1、人教A版（2019）必修第二册模块测试一一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）已知 i 是虚数单位，则复数 i-21+2i= A -i B i C -45-35i D -45+35i 已知直线 l，m，平面 ，l，m，则 是 lm 的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件从装有 4 个黑球、 2 个白球的袋中任取 3 个球，若事件 A 为“所取的 3 个球中至多有 1 个白球”，则与事件 A 互斥的事件是 A所取的 3 个球中至少有一个白球 B所取的 3 个球中恰有 2 个白球 1 个黑球C所取的 3 个球都是黑球 D所取的 3 个球中恰有 1 个白球
2、 2 个黑球已知向量 a=1,2，b=-4,m，若 a 与 b 垂直，则实数 m= A 2 B -2 C -8 D 8 在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 A 9.4，0.484 B 9.4，0.016 C 9.5，0.04 D 9.5，0.016 如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径 2R，把球放在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是 A2RB4R3C23RDR3如图所示，在 ABC 中，D 是边 AC 的中点，E 为 B
3、D 上的点，且 BE=12ED，则向量 AE= A 16AB-23AC B 23AB+16AC C 23AC+16AB D 13AC+23AB 已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个定点，ABC=60，AC=2，P 为球 O 的球面上的动点，记三棱锥 P-ABC 的体积为 V1，三棱锥 O-ABC 的体积为 V2，若 V1V2 的最大值为 3，则球 O 的表面积为 A 169 B 649 C 32 D 6 二、多选题（本题共4小题，每小题5分 ，共20分）为了解某校九年级 1600 名学生的体能情况，随机抽查了部分学生，测试 1 分钟仰卧起坐的成绩（次数），将数据整理后绘制成如图所示的频率
4、分布直方图，根据直方图的数据，下列结论正确的是 A该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的中位数为 26.25 B该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数的众数为 27.5 C该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数超过 30 次的约有 320 人D该校九年级学生 1 分钟仰卧起坐的次数少于 20 次的约有 32 人利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100 件产品，其中一等品有 20 件，合格品有 70 件，其余为不合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件 A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果正确的是 A PB=710 B PA+B=910 C PAB=0
5、 D PA+B=PC 已知 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列四个说法中正确的是 A若 acosA=bcosB=ccosC，则 ABC 一定是等边三角形B若 acosA=bcosB，则 ABC 一定是等腰三角形C若 bcosC+ccosB=b，则 ABC 一定是等腰三角形D若 a2+b2-c20，则 ABC 一定是锐角三角形如图正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF=12，则下列结论中正确的是 A ACBE B EF平面ABCD C三棱锥 A-BEF 的体积为定值D AEF 的面积与 BEF 的面积相等三、填空
6、题（本题共4小题，每小题5分，共20分）复数 z=12+4a-a2-8a-16i 在复平面上对应的点在第四象限，则实数 a 的取值范围为 袋中 12 个小球，分别有红球、黑球、黄球各若干个（这些小球除颜色外其他都相同），从中任取一球，得到红球的概率为 13，得到黑球的概率比得到黄球的概率多 16，则得到黑球、黄球的概率分别是 若向量 a=1,2，b=0,1，ka-b 与 a+2b 共线，则实数 k= 如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面 ABC，AB=BC=AA1，ABC=90，E，F 分别是棱 AB，BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 所成的角是 四、解答题（共
