1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册6.4.1 平面几何中的向量方法广信数学组6.4 平面向量的应用复习复习1.共线的等价条件共线的等价条件:ab 与与 共线共线 0, bRba11221221( ,)(,)/0ax ybxyabx yx y， 设设O为平面上任一点，则：为平面上任一点，则：A、P、B三点共线三点共线 .OPOAOB (其中其中 + = 1)2.向量垂直的充要条件：向量垂直的充要条件：0, 00bababa3.两向量相等充要条件两向量相等充要条件：, baba且方向相同。且方向相同。0),(),(21212211yyxxbayxbyxa，21212211,),()
2、,(yyxxbayxbyxa，复 习复 习4.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 、 是同是同 一平面内的两个一平面内的两个不共线不共线的向量，那么对于这一的向量，那么对于这一平面内的任何向量平面内的任何向量 ，有且只有有且只有一对实数一对实数 ，使，使1e2e a12, 1 122aee 5.平面向量的数量积平面向量的数量积2121cosyyxxbaba121222221122cosx xy ya ba bxyxy 课堂引入课堂引入由于向量的线性运算和数量积运算具有由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等
3、、相似、长度、夹角都可以由向平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因量的线性运算及数量积表示出来，因此此，利，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问用向量方法可以解决平面几何中的一些问题题 课堂典例课堂典例11,22ADAB AEAC 1/ /,2DEBC DEBC例例1 如图如图6.4-1，DE是是 的中位线，用向量的方法证明：的中位线，用向量的方法证明：ABC111()222DEAEADACABACAB 从而从而BCACAB 又又12DEBC 所以所以证明：证明：如图如图6.4-2，因为，因为DE 是是 的中位线，所以的中位线，所以ABC于是于是1/ /,2D
4、EBC DEBC探索新知探索新知（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表建立平面几何与向量的联系，用向量表示问示问题题中涉及的几何元素，将平面几何问中涉及的几何元素，将平面几何问题题转化为向量问转化为向量问题题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问系，如距离、夹角等问题题；（3）把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系。成几何关系。用向量方法解决平面几何问用向量方法解决平面几何问题题的的“三三步曲步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形 课堂典例课堂典例例例2、如图，已知平行、如图，已知平行
5、四四边形边形ABCD，你能发现对角线，你能发现对角线AC和和BD的长的长度与两条邻边度与两条邻边AB和和AD的长度之间的关系吗？的长度之间的关系吗？ABDC分析：平行分析：平行四四边形中与两条对角线边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关向量运算来探索它们的模之间的关系。系。 课堂典例课堂典例bADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaAC,22222()ACBDABAD22222ACabaabb22222BDabaabb ABDC第一步：第一步：建立平面几何与向量
6、的联系，用向量表示问建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题题中涉及的几何元素，将平面几何问中涉及的几何元素，将平面几何问题题转化为向量问转化为向量问题题；第第二二步：步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问距离、夹角等问题题；第第三三步：步：把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系。成几何关系。22222()ACBDab上面两上面两式式相加，得相加，得 课堂典例课堂典例ABDC方法方法二二：以A点为坐标原点，AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系.,0,cbaCcbDaB则设cabBDcbaACcbADaAB,0 ,.2,2,2222
7、2222222222222abcbacabBDabcbacbaACcbADaAB22222ADABBDACxy 课堂典例课堂典例如果不用向量的方法，你能得到上述结论吗？如果有，怎么来解决呢？如果不用向量的方法，你能得到上述结论吗？如果有，怎么来解决呢？ABCDEF.,:,BEAFBCADBCERtADFRtFABDFEABCE则于于作222222222222()222ACAECEABBECEABAB BEBECEABAB BEBCABAB BEAD由于222222222222()222BDBFDFABAFDFABAB AFAFDFABAB AFADABAB BEAD22222()ACBDABA
8、D方法方法三三： 课堂练习课堂练习._,的值为则，若、于不同的两点，的直线分别交直线的中点，过点是中，点如图所示，在nmANnACAMmABNMACABOBCOABC.2,122,22,21nmnmONMANnAMmAOANnACAMmABACABAOBCO则三点共线，、又又的中点是解：解： 课堂练习：课本第课堂练习：课本第5454页页练习：如图，练习：如图， ABCD中，点中，点E、F分别是分别是AD 、 DC边的边的中点，中点，BE 、 BF分别与分别与AC交于交于R 、 T两点，你能发现两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论。之间的关系吗？用向量方法证明
9、你的结论。ABCDEFRT 课堂典例课堂典例又因为又因为 共线，共线，所以设所以设EREB与与12() ERmEBm abABCDEFRT由于由于 与与 共线，故设共线，故设ARAC(),rn ab nRACab则则,ABa ADb ARr设设解：解：ARAEER 因为因为1122()rbm ab 所以所以 课堂典例课堂典例1122()()n abbm ab 因因此此102()()mnm anb 即即由于向量由于向量 不共线，不共线，, a b0102nmmn 1n=m =3131133, ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TC 课堂典例课堂典例练习、已知平面上
10、练习、已知平面上三三点点A、B、C满满足足 ，则，则 的值等于（）的值等于（）345ABBCCA ，AB BCBC CACA AB -25-150B.25D课堂小结课堂小结（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表建立平面几何与向量的联系，用向量表示问示问题题中涉及的几何元素，将平面几何问中涉及的几何元素，将平面几何问题题转化为向量问转化为向量问题题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问系，如距离、夹角等问题题；（3）把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系。成几何关系。1.用向量方法解决平面几何问用向量方法解决平面几何问题题的的“三三
11、步曲步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形 课堂典例课堂典例2.2.用向量方法解决平面几何问题的基本思用向量方法解决平面几何问题的基本思路：路：几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系向量运算关系化化 向量关系几何化向量关系几何化. .3.3.用向量方法研究几何问题，需要用向量用向量方法研究几何问题，需要用向量的观点看问题，将几何问题化归为向量问的观点看问题，将几何问题化归为向量问题来解决题来解决. .它既是一种数学思想，也是一它既是一种数学思想，也是一种数学能力种数学能力. .其中其中合理设置向量，并建立合理设置向量，并建立向量关系向量关系，是解决问题的关键，是解决问题的关键. .
