1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（二十八） 基本不等式 一、选择题 1 “ a0， b0” 是 “ ab0， b0 时， ? ?a b2 2 ab， 所以当 a b 时， “ ab0， b0” 不一定成立， 故 “ a0， b0” 是 “ ab0， b0)被圆 x2 y2 2x 4y 1 0 截得的弦长为 4，则 1a1b的最小值为 ( ) A.32 2 B. 2 C.14 D.32 2 2 解析：选 A 因为直线 ax by 2 0 被圆 x2 y2 2x 4y 1 0 截得的弦长为 4，圆的圆心为 ( 1,2)，半径为 2，所以直线 ax by 2 0 过圆心 ( 1,2)，
2、则有 a 2b 2，所以 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1a1b12(a 2b)?1a1b 12?3 2ba ab 32 2，当且仅当2ba ab时，等号成立故1a1b的最小值为 32 2. 4 (2018 开封摸底考试 )已知 x0， y0， x 2y 2xy 8，则 x 2y 的最小值是 ( ) A 3 B 4 C.92 D.112 解析：选 B 由题意得 x 2y 8 x2 y8 ? ?x 2y2 2，当且仅当 x 2y 时，等号成立，整理得 (x 2y)2 4(x 2y) 320 ，即 (x 2y 4)(x 2y 8)0 ，又 x 2y0，所以 x2y4 ，所以 x 2y 的最小值
3、为 4. 5设 x0， y0 且 x 4y 40，则 lg x lg y 的最大值是 ( ) A 40 B 10 C 4 D 2 解析：选 D x0， y0 且 x 4y 40， 402 x4 y，即 xy100 ，当且仅当 x 4y 20 时取等号则 lg x lg y lg(xy)lg 100 2，因此其最大值是 2. 6不等式 x2 2x1， b2， 则 2a 1 1b 22 2a 1 1b 2 2 2ab 2a b 2 2， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 2a 1 1b 2，即 a b 3 时，等号成立，故 2a 1 1b 2的最小值为 2. 8 (2018 洛阳统考 )
4、若正实数 x， y， z 满足 x2 4y2 z 3xy，则当 xyz 取最大值时， 1x12y1z的最大值为 ( ) A 2 B.32 C 1 D.12 解析：选 D z x2 4y2 3xy， x， y， z (0， ) ， xyz xyx2 4y2 3xy 1xy4yx 31( 当且仅当 x 2y 时等号成立 )， 此时 1x 12y 1z 1y 12y2，令 1y t0， 则 1x 12y 1z t 12t2 12(t 1)2 12 12(当且仅当 t 1 时等号成立 ) 二、填空题 9已知 a0， b0，圆 C： (x 2)2 (y 1)2 5 关于直线 ax by 1 0 对 称，
5、则 3b 2a的最小值为 _ 解析：由 a0， b0，圆 C： (x 2)2 (y 1)2 5 关于直线 ax by 1 0 对称， 可得 2a b 1 0， 所以 3b 2a ? ?3b 2a (2a b) 6ab 2ba 72 6ab 2ba 7 4 3 7， 当且仅当 6ab 2ba 且 2a b 1 0，即 a 2 3， b 2 3 3 时取等号 故 3b 2a的最小值为 7 4 3. 答案： 7 4 3 10 (2018 湖南长郡中学月考 )设正项等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S2 017 4 034，则 1a9 9a2 009的最小值为 _ 解析：由等差数列的前 n 项
6、和公式，得 S2 017 a1 a2 0172 4 034， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 a1 a2 017 4.由等差数列的性质得 a9 a2 009 4， 所以 1a9 9a2 009 14? ?4a9 94a2 009 14? ?a9 a2 009a9 a9 a2 009a2 009 14? ?a2 009a9 9a9a2 009 10 14? ?2 a2 009a9 9a9a2 009 10 4， 当且仅当 a2 009 3a9时等号成立故 1a9 9a2 009的最小值为 4. 答案： 4 11.如图 ，动点 A 在函数 y 1x(x0)的图象上，过点 A， B 分别向 x
7、 轴， y 轴作垂线，垂足分别为 A1，A2， B1， B2，若 |A1B1| 4，则 |A2B2|的最小值为 _ 解析：设 A? ?a， 1a ， B? ?b， 2b ， a0， 因为 |A1B1| 4，所以 b a 4， 故 |A2B2| 2b 1a 14 b a ? ?2b 1 a 14? ?3 2ab b a 14(3 2 2)， 当且仅当 b2 2a2，即 a 4 4 2， b 8 4 2时， |A2B2|取得最小值 3 2 24 . 答案： 3 2 24 12 (2017 江苏高考 )某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4
8、x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_ 解析：由题意，一年购买 600x 次，则总运费与总存储费用之和为 600x 6 4x 4? ?900x x8 900x x 240，当且仅当 x 30 时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时 x 的值是 30. 答案： 30 三、解答题 13已知 x0， y0，且 x 8y xy 0. (1)当 x， y 分别为何值时， xy 取得最小值？ (2)当 x， y 分别为何值时， x y 取得最小值？ 解： (1) x0， y0，且 x 8y xy 0， xy x 8y4 2xy，当且仅当 x 8y，即 x 16， y 2 时取等号
9、， =【 ;精品教育资源文库 】 = xy32. xy 的最小值为 32. (2) x 8y xy 0， 8x 1y 1， x y (x y)? ?8x 1y 9 xy 8yx 9 4 2，当且仅当 xy 8yx ，即 y 1 2 2， x 82 2时取等号 因此 x y 的最小值为 9 4 2. 14某工地决定建造一批房型为 长方体、房高为 2.5 m 的简易房，房的前后墙用 2.5 m高的彩色钢板，两侧墙用 2.5 m 高的复合钢板两种钢板的价格都用长度来计算 (即：钢板的高均为 2.5m用钢板的长度乘以单价就是这块钢板的价格 )已知彩色钢板每米单价为 450元复合钢板每米单价为 200
10、元，房的地面不需另买材料，房顶用其他材料建造，每平方米材料费 200 元，每套房的材料费控制在 32 000 元以内 (1)设房前面墙的长为 x(m)，两侧墙的长为 y(m)，建造一套房所需材料费为 P(元 )，试用 x， y 表示 P； (2)试求一套简易房面积 S 的最大值是多 少？当 S 最大时，前面墙的长度应设计为多少米？ 解： (1)依题得， P 2x450 2y200 xy200 900x 400y 200xy， 即 P 900x 400y 200xy. (2) S xy， P 900x 400y 200xy2 900400 S 200S 200S 1 200 S， 又因为 P32
11、 000 ，所以 200S 1 200 S32 000 ， 解得 0yz，且 1x y 1y z nx z(n N)恒成立，则 n 的最大值为 _ 解析：因为 xyz，所以 x y0， y z0， x z0， 不等式 1x y 1y z nx z恒成立等价于 n( x z) 1x y 1y z恒成立 因为 x z (x y) (y z)2 x y y z ， 1x y 1y z2 1x y 1y z， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 (x z) 1x y 1y z2 x y y z 2 1x y 1y z 4(当且仅当 x yy z 时等号成立 )，则要使 n( x z) 1x y 1y z恒成立，只需使 n4( n N)，故 n 的最大值为 4. 答案： 4