7、6大题，共70分）（10分）已知复数 z1=a+i，z2=1-i，aR(1) 当 a=1 时，求 z1z2 的值；(2) 若 z1-z2 是纯虚数，求 a 的值；(3) 若 z1z2 在复平面上对应的点在第二象限，求 a 的取值范围（12分）现有某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度）的数据，根据这些数据，以 160,180，180,200，200,220，220,240，240,260，260,280，280,300 分组的频率分布直方图如图所示（1）求直方图中 x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为 220,240，240,260，260,280，28
8、0,300 的四组用户中，用分层随机抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 220,240 内的用户中应抽取多少户？（12分）在一次口试中，考生要从 5 道题中随机抽取 3 道进行回答，答对其中 2 道题为优秀，答对其中 1 道题为及格，某考生能答对 5 道题中的 2 道题，试求：（1）他获得优秀的概率为多少；（2）他获得及格及及格以上的概率为多少（12分）已知平面向量 a，b，a=2，b=1，且 a 与 b 的夹角为 3(1) 求 ab；(2) 求 a+2b；(3) 若 a+2b 与 2a+b（R）垂直，求 的值（12分）在 ABC 中，设 a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，
9、已知向量 m=a,sinC-sinB，n=b+c,sinA+sinB，且 mn(1) 求角 C 的大小(2) 若 c=3，求 ABC 的周长的取值范（12分）如图，在四棱锥 A-BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC=2，CD=2，AB=AC(1) 求证：BE面ABC；(2) 若 F，G 分别为棱 CD，AE 的中点，求证：GF平面ABC；(3) 设 ABC 为等边三角形，求直线 CE 与平面 ABE 所成角的大小答案一、选择题（共8题，共40分）1. 【答案】A【知识点】复数的乘除运算2. 【答案】A【解析】 l，m，l，反之若满足条件 l，m，lm，平面也可以是
10、 【知识点】平面与平面垂直关系的性质3. 【答案】B【知识点】事件的关系与运算4. 【答案】A【知识点】平面向量数量积的坐标运算5. 【答案】D【解析】去掉一个最高分 9.9 后再去掉一个最低分 8.4，剩余的分值为 9.4，9.4，9.6，9.4，9.7求平均值 9.4+9.4+9.6+9.4+9.75=9.5，代入方差运算公式可知方差为 0.016【知识点】样本数据的数字特征6. 【答案】C【解析】由题意，水的体积 =R22R-43R3=23R3，所以容器中水的深度 h=23R3R2=23R【知识点】球的表面积与体积7. 【答案】B【解析】由题意可知： AE=AB+BE=AB+13BD=A
11、B+13BC+CD=AB+13AC-AB+13-12AC=23AB+16AC. 【知识点】平面向量的分解8. 【答案】B【解析】如图，设 ABC 的外接球球心为 O，其半径为 r，球 O 的半径为 R，由题意可知，V1V2max=R+R2-r2R2-r2=3，可得 R=23r，因为 2r=ACsinABC=43，所以 r=23，所以 R=43，所以 S球=4169=649；当球心 O 在三棱锥 P-ABC 外时，结果不变【知识点】球的表面积与体积、组合体二、多选题（本题共4小题，每小题5分 ，共20分）9. 【答案】A；B；C【知识点】样本数据的数字特征、频率分布直方图10. 【答案】A；B；
12、C【解析】由题意知 A，B，C 为互斥事件，故C正确；又因为从 100 件中抽取产品符合古典概型的条件，所以 PB=710，PA=210，PC=110，则 PA+B=910，故A，B，C正确，D错误【知识点】事件的关系与运算11. 【答案】A；C【解析】由 acosA=bcosB=ccosC，利用正弦定理可得 sinAcosA=sinBcosB=sinCcosC，即 tanA=tanB=tanC，所以 A=B=C，ABC 是等边三角形，A正确；由 acosA=bcosB，可得 sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B，所以 2A=2B 或 2A+2B=， ABC 是等腰三
13、角形或直角三角形，B不正确；由 bcosC+ccosB=b，可得 sinBcosC+sinCcosB=sinB，即 sinB+C=sinB，所以 sinA=sinB，则 A=B，ABC 是等腰三角形，C正确；由余弦定理可得 cosC=a2+b2-c22ab0，角 C 为锐角，角 A，B 不一定是锐角，D不正确【知识点】判断三角形的形状12. 【答案】A；B；C【解析】连接 BD，则 AC平面BB1D1D，BDB1D1，所以 ACBE，EF平面ABCD，三棱锥 A-BEF 的体积为定值，从而ABC正确因为点 A，B 到直线 B1D1 的距离不相等，所以 AEF 的面积与 BEF 的面积不相等，故
