8.6.1直线与直线垂直 教案-新人教A版(2019)高中数学必修第二册.docx

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资源描述

1、8.6.1直线与直线垂直一、教学目标 1. 理解两异面直线所成角的定义,会求两异面直线所成的角2. 掌握证明两条异面直线垂直的方法二、教学重点 理解异面直线所成角的定义以及证明两直线垂直教学难点 会求两异面直线所成的角三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1:空间两条直线有哪些位置关系观察:如图,在正方体ABCD-ABCD中,直线AC与直线AB,直线AD与直线 AB都是异面直线,直线AC与AD相对于直线AB的位置相同吗?如果不同,如何表示这种差异呢?答:我们知道,平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90的角称为这两条直线所成的角(或夹角),它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度,类似地,

2、我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系2、探索新知1)异面直线a与b所成的角(或夹角)如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线,我们把直线与所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)问题1:直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗?答:无关2)异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作ab 特别的,当两条直线a、b相互平行时,我们规定它们所成的角为0. 所以空间两条直线所成角的取值范围是090【例1】如右图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1 (1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直? (

3、2)求直线BA1与CC1所成角的大小 (3)求直线BA1与AC所成角的大小解:(1)棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1所在直线与直线AA1垂直(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中,因为CC1BB1,所以B1BA为直线BA1与CC1所成的角.而B1BA=45(3)连接A1C1、BC1.所以B1BA为直线BA1与CC1所成的角.在正方体ABCDA1B1C1D1中,AC/A1C1,则BA1C1为直线BA1与AC所成的角.而A1BC1是等边三角形,所以BA1C1=60,从而直线BA1与AC所成的角等于60【例2】如图所示,在长方体ABCDEFGH中,ABAD2,AE2

4、(1)求直线BC和EG所成的角(2)求直线AE和BG所成的角解:(1) 连接ACEGAC,ACB即是BC和EG所成的角在长方体ABCDEFGH中,ABAD2tanACB1,ACB45直线BC和EG所成的角是45(2) AEBFFBG即是AE和BG所成的角.易知tanFBGFBG60直线AE和BG所成的角是60方法规律:求两异面直线所成角的三个步骤(1)作:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角(2)证:证明作出的角就是要求的角(3)计算:求角的值,常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是090【例3】如右图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O

5、1 为底面A1B1C1D1的中心,求证:AO1BD证明:如图,连接是正方体,四边形是平行四边形.直线与所成的角即为直线与BD所成的角连接,易证又为底面的中心,为的中点【例4】空间四边形ABCD,E,F,G分别是BC,AD,DC的中点,FG2,GE,EF3求证:ACBD证明:点G,E分别是CD,BC的中点GEBD,同理GFACFGE或FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角在EFG中,FG2,GE,EF3满足FG2GE2EF2FGE90即异面直线AC与BD所成的角是90.ACBD方法规律:证明两条异面直线垂直的步骤:(1)恰当选点,用平移法构造出一个相交角(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或

6、补角)(3)把相交角放在平面图形中,一般是放在三角形中,通过解三角形求出所构造的角的度数(4)给出结论:若求出的平面角为直角,垂直得证四、课堂练习P148 练习 1、如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,CD1与DC1相交于点O,求证:AOA1B.证明:如图,ABCDA1B1C1D1是正方体A1D1BC四边形A1D1CB是平行四边形A1BD1C直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角连接AC,AD1,易证ACAD1又O为CD1的中点AOD1CAOA1B2、如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D、E分别是VB、VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角解:因为D、E分别是V

7、B、VC的中点所以BCDE因此ABC是异面直线DE与AB所成的角又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形所以ABC45故异面直线DE与AB所成的角为45五、课堂小结1、在研究异面直线所成角的大小时,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角,将空间问题向平面问题转化,这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径,两条异面直线所成角的范围为(0,90,解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小2、作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:直接平移法(可利用图中已有的平行线)中位线平移法补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线)六、课后作业习题8.6 1、 4(1)、(2)七、课后反思

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