1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册8.3 简单几何体的简单几何体的表面积与体积表面积与体积温故知新温故知新 ahS21bahbhaSAabsin面积面积: :平面图形所占平面的大小平面图形所占平面的大小 S=ababABacsin21ahBChbaS)(21abh2rSrlS212360rnabArl圆心角为n0rc引入新课引入新课 设长方体的长宽高分别为a、b、h，则其表面积为多面体的表面积正方体和长方体的表面积正方体和长方体的表面积 长方体的表面展开图是六个矩形组成的平面图形，其表面是这六个矩形面积的和.S=2（ab+ah+bh)abh特别地，正方体的表面积为S=6a2引入
2、新课引入新课 多面体的表面积 一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.棱柱的表面积=2 底面积+侧面积棱锥的表面积=底面积+侧面积侧面积是各个侧面面积之和棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积因此，四面体 的表面积课堂典例课堂典例 例例1 1 如图，四面体如图，四面体P-ABCP-ABC的各棱长均为的各棱长均为a,a,求它的表面积。求它的表面积。因为 是正三角形，其边长为 ，所以PBCa234PBCSa223434P ABCSaa解：PABC引入新课引入新课 旋转体的表面积lrS2侧)(2lrrS表圆柱 一般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其一
3、般地，对于圆柱、圆锥、圆台等旋转体，其底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要底面是平面图形（圆形），其侧面多是曲面，需要按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终按一定规则展开成平面图形进行面积的计算，最终得到这些几何体的表面积得到这些几何体的表面积. .2rS底圆柱的侧面展开图是一个矩形底面是圆形引入新课引入新课 旋转体的表面积rllrS221侧)(lrrS表圆锥2rS底侧面展开图是一个扇形底面是圆形引入新课引入新课 r2lOrO r2 r圆台的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环rlrlrl 22()Srrr lrl rlrll 112222()()r l lrlr l lrlr
4、l rlrl S侧侧()Sr lrl侧l 圆台圆台引入新课引入新课 各面面积之和各面面积之和rr0 r展开图展开图22()Srrr lrl 圆台圆台圆柱圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥圆锥空间问题空间问题“平面平面”化化棱柱、棱锥、棱柱、棱锥、棱台棱台圆柱、圆锥、圆柱、圆锥、圆台圆台所用的数学思想：所用的数学思想：柱体、锥体、台体的表面积柱体、锥体、台体的表面积引入新课引入新课 空间几何体的体积体积体积: :几何体所占空间的大小几何体所占空间的大小 长方体的体积长方体的体积= =长长宽宽高高正方体的体积正方体的体积= =棱长棱长3 3引入新课引入新课 棱柱和圆柱的体积高高h h柱体的体积 V
5、=Sh高高h h高高h h底面积底面积S S 高h引入新课引入新课 棱锥和圆锥的体积ABCDEOS底面积底面积S S 高高h hShV31体积引入新课引入新课 棱台和圆台的体积hSSSSV)(31高高h h引入新课引入新课 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系1()3VSS SS h上底扩大上底扩大VSh SS 0S 上底缩小上底缩小13VSh 引入新课引入新课 球的表面积和体积球的表面积和体积设球的半径为设球的半径为R，它的表面积只与半径，它的表面积只与半径R有关，有关，是以是以R为自变量的函数。为自变量的函数。事实上，如果球的半径为事实上，如果球的半径为
6、R，那么它的表面积为，那么它的表面积为24SR引入新课引入新课 n=6n=12A1A2OA2A1AnOpA3回顾圆面积公式的推导回顾圆面积公式的推导引入新课引入新课 球面被分割成球面被分割成n n个网格，连接球心个网格，连接球心O O和每和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个小网格的顶点，整个球体就被分割成n n个个“小锥体小锥体”。类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积表面积求球的体积O OABCDO OABCD当当n n越大，每个小网格越小时，每个越大，每个小网格越小时，每个“小小锥体锥体”的底面就越平，的底面就越平，“小锥体小锥体”就越就越近似于棱锥，其高越近似于球半径近似于棱锥，其高越近似于球半径R R，设，设O-ABCDO-ABCD是其中一个是其中一个“小锥体小锥体” ，它的体，它的体积是积是13O ABCDABCDVSR引入新课引入新课 O O由于球的体积就是这由于球的体积就是这n n个个“小锥体小锥体”的的体积之和，而这体积之和，而这n n个个“小锥体小锥体”的底面的底面积之和就是球的表面积。因此，球的体积之和就是球的表面积。因此，球的体积积由此，我们得到球的体积公式由此，我们得到球的体积公式231144333VSRRRR343VR
