 n 2 3n. 又 an 3n对 n 1 也成 立， 所以 an 3n. (2)由 (1)知， bn (2n 1)an (2n 1)3 n， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 Tn 13 33 2 53 3 (2n 1)3 n， 3Tn 13 2 3
