1、期末复习专题训练15立体几何（翻折问题）一、单选题1如图所示，在四边形中，将沿折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面2如图是正方体的平面展开图关于这个正方体，有以下判断：与所成的角为平面平面平面其中正确判断的序号是ABCD3在中，是斜边的高线，现将沿折起，使平面平面，则折叠后的长度为A2BCD34已知中，点在线段上除，的位置运动，现沿进行翻折，使得线段上存在一点，满足平面；若恒成立，则实数的最大值为A1BC2D5如图梯形中，分别是，的中点，将四边形沿直线进行翻折，给出四个结论：；平面平面；平面平面则在翻折过程中，可能成立的结论的个
2、数为A1B2C3D46已知平行四边形中，为的中点，将沿直线翻折成，若为的中点，则在翻折过程中（点平面，给出以下命题：的长是定值；平面；存在某个位置，使；异面直线与所成的角的大小是定值其中，正确的命题个数是A1B2C3D47如图，在正方形中，分别是，的中点，现在沿，把这个正方形折成一个四面体，使、重合，重合后的点记为给出下列关系：平面；平面；平面其中成立的有ABCD8如图，在直角梯形中，为中点，分别为，的中点，将沿折起，使点到，到，在翻折过程中，有下列命题：的最小值为1；平面存在某个位置，使无论位于何位置，均有其中正确命题的个数为A1B2C3D4二、 多选题9矩形中，将沿折起，使到的位置，在平面
3、的射影恰落在上，则A三棱锥的外接球直径为5B平面平面C平面平面D与所成角为10如图所示，在矩形中，为上一动点，现将沿折起至，在平面内作，为垂足设，则下列说法正确的是A若平面，则B若平面，则C若平面平面，且，则D若平面平面，且，则11如图，正方形的边长为1，、分别为、的中点，将正方形沿对角线折起，使点不在平面内，则在翻折过程中，以下结论正确的是A异面直线与所成的角为定值B存在某个位置，使得直线与直线垂直C三棱锥与体积之比值为定值D四面体的外接球体积为12已知四边形是等腰梯形（如图，将沿折起，使得（如图，连结，设是的中点下列结论中正确的是AB点到平面的距离为C平面D四面体的外接球表面积为三、 填空
4、题13把边长为4的正方形沿对角线折成空间四边形，使得平面平面则空间四边形的对角线的长为14如图，四边形是矩形，且有，沿将翻折成，当二面角的大小为时，则异面直线与所成角余弦值是15已知矩形中，沿对角线将三角形折起，使得点在平面上的射影在线段上，此时的值是16在梯形中，将沿对角线翻折到，连结当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为四、 解答题17如图1，是以为直径的圆上两点，且，将所在的半圆沿直径折起，使得点在平面上的正投影在线段上，如图2（1）求证：平面；（2）已知为中点，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由18如图，在直角梯形中，为中点，现将平面图形沿折
5、成一个直二面角，得到四棱锥，分别为侧棱、的中点（1）证明：平面平面；（2）求三棱锥的体积期末复习专题训练15立体几何（翻折问题）答案1解：在四边形中，又平面平面，且平面平面，故平面，则，又，平面，又平面，平面平面故选：2解：把正方体的平面展开图还原成正方体，在中，是与所成角（或所成角的补角），是等边三角形，与所成的角为，故正确；在中，平面，平面，平面，故正确；在中，与相交，与不平行，故错误；在中，、平面，、平面，平面平面，故正确故选：3解：在直角三角形中，可得，由射影定理可得，即，可得，由于平面平面，平面，平面平面，所以平面，即有，所以故选：4解：因为，且点在线段上除、的位置运动，要使上存在一
