期末复习专题训练17—立体几何（截面问题）-新人教A版（2019）高中数学必修第二册.rar

期末复习专题训练期末复习专题训练 17立体几何（截面问题）立体几何（截面问题）一、单选题一、单选题1.如图，在长方体1111ABCDABC D中，11ADDD，3AB ，E， F ，G分别为 AB ，BC，11C D的中点，点P在平面ABCD内，若直线1/ /D P平面EFG，则1D与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为()A2 23B62C52D72【解答】E、 F 、G分别为 AB 、BC、11C D的中点，/ /ACEF，1/ /ADEG，AC 面1ACD，EF 面1ACD，/ /EF面1ACD，同理可证/ /EG面1ACD，又EF 面EFG，EG 面EFG，EFEGE，面1/ /ACD面EFG，即点P在直线AC上，则1D与满足题意的P构成的平面截正方体的截面为1ACD，在1ACD中，有12AD ，2AC ，12CD ，12212722()222ACDS，故选： D 2 用平面截棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D， 所得的截面的周长记为m， 则当平面经过正方体的某条体对角线时，m的最小值为()A3 34B5C3 3D2 5【解答】解：假设截面过体对角线1BD， （过其他体对角线结论一样）如图所示，因为一平面与两平行平面相交，交线平行，1/ /D EBF，1/ /BED F，且1D EBF，1BED F，故四边形1D EBF为平行四边形，2()mBEBF，设CFx，则11C Fx ，222( 11(1) )mxx，a，b为正数时，2abab ，当且仅当ab时等号成立，当2211(1)xx即12x 时，m取最小值为：2 5，故选： D 3棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，点P在线段AD上， （点P异于A、 D 两点） ，线段1DD的中点为Q，若平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则线段 AP 长度的取值范围为()A(0，13B1(2，1C13，1)D(0，12【解答】解：如图，设平面BPQ与直线1CC交于点E，因为1111ABCDABC D是正方体，所以平面11/ /ADD A平面11BCC B，而平面BPQ平面11ADD APQ，平面BPQ平面11BCC BBE，所以/ /PQBE，则PDQBCE，所以PDBCDQCE，所以12BCPDDQCECE，要使平面BPQ截该正方体所得的截面为四边形，则需要点E在线段1CC上，当点P在点A处时，E恰好在线段1CC的中点处，因为点P在线段AD上，所以112CE，所以122CE，则11122CE，即112PD ，所以102AP，即 AP 的范围为(0，12，故选： D 4在下面四个正方体ABCDA B C D 中，点M，N，P均为所在棱的中点，过M，N，P作正方体截面，则下列图形中，平面MNP不与直线A C垂直的是()ABCD【解答】解：对于A，如图，连接 A D，由点M，N，P均为所在棱的中点，可得/ /MNA D，显然直线A C不垂直 A D，所以直线A C不垂直MN，故平面MNP不与直线A C垂直，故A符合题意；对于B，如图，连接AC ，B D ，由CC 平面A B C D ，所以AC在平面A B C D 的投影为AC ，因为ACB D ，由三垂线定理可得ACB D ，又点M，N，P均为所在棱的中点，所以/ /MPB D ，所以ACMP，同理可得ACMN，又MNMPM，所以AC平面MNP，故B不符合题意；同理可得 D 不符合题意；对于C，如图，连接C D，CD， AD， A D，因为点M，N，P均为所在棱的中点，所以/ /APD N，且APD N，所以四边形APND为平形四边行，所以/ /PNAD，因为CD 平面ADD A ，所以AC在平面ADD A 的投影为 A D，又ADA D ，由三垂线定理可得ACAD，所以ACPN，因为 A D 平面CC D D ，所以AC在平面CC D D 的投影为CD，又CDC D ，由三垂线定理可得ACC D，又/ /C DMN，所以ACMN，又MNPNN，所以AC平面MNP，故C不符合题意故选：A5已知正方体1111ABCDABC D的边长为 3，M为边 AB 上靠近B的三等分点，过M且垂直于直线1BD的平面被正方体所截的截面面积为()A32B34C3D2 3【解答】解：直线1BD是正方体1111ABCDABC D的体对角线，所以1BD 平面1ABC，因为过点M的平面与直线1BD垂直，所以平面/ /平面1ABC，因为M为边 AB 上靠近B的三等分点，所以平面截正方体所得截面的面积119AB CSS，因为正方体1111ABCDABC D的边长为 3，所以119 33 23 2sin6022AB CS ，所以过M且垂直于直线1BD的平面被正方体所截的截面面积为19 33922S 故选：A6 在直四棱柱1111ABCDABC D中，底面四边形ABCD为菱形，14AA ，2AB ，3ABC，E为BC中点，平面过点E且与平面1BDD垂直，1/ /CC，则被此直四棱柱截得的截面面积为()A1B2C4D6【解答】解：分别取 AB ，11AB，11BC的中点 F ，M，N，连接MF，MN，NE， FE ，AC由四边形ABCD为菱形，知BDAC，再根据三角形的中位线定理，知/ /EFAC，所以BDEF，又因为1/ /ENCC，因此BDEN又EFENE，EF 平面EFMN，EN 平面EFMN，故BD 平面EFMN，又BD 平面1BDD，则平面EFMN 平面1BDD则EFMN为矩形由1EF ，4MF ，故截面面积为 4故选：C7在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，P，Q，R分别是 AB ，AD，11BC的中点，设过P，Q，R的截面与面1AD，以及面1AB，的交线分别为l，m，则l，m所成的角为()A90B30C45D60【解答】 解：如图所示，作/ /RGPQ交11C D于G，连接QP并延长与CB的延长线交于M，连接MR交1BB于E，连接 PE ，RE 为截面的部分图形，同理延长PQ交CD的延长线于N，连接NG交1DD于 F ，连接QF，FG，则l，m所成的角即为EP， EM 所成的角，设为，易知2EP ，2EM ，2PM ，所以60故选： D 8 正四面体ABCD的棱长为 3， 点P是平面ABC内一动点，52DP ， 设异面直线 DP与BC所成的角为，则sin的最小值为()A34B2 35C2 65D622【解答】解：如图，作DO 平面BAC于O，ABCD是正四面体，O是ABC的中心，则DOOB，DOOP，则22239(3)63DODBBO，2222511( )( 6)242OPDPDO，平面ABC内，P在以O为圆心，12为半径的圆上，P运动时， DP是圆锥的母线，如图，把圆锥PO平移到四面体外部，不妨设/ /MNBC，MN是圆锥底面圆的一条直径，母线 DP与MN所成角的最小值是圆锥轴截面底角DMO，62 6sin552DODMODM，即异面直线 DP与BC所成的角sin的最小值为2 65，故选：C二、多选题9如图，有一正四面体形状的木块，其棱长为a，点P是ACD的中心劳动课上，需过点P将该木块锯开，并使得截面平行于棱 AB 和CD，则下列关于截面的说法中正确的是()A截面与侧面ABC的交线平行于侧面ABDB截面是一个三角形C截面是一个四边形D截面的面积为24a【解答】解：因为正四面体的四个面都是等边三角形，点P是ACD的中心，所以P位于CD中线的23处，分别取BC、AC、 BD、AD的三等分点E，M（靠近C点） ， F ，N（靠近 D 点） ，则/ /EMAB，/ /EFCD，且截面EMNF经过点P，满足题意，因为/ /EMFN，EMFN，所以四边形EMNF是平行四边形，平面EMNF平面ABCEM，/ /EMFN，NF 平面ABD，EM 平面ABD，所以/ /EM平面ABD，所以选项A正确；截面是一个四边形，故选项B错误，选项C正确；四边形EMNF不是边长23a的菱形，所以面积不是24a，故选项 D 错误故选：AC10如图，长方体1111ABCDABC D中，1ABBC，12AA ，M为1AA的中点，过1B M作长方体的截面交棱1CC于N，则()A截面可能为六边形B存在点N，使得BN 截面C若截面为平行四边形，则12CND当N与C重合时，截面面积为3 64【解答】 解 ： 长方体1111ABCDABC D中，1ABBC，12AA ，M为1AA的中点， 过1B M作长方体的截面交棱1CC于N，设0N为1CC的中点，根据点N的位置的变化分析可得，当12CN时，截面为平行四边形，当01CN时，截面为五边形，当0CN ，即点N与点C重合时，截面为梯形，故选项A错误，选项C正确；设BN 截面，因为1B M，所以1BNB M，所以N只能与C重合才能使1BNB M，因为BN不垂直平面1BCQM，故此时不成立，故选项B错误；因为当N与C重合时，截面为梯形，如图（2）所示，过M作MM垂直于1BC于点M，设梯形的高为h，1B Mx ，则由平面几何知识可得2222255( 2)()()22hxx，解得2 55x ，65h ，所以截面的面积为1513 563 6( 5)222254h，故选项 D 正确故选：CD11已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）ABCD的外接球，3BC ，2 3AB ，点E在线段 BD上，且6BDBE，过点E作球O的截面，则所得截面圆的面积可能是()AB2C3D4【解答】解：如图，设BDC的中心为1O，球O的半径为R，连接1O D，OD，1O E，OE，则123sin6033O D ，22111233AOADDO，在Rt1OO D中，223(3)RR，解得2R ，6BDBE，2.5DE，在1DEO中，12557323cos30422O E ，2211711142OEO EOO，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为：221152()22，最小面积为54，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4所得截面圆面积的取值范围是54，4 ，故A错误，B，C， D 均正确故选：BCD12如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA 底面ABCD，PAAB，截面BDE与直线PC平行，与PA交于点E，则下列判断正确的是()AE为PA的中点BPB与CD所成的角为3C平面BDE 平面PACD点P与点A到平面BDE的距离相等【解答】解：对于A，连结AC，交 BD于点 F ，连结 EF ，则平面PAC平面BDEEF，/ /PC平面BDE，EF 平面BDE，PC 平面PAC，/ /EFPC，四边形ABCD是正方形，AFFC，AEEP，选项A正确；对于B，/ /CDAB，PBA（或其补角）为PB与CD所成角，PA 平面ABCD，AB 平面ABCD，PAAB，在Rt PAB中，PAAB，4PAB，PB与CD所成角为4，选项B错误；对于C，四边形ABCD为正方形，ACBD，PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，PABD，PAACA，BD平面PAC，又BD 平面BDE，平面BDE 平面PAC，选项C正确；对于 D ，则12A BDEP BDEP ABDVVV三棱锥三棱锥三棱锥，所以点P与点A到平面BDE的距离相等，选项 D 正确故选：ACD三、填空题13在棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点P，Q，R分别为棱1AA，BC，11C D的中点，经过P，Q，R三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的周长为【解答】解：如图，设 F ，G，H是对应线段的中点，点P，Q，R分别为棱1AA，BC，11C D的中点，RF与HQ相交，确定一个平面，设为，/ /HQRG，G在平面内，同理P在平面内，平面被正方体1111ABCDABC D所截得截面图形为正六边形HPFQGR，边长为22112，平面被此正方体所截得截面图形的周长为6 2故答案为：6 214在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，M，N分别是棱11C D与11AD的中点，P是体对角线1B D上的一点，满足134B PPD，则平面MNP截正方体所得截面周长为【解答】解：如图，设直线MN与11B D交于点O，与直线11AB交于点H，与直线11BC交于点 K ，连接BK交1CC于T，连接BH交1AA于S，连接NS，MT，1111ABC D是 正 方 形 ， 边 长 为 1 ，M，N分 别 是11C D与11AD的 中 点 ， 则1123 2,44DOBO，正方体中/11BBDD，则四边形11BB D D是平行四边形，于是11/ /,2B DBD BD ，因为134B PPD，故11B PBOPDBD，于是O，P，B三点共线，所以B是截面PMN与底面ABCD的公共点， 从而五边形BTMNS是平面MNP截正方体所得截面，M，N分别是11C D与11AD的中点，111/ /ADB K，则111111,2D ND MC KC KMC，所以132KB ，又11/ /CTBB，故111113CTC KBBB K，所以112,33CTCT，所以1113413,149693MTBT，同理可得1313,36BSBTNSMT，所以截面周长为2131322()132632故答案为：213215在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，M是棱1CC的中点，N是侧面11B BCC内的动点，且满足直线1/ /A N平面1AD M，当直线1A N与平面11B BCC所成角最小时，记过点D ，M，N的平面截正方体1111ABCDABC D所得到的截面为 ，所有 的面积组成的集合记为S，则S 【解答】解：取E为1BB中点， F 为11BC中点，由正方体的性质得11/ /EMAD，11EMAD，四边形11AEMD是平行四边形，11/ /AEMD，1AE 面1AMD，1MD 面1AMD，1/ /AE面1AMD，由中位线性质得：1/ /EFBC，又11/ /ADBC，1/ /EFAD，EF 面1AMD，1AD 面1AMD，1/ /EFAMD，又1AEEFE，面1/ /AEF面1AMD，N在 EF 上，又直线1A N与平面11B BCC所成角为11A NB，11111sinABA NBA N，当1A N最大时，直线1A N与平面11B BCC所成角最小，即N与E、 F 重合时，直线1A N与平面11B BCC所成角最小，当N与E重合时，过点 D 、M、N的平面截正方体1111ABCDABC D所得到的截面为四边形AEMD，其面积为52，当N与 F 重合时，过点 D 、M、N的平面截正方体1111ABCDABC D所得到的截面为四边形1AFMD，其面积为98故52S ，98，故答案为：52，9816已知三棱柱111ABCABC，侧棱1AA 底面ABC，E， F 分别是 AB ，1AA的中点，且2ACBC，ACBC，14AA ，过点E作一个截面与平面1BFC平行，则截面的周长为【解答】解：如图，取AF的中点G，分别在1CC，BC上取点H，M，使1114HCCC，14BMBC，连接EG，GH，HM， EM 又 F ，G分别是1AA，AF的中点，114FGAA又11/ /AACC，11AACC，1/ /FGHC，1FGHC，四边形1FGHC为平行四边形，1/ /GHFC，1GHFC，/ /GH平面1BFC1114HCCC，14BMBC，1/ /MHBC，134MHBC，/ /MH平面1.BFC又MHGHH，平面/ /EGHM平面1BFC又1AA 平面ABC，2ACBC，E， F 分别是 AB ，1AA的中点，ACBC，14AA ，2 2AB ，12AFAF，2211322EGBFAFAB，2211112 2GHFCAFAC，2211113335442HMBCBBBC在 BEM中，1142BMBC，2BE ，45EBM，22211252cos452224224EMBMBEBM BE ，52EM ，平面EGHM的周长为3532 2532 22 522EGGHHMEM，即所求的截面周长为32 22 5故答案为：32 22 5