1、期末复习专题训练23立体几何（异面直线所成的角1）1如图所示，在直角梯形中，四边形是正方形，且平面平面，为的中点，求证：；（2）求异面直线与所成角的余弦值解：证明：四边形为正方形，平面平面，平面平面，平面平面平面，设，则，且，平面，又平面取的中点记为，的中点记为，连接，易得在直角梯形中，由，可得，四边形为平行四边形，可得故，那么即为异面直线与所成的角（或其补角）设，则，可得得异面直线与所成角的余弦值为2如图，将正六边形中的一半图形绕翻折到，使得是与的交点（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值证明：（）由正六边形对称性可知，因此， （3分）又，平面，平面，所以平面（5分）又因为平面，
2、所以平面平面（7分）（）（方法一）由（）已得平面平面作于，又由于平面平面，所以平面连接，则就是直线与平面所成的角 （11分）不妨设正六边形边长为2则且，得，在中，所以直线与平面所成角的正弦值为 （15分）3在如图所示的三棱锥中，分别是，的中点（1）求证：平面；（2）若为正三角形，且，为上的一点，求直线与直线所成角的正切值证明：（1）取的中点，连接，（1分）在中，因为，分别为，的中点，所以，平面，平面，所以平面（3分）在矩形中，因为，分别为，的中点，所以，平面，平面，所以平面（4分）因为，所以平面平面（5分）因为平面，所以平面（6分）解：（2）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面，连接，因为为正三
3、角形，为中点，所以，所以平面，取的中点，连接，可得，故平面，又因为，所以，所以即为直线与直线所成角（9分）设，在中，所以，故直线与直线所成角的正切值为（12分）4如图1，在中，是上的高，沿将折成的二面角，如图2（1）证明：平面平面（2）设为的中点，求异面直线与所成的角的大小解：（1）证明：是上的高，沿将折成的二面角，且，平面又平面，平面平面（2）取的中点，连接，则，为异面直线与所成的角（或其补角）在中，中，由题意，中，由余弦定理可得，异面直线与所成的角的大小为5如图，已知四边形是正方形，平面，分别为，的中点（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值（1）证明：平面，平面，四边形是
4、正方形，又，平面，平面，分别为，的中点，为的中位线，得平面，又平面，平面平面；（2）解：平面，平面，又平面，四边形是正方形，又，平面，平面，又平面，平面平面连接，则，平面平面，平面，为直线与平面所成角的余角，即在等腰直角三角形中，得连接，得，在中，即直线与平面所成的角的正弦值为6如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱、的交点记为、（1）在三棱柱中，若过、三点做一平面，求截得的几何体的表面积；（2）求三棱柱中异面直线与所成角的余弦值解：（1）由操作可知，该正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，正三棱柱的高为3所求几何体的表面积为各面的面积之和又，又在三角形中，故（2）延长到，使，连结，则易证，所以异面直线与所成的角即为（或其补角）在中，由余弦定值得