6、点，满足平面，使恒成立，则当恰好为点时，为临界条件不可为点，但可用来计算），即，且，因为，可得，所以，解得，所以的最大值为1故选：5解：因为，与相交不垂直，所以与不垂直，则错误；设点在平面上的射影为点，当时就有，而，可使条件满足，所以正确；当点落在上时，平面，从而平面平面，所以正确；因为点的投影不可能在上，所以平面平面不成立，即错误故选：6解：设，取的中点，连接、，、分别为、的中点，且，在中，由余弦定理知，是定值，即正确；由可知，且、平面，、平面，平面平面，又平面，平面，即正确；假设存在某个位置，使连接，由可知，在中，即，、平面，平面，又平面，这与已知矛盾，即错误；由可知，即为异面直线与所成的
7、角，在中，为定值，即正确正确的命题为，故选：7证明：正确在折前正方形中，折成四面体后，又，平面错误根据知，平面若平面，则，而由图知与明显相交正确即，又，平面，又平面，所以错误不垂直于，不垂直于平面故成立的有故选：8解：在直角梯形中，为中点，分别为，的中点，将沿折起，使点到，到，在翻折过程中，当与重合时，的最小值为1；所以正确；连接交于连接，可以证明平面平面，所以平面，所以正确；当平面时，所以正确；因为，所以直线平面，所以无论位于何位置，均有所以正确；故选：9解：对于，取中点，连接，则三棱锥的外接球直径为5，故正确；对于，平面，又，、平面，平面，平面，平面，平面，平面平面，故正确；对于，与不垂直
8、，平面与平面不垂直，故错误；对于，是与所成角（或所成角的补角），与所成角为，故错误故选：10解：如图，对于，若平面，则有，在中，则，所以，在中，即，故错误；对于，若平面，则有，在中，在中，即，解得，故正确；对于，若平面平面，过点作，垂足为，连接，因为平面平面，所以平面，所以，又，所以平面，所以，因为，所以在等腰中，所以在等腰中，故正确；对于，若平面平面，因为平面平面，所以平面，所以，过点作，垂足为，连接，因为，所以平面，又平面，所以，所以在矩形中，连接，则有，三点共线，则，又，所以，又，由知，因为，所以，故正确故选：11解：对于，取中点，连接，则，且，平面，异面直线与所成的角为，又，异面直线与
9、所成的角为定值，故正确；对于，若直线与直线垂直，直线与直线也垂直，则直线平面，直线直线，又，平面，而是以和为腰长的等腰三角形，与题意不符，故错误；对于，分别为正方形的边、的中点，与面积比为，到面的距离与到面的距离之比为，三棱锥与体积之比值为定值，故正确；对于，外接球球心在中点，由题意解得外接球半径，四面体的外接球体积为，故正确故选：12解：在图1中，过作，四边形是矩形，四边形是等腰梯形，连接，则，得，则在图2中，平面平面，平面若，又，平面，过一点与垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故错误；由，得，又，而，设点到平面的距离为，由，得，即，故正确；假设平面，平面，平面，
10、平面，又，平面平面，而平面，平面，与平面平面矛盾假设不成立，故与平面不平行，故错误；连接，为，为，且为的中点，即为四面体的外接球的球心，四面体的外接球的半径为，则四面体的外接球表面积为，故正确故选：13解：取中点，连接，把边长为4的正方形沿对角线折成空间四边形，使得平面平面，是平面与平面所成角的二面角，平面平面，空间四边形的对角线的长为：故答案为：414解：如图所示，设，则，过作，交于，交于，则，是异面直线与所成角（或所成角的补角），异面直线与所成角余弦值是故答案为：15解：设点在平面上的射影在线段上为，则平面，又，且，平面，可得，在中，由，可得；设，则，即，解得，可得故答案为：16解：由题意
11、可知梯形是直角梯形，将沿对角线翻折到，连结当三棱锥的体积最大时，平面平面，是等腰直角三角形，外心是的中点，三角形也是等腰直角三角形，外心为，连接，则平面，所以为外接球的球心，外接球的半径为，三棱锥的外接球的表面积为：故答案为：17（1）证明：由图1可知：，由图2，为在平面的投影，平面，面，面，面，面（2）解：不存在不妨令，则，面，在中，勾股定理可得，取中点，中点，分别连，为中点，易知，面面，由图易知，线段与面不相交，线段上不存在点使面18解：（1）证明：，是中点，平面，平面，平面，平面，、平面，平面，平面，平面平面（2）平面平面，平面平面，平面，是中点，到平面的距离，是中点，三棱锥的体积为：
