1、8.6.1直线与直线垂直一、教学目标 1. 理解两异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角2. 掌握证明两条异面直线垂直的方法二、教学重点 理解异面直线所成角的定义以及证明两直线垂直教学难点 会求两异面直线所成的角三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：空间两条直线有哪些位置关系观察：如图,在正方体ABCD-ABCD中，直线AC与直线AB，直线AD与直线 AB都是异面直线，直线AC与AD相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?答：我们知道，平面内两条直线相交形成4个角,其中不大于90的角称为这两条直线所成的角(或夹角)，它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度，类似地，
2、我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系2、探索新知1）异面直线a与b所成的角(或夹角)如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线，我们把直线与所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）问题1：直线a、b所成角的大小与点O的位置有关吗?答：无关2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作ab 特别的，当两条直线a、b相互平行时，我们规定它们所成的角为0. 所以空间两条直线所成角的取值范围是090【例1】如右图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1 (1)哪些棱所在的直线与直线AA1垂直？ (
3、2)求直线BA1与CC1所成角的大小 (3)求直线BA1与AC所成角的大小解：(1)棱AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1所在直线与直线AA1垂直(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为CC1BB1，所以B1BA为直线BA1与CC1所成的角.而B1BA=45(3)连接A1C1、BC1.所以B1BA为直线BA1与CC1所成的角.在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC/A1C1，则BA1C1为直线BA1与AC所成的角.而A1BC1是等边三角形，所以BA1C1=60，从而直线BA1与AC所成的角等于60【例2】如图所示，在长方体ABCDEFGH中，ABAD2，AE2
4、(1)求直线BC和EG所成的角(2)求直线AE和BG所成的角解：(1) 连接ACEGAC，ACB即是BC和EG所成的角在长方体ABCDEFGH中，ABAD2tanACB1，ACB45直线BC和EG所成的角是45(2) AEBFFBG即是AE和BG所成的角.易知tanFBGFBG60直线AE和BG所成的角是60方法规律：求两异面直线所成角的三个步骤(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角(2)证：证明作出的角就是要求的角(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是090【例3】如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O
5、1 为底面A1B1C1D1的中心，求证:AO1BD证明：如图，连接是正方体，四边形是平行四边形.直线与所成的角即为直线与BD所成的角连接，易证又为底面的中心，为的中点【例4】空间四边形ABCD，E，F，G分别是BC，AD，DC的中点，FG2，GE，EF3求证：ACBD证明：点G，E分别是CD，BC的中点GEBD，同理GFACFGE或FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角在EFG中，FG2，GE，EF3满足FG2GE2EF2FGE90即异面直线AC与BD所成的角是90.ACBD方法规律：证明两条异面直线垂直的步骤：(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角(2)证明这个角就是异面直线所成的角(或
6、补角)(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数(4)给出结论：若求出的平面角为直角，垂直得证四、课堂练习P148 练习 1、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AOA1B.证明：如图，ABCDA1B1C1D1是正方体A1D1BC四边形A1D1CB是平行四边形A1BD1C直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角连接AC，AD1，易证ACAD1又O为CD1的中点AOD1CAOA1B2、如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角解：因为D、E分别是V
7、B、VC的中点所以BCDE因此ABC是异面直线DE与AB所成的角又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点所以ABC是以ACB为直角的等腰直角三角形所以ABC45故异面直线DE与AB所成的角为45五、课堂小结1、在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角，将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径，两条异面直线所成角的范围为(0，90，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小2、作异面直线所成的角可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法(可利用图中已有的平行线)中位线平移法补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)六、课后作业习题8.6 1、 4（1）、（2）七、课后反思
