1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册8.6.2 直线与平面垂直直线与平面垂直（第二课时）（第二课时）温故知新温故知新 如果直线如果直线 l 与平面与平面 内的任意一条直线内的任意一条直线都垂直，我们说都垂直，我们说直线直线 l 与平面与平面 互相垂直互相垂直. .定义定义 判定定理判定定理 如果一条直线与一个平面内的如果一条直线与一个平面内的两两条相交条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直直线都垂直，那么该直线与此平面垂直PlA斜线斜线PAPA与平面与平面 所成的角为所成的角为 PABPAB知识探究知识探究 如图，长方体如图，长方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1
2、 1D D1 1中，中，棱棱AAAA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1，DDDD1 1所在直线与所在直线与底面底面ABCDABCD的位的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？置关系？A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1课堂探究课堂探究 一个平面的垂线有多少条？这些直线一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？彼此之间具有什么位置关系？课堂探究课堂探究 已知：已知：求证：求证：ababO a bbOa bb Oa bbc Oa平面平面 b平面平面 如果直线如果直线a a，b b都垂直于平面都垂直于平面
3、，由观，由观察可知察可知a/ba/b，从理论上如何证明这个结论？，从理论上如何证明这个结论？(反证法反证法)O引入新课引入新课 记直线记直线b b和和的交点为的交点为O, , 则可过则可过O作作 b ba.a.证明：证明：假设假设a a与与b b不平行不平行. .ac,bc,ac,bc,又又baba，bc.bc.这样在平面这样在平面内过点内过点O有两条直线有两条直线b b和和bb都垂直直线都垂直直线c , c , 这不可能这不可能! !a , ba , bab.ab.直线直线b b 与与b b确定平面确定平面， 设设=c=c反证法的步骤反证法的步骤1.1.否定结论否定结论2.2.正确推理正确推
4、理3.3.导出矛盾导出矛盾肯定结论肯定结论引入新课引入新课 直线和平面垂直的性质定理：直线和平面垂直的性质定理：符号语言：符号语言：图形语言：图形语言： 如果如果，那么，那么这两条直线平行这两条直线平行.ab/abab，作用：作用：证线线平行证线线平行课堂练习课堂练习 练习练习1:1:设设a a，b b为直线，为直线，为平面，若为平面，若aa，b/b/，则，则a a与与b b的位置关系如的位置关系如何？为什么？何？为什么？a ab bl结论：结论：垂直于平面的直线，也垂直于和这个垂直于平面的直线，也垂直于和这个平面平行的直线平面平行的直线.课堂练习课堂练习 练习练习2:2:设设l为直线，为直线
5、，为平面，若为平面，若l，/，则，则l与与的位置关系如的位置关系如何？为什么？何？为什么？lab b结论：结论：两个平行平面中的一个垂直于一条直线，两个平行平面中的一个垂直于一条直线，则另一个平面也垂直于这条直线则另一个平面也垂直于这条直线.课堂练习课堂练习 1.判断下列命题是否正确：判断下列命题是否正确：平行于同一条直线的两条直线互相平行平行于同一条直线的两条直线互相平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一条直线的两条直线互相平行;平行于同一个平面的两条直线互相平行；平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行垂直于同一个平面的两条直线互相平行.正确的是：
6、正确的是：典例讲解典例讲解 11,AABB11/ /AABB/ /l11/ /lAB所以四边形所以四边形 是矩形是矩形11AABB11AABB例例5 如图如图8.6-19，直线，直线 平行于平平行于平面面 ，求证：直线，求证：直线 上各点到平面上各点到平面 的距离相等。的距离相等。ll证明：证明：过直线过直线 上任意两点上任意两点 分别作平面分别作平面 的垂的垂线线 ，垂足分别为，垂足分别为 ,A B11,AA BB11,A Bl11,AB 设直线设直线 确定的平面为确定的平面为11,AA BB由由 是直线是直线 上任取的两点，可知直线上任取的两点，可知直线 上各点到上各点到平面平面 的距离相
7、等的距离相等ll,A B引入新课引入新课 一条直线与一个平面平行时，这条直一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条做这条直线到直线到这个这个平面的距离。平面的距离。如果两个平面平行，那么其中一个平如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这都相等，我们把它叫做这两个平行平两个平行平面间的距离。面间的距离。典例讲解典例讲解例例6 推导棱台的体积公式推导棱台的体积公式13PyramidVh SSSS其中其中 分别是棱台的上、下底面积，分别是棱台的上、下底面积， 是
8、高是高,S Sh典例讲解典例讲解 解：解：如图，延长棱台各侧棱交于点如图，延长棱台各侧棱交于点 ，得，得到截得棱台的棱锥。过点到截得棱台的棱锥。过点 作棱台的下底作棱台的下底面的垂线，分别于棱台的上、下底面交于面的垂线，分别于棱台的上、下底面交于点点 ，则，则 垂直于棱台的上底面，从垂直于棱台的上底面，从而而 PP,O OPOOOh设截得棱台的棱锥的体积为设截得棱台的棱锥的体积为 ，去掉的棱锥，去掉的棱锥的体积为的体积为 、高为、高为 ，则，则 。于是。于是 VVhPOh11,()33VS h VS hh由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下
9、底面相似，并且面相似，并且典例讲解典例讲解 所以棱台的体积所以棱台的体积11()33PyramidVVVS hhS h1()3ShSSh22()ShShh所以所以代入代入 ，得，得S hhSS1()3PyramidSVh SSSSS13h SSSS课堂探究课堂探究 探究探究：a ,bab性质定理：性质定理：a ,abba ,aababa错误错误课堂练习课堂练习 ADCBA1B1C1D1如图，在如图，在ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，EFEF是异面直是异面直线线ACAC与与A A1 1D D的的公垂线公垂线，EF提示：是指与两条异面直线都垂直的直线.课堂小结课堂小结 2.2.数学思想数学思想转化转化空间问题空间问题平面问题平面问题1.1.知识方法知识方法小小 结结线面垂直的性质定理及其应用线面垂直的性质定理及其应用反证法反证法垂直关系垂直关系平行关系平行关系线面关系线面关系线线关系线线关系
