1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册6.4.3（1）余弦定理广信数学组课 堂 引 入课 堂 引 入一个一个三三角形含有各种各角形含有各种各样样的几何量，例如的几何量，例如三三边边长、边边长、三三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。例如，我们得到过勾股定理、锐角例如，我们得到过勾股定理、锐角三三角函数，这是直角角函数，这是直角三三角形中的边、叫角定量关系。对于一般角形中的边、叫角定量关系。对于一般三三角形，我们角形，我们已经定性地研究过已经定性地研究过三三角形的边、角关系得到了角形的边、角关系得到了SSS,SAS,ASA,
2、AAS等判定等判定三三角形全等的方法。这些判角形全等的方法。这些判定方法表明，给定定方法表明，给定三三角形的角形的三三个角、个角、三三条边这六个元素条边这六个元素中的某些元素，这个中的某些元素，这个三三角形就是唯一确定的。那么角形就是唯一确定的。那么三三角角形的其他元素与给定的某些元素有怎形的其他元素与给定的某些元素有怎样样的数量关系？的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问下面我们利用向量方法研究这个问题题。我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三三角形全等。角形全等。这说明，给定两边及其夹角的这说明，给定两边及其夹角的三三角形是唯一确定的。也就是
3、角形是唯一确定的。也就是说，说，三三角形的其它边、角都可以用这两边及其夹角来表示。角形的其它边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公那么，表示的公式式是什么？是什么？探究：探究： 在在三三角形角形ABC中中 ，三三个角个角A,B,C所对的边分别是所对的边分别是a,b,c,怎怎样样用用a,b和和C表示表示c？探索新知探索新知探索新知探索新知CAcab若ABC为任意三角形，已知角C，a, b,求边 c.由向量减法的由向量减法的三三角形法则得角形法则得bac)()(2babacccbabbaa2222cosaba bCCabbacos222Cabbaccos22222222cosabcbc
4、A设设cABbCAaCB,2222cosbcacaB同理可得同理可得B探索新知探索新知Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222CBAbac余弦定理余弦定理 三三角形任何一边的平方，等于其他两边的平方角形任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.你能用其他方法证明余弦定理吗？你能用其他方法证明余弦定理吗？探索新知探索新知bAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为X轴，过轴，过C点垂直于点垂直于CB的直线为的直线为Y轴，建立轴，建立如图所示的坐如图所示的坐标标系，则系，则A
5、、B、C三三点的坐点的坐标标分别为：分别为：)0 , 0(),0 ,(),sin,cos(CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbaCbABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222坐坐标标法法 课堂探究课堂探究它还有别的用途吗，它还有别的用途吗，若已知若已知a,b,c,可以求什么？可以求什么？abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222已知两边和它们的夹已知两边和它们的夹角求第角求第三三边边 课堂探究课堂探究思考：思考：勾
6、股定理指出了直角勾股定理指出了直角三三角形中角形中三三边之间的关系，余边之间的关系，余弦定理则指出了弦定理则指出了三三角形的角形的三三条边与其中的一个角之间的关系。条边与其中的一个角之间的关系。你能说说这两个定理之间的关系吗？你能说说这两个定理之间的关系吗？Cabbaccos2222222bac勾股定理勾股定理令令C900由由此此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例。余弦定理的特例。 引入新知引入新知一般地，一般地，三三角形的角形的三三个角个角A, B, C和和它们的对边它们的对边a, b, c叫做叫做三三角形的角形的元素元素。
7、已知已知三三角形的几个元素求其他元素的过程叫做角形的几个元素求其他元素的过程叫做解解三三角角形形(solving.triangles), 课堂典例课堂典例解：由余弦定理得解：由余弦定理得22222223161222 231bcaAbc ()()cos()60A45B180180604575CAB 例例1 1 在在ABC中，已知中，已知a= ,= ,b=2, =2, c= , = , 解三角形解三角形. .631222222( 6)( 31)22cos2226( 31)acbBac 课堂典例课堂典例例例2. 如图，在如图，在ABC中，已知中，已知a=5，b=4，C=120，求，求c.解：由余弦定
8、理，得解：由余弦定理，得2222cos120cabab因此因此221542 5 4 ()612c 120 abcCBA 课堂探究课堂探究 思考：思考：如何判断如何判断三三角形的形状角形的形状?推论：CBAbac设a是最长的边，则ABC是钝角三角形222bcaABC是锐角三角形222bcaABC是直角三角形222=bcabcacbA2cos222 课堂典例课堂典例例3 在ABC中，若， 则ABC的形状为（ ）222cba、钝角三角形、直角三角形、锐角三角形、不能确定222abc若AD练习：练习：三三角形角形三三边长分别为边长分别为4,6,8，则，则此三此三角形角形 为（为（ ）、钝角、钝角三三角
9、形角形 、直角、直角三三角形角形、锐角、锐角三三角形角形 、不能确定、不能确定A 课堂练习课堂练习练习：练习：已知已知ABC的的三三边为边为 、2、1，求它的最大，求它的最大内角。内角。7解：解：不妨设三角形的三边分别为不妨设三角形的三边分别为a= ,b=2,c=1 则最大内角为则最大内角为A.由余弦定理的推论得：由余弦定理的推论得：7思考：思考：若已知三边的比是若已知三边的比是 :2:1,:2:1,又怎么求？又怎么求？712021122721222AA)(cos结论：结论：已知三边可求三个角。（已知三边可求三个角。（SSSSSS） 课堂练习课堂练习证明：证明：点评点评:本题本题通过基通过基本
10、本不等不等式式的运用构造不等关系，的运用构造不等关系，再利用再利用三三角形的内角具有的范围，得到结论角形的内角具有的范围，得到结论.练习：练习： 的内角的内角A,B,C的对边分别为的对边分别为a,b,c 且满足且满足b2=ac 求证求证:ABC30 B 课堂小结课堂小结 余弦定理可以解决的有关余弦定理可以解决的有关三三角形的问角形的问题题：1、已知两边及其夹角，求第、已知两边及其夹角，求第三三边和其他两个角。边和其他两个角。2、已知、已知三三边求边求三三个角；个角；3、判断、判断三三角形的形状角形的形状.余弦定理：余弦定理：推论推论: :Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222
