1、6.4.3 余弦定理一、教学目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题3.通过对余弦定理的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养二、教学重点 掌握余弦定理及其推论教学难点 掌握余弦定理的综合应用三、教学过程1、情境引入问题1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的也就是说，三角形的其他边和角都可以用这两边及其夹角来表示，那么如何表示呢？由此引入本节研究内容问题2：已知三角形两边分别为b和c,这两边的夹角为A，角A满足什么条件时较易求出第三边a？2、探索新知 探究问题：在ABC中，已知CB
2、=a，CA=b，CB与CA的夹角为C， 求边c引导学生用向量方法按如下步骤探索余弦定理： 把几何元素用向量表示：设, ，,那么 进行恰当的向量运算： 对上式两边平方，得 c2=cc=(ab)(ab)=aa+bb2ab 向量式化成几何式： 追问：如何用已知的边b，c和它们的夹角A表示第三边a？如何用已知的边c ，a和它们的夹角B表示第三边b？ 答：同理可得 1）余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 a2b2c22bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC 注意：正弦定理结构的最大特点是等式两边均为齐次式，结构和谐体现了
3、数学的和谐美 问题3：利用余弦定理可以解决“已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边”的问题然而，有时我们需要根据三角形的边长求角请思考：能否将余弦定理适当变形，用三条边表示角？ 2）余弦定理推论：问题4：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系你能说说这两个定理之间的关系吗？ 答：若三角形ABC中C=90，则cos 90=0，这时c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2；勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广3）解三角形：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c称为三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的
4、过程叫解三角形问题6：利用余弦定理及其推论，可以解决哪几类解三角形问题？答：利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两边和一个夹角，求第三边和其他两个角（2）已知三边，求三个角【例1】在ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41，解这个三角形 （角度精确到1，边长精确到1 cm）解：根据余弦定理，得 a=b+c-2bccosA=60+34-26034cos41 1 676.78 a41(cm)由余弦定理的推论，得利用计算器，可得C106 所以B=180-(A+C)180-(41+106)=33【例2】在ABC中，a=7，b=8，锐角C满足sinC=3314 ，
5、求B（精确到1）解：因为sinC=3314，且C为锐角所以cosC=1-sin2C=1-(3314)2=1314由余弦定理，得c=a+b-2abcosC=49+64-2781314=9所以c=3所以cos B=利用计算器，可得C98方法规律：已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边【例3】在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A)sin A，判断ABC的形状解(accos
6、B)sin B(bccos A)sin A由余弦定理可得：ba整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2即 (a2b2)(a2b2c2)0a2b2c20或a2b2a2b2c2或ab故ABC为直角三角形或等腰三角形方法规律：判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状四、课堂练习P44 练习1、 (1) 在ABC中，已知b3，c2，A30，求a(2) 在ABC中，已知b3，c3，B30，求角A、角C和边a解(1)由余弦定理，得a2b2c22bccos A32(2)2232cos 303所
7、以a(2)由余弦定理b2a2c22accos B得32a2(3)22a3cos 30即a29a180，解得a3或a6当a3时，A30，C120当a6时，由余弦定理cos A0，A90，C602、在ABC中，若acos Bacos Cbc，试判断该三角形的形状.解由acos Bacos Cbc并结合余弦定理得aabc即bc整理，得(bc)(a2b2c2)0因为bc0，所以a2b2c2，故ABC是直角三角形五、课堂小结1余弦定理是三角形边角之间关系的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例2用余弦定理可以解决两种解三角形的题型(1)已知三边解三角形(2)已知两边及一角解三角形3已知两边及其中一边所对角用余弦定理求解时可能有两个解，注意用边与角之间的关系特点进行取舍六、课后作业习题6.4 6七、课后反思