14、D错误故选ABC【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面平行关系的判定、直线与平面垂直关系的性质三、填空题（本题共4小题，每小题5分 ，共20分）13. 【答案】 (2,6) 【解析】由复数 z=a+bi 性质可知，对应点在第四象限时，a0，b0,-8a-160-2a2. 所以 a2,6【知识点】复数的几何意义14. 【答案】 512，14 【解析】因为得红球的概率为 13，所以黑球或黄球的概率为 23记“得到黄球”为事件 A，“得到黑球”为事件 B，则 PA+PB=23,PB-PA=16. 所以 PA=14，PB=512【知识点】事件的关系与运算15. 【答案】 -12 【知识点】平面向量数
15、乘的坐标运算16. 【答案】 60 【知识点】异面直线所成的角四、解答题（共6题，共70分）17. 【答案】(1) 由题意 z1z2=1+i1+i=1+2i+i2=2i(2) 由题意 z1-z2=a-1+2i 为纯虚数，则 a-1=0，所以 a=1(3) z1z2=a+i1-i=a+i1+i1-i1+i=a+ai+i+i22=a-12+a+12i，对应点 a-12,a+12，它是第二象限角，则 a-120, 解得 -1a1，故 a 的范围是 -1,1【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算、共轭复数18. 【答案】（1）因为 0.002+0.0025+0.005+x+0.0095+0.011+
16、0.012520=1，所以 a=0.0075；（2）由频率分布直方图可知：220,240 对应的频数最大，所以众数为 230 度；因为前三组频率之和为 0.002+0.0095+0.01120=0.450.5，所以中位数在第四组数据中，设中位数为 t 度，所以 t=220+0.5-0.450.2520=224（3）因为 220,240，240,260，260,280，280,300 的频率之比为 0.012520:0.007520:0.00520:0.002520=5:3:2:1，所以月平均用电量在 220,240 内的用户中应抽取：1155+3+2+1=5 户，答：月平均用电量在 220,2
17、40 内的用户中应抽取 5 户【知识点】频率分布直方图、样本数据的数字特征19. 【答案】设这 5 道题的题号分别为 1，2，3，4，5，其中，该考生能答对的题的题号为 4，5，则从这 5 道题中任取 3 道回答，该试验的样本空间 =1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，共 10 个样本点（1）记“获得优秀”为事件 A，则随机事件 A 中包含的样本点个数为 3，故 PA=310（2）记“获得及格及及格以上”为事件 B，则随机事件 B 中包含的样本点个数为 9，故 PB=910【知识点】古典概型20. 【答案】(1
18、) 1；(2) 23；(3) -4【知识点】平面向量的数量积与垂直21. 【答案】(1) 由向量 m=a,sinC-sinB，n=b+c,sinA+sinB，且 mn，得：asinA+sinB=b+csinC-sinB，由正弦定理，得：aa+b=b+cc-b，化为：a2+b2-c2=-ab，由余弦定理，得：cosC=-12，所以，C=23(2) 因为 C=23，所以，B=3-A，由 B0，得：0A3，由正弦定理，得：asinA=bsinB=csinC=23， ABC 的周长为： a+b+c=23sinA+sinB+3=23sinA+sin3-A+3,=23sinA+2332cosA-2312s
19、inA+3=3sinA+3cosA+3=23sinA+3+3, 由 0A3，得：3A+323，32sinA+31，所以，周长 23sinA+3+36,23+3【知识点】Asin(x+)形式函数的性质、余弦定理、正弦定理22. 【答案】(1) 因为底面 BCDE 为矩形，所以 BEBC，因为 侧面ABC底面BCDE，且交线为 BC,BE平面ABCD，所以 BE面ABC(2) 取 AB 中点 H，连接 GH，CH，因为 G 是 AE 中点，所以 HGBE，HG=12BE，又因为矩形 BCDE，所以 BECD，BE=CD，且 F 是 CD 中点，所以 HGCF，HG=CF，所以四边形 FGHC 是平行四边形，所以 FGCH，又因为 FG平面ABC，CH平面ABC，所以 FG面ABC(3) 由（I）可知 BE面ABC因为 BE平面ABE，所以 平面ABE底面ABC，且交线为 AB，连接 EH，因为 ABC 为等边三角形，所以 CHAB，CH平面ABE，所以 CEH 是直线 CE 与平面 ABE 所成角，在矩形 BCDE 中，CE=6，在正 ABC 中，CH=3， sinCEH=CHCE=36=22，因此 CEH=45，即直线 CE 与平面 ABE 所成角为 45【知识点】平面与平面垂直关系的性质、直线与平面平行关系的判定、线面角
