1、8.6.2直线与平面垂直（第一课时）一、教学目标 1理解直线和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题2理解直线与平面所成角的概念，并会求一些简单的直线与平面所成角二、教学重点 1. 直线和平面垂直的判定定理及其应用2. 求直线与平面所成角教学难点 直线与平面垂直的判定定理的应用三、教学过程1、复习回顾情境引入问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识，比如旗杆与地面的位置关系，给我们以直线与平面垂直的形象，那什么叫做直线与平面垂直呢？ 怎样用数学语言刻画直线与平面垂直呢？由此引出本节研究内容2、探索新知观察：如右图,在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时
2、间的变化,影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直?答：旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直问题2：思考：对于地面上不过点B的任意一条直线BC，旗杆AB会与之垂直吗？ 答：旗杆AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直，引出直线与平面垂直的定义1）直线与平面垂直的定义： 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 问题3：定义中的“任意”一词能修改为“无数”吗？ 答：不能，如图问题4：在同一平面内，过一点有且只有一条直
3、线与已知直线垂直 . 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条?为什么? 答：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直2）直线与平面垂直的相关定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离探究问题：如图,一块三角形纸片ABC,过ABC的顶点A翻折纸片.得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC与桌面接触)(1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直? 答： 容易发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直(如下图)的充要条件是折痕AD是BC边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变
4、，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD、DC都垂直3）直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言：la，lb，a，b，abP l 图形语言：如图 简记：线线垂直线面垂直 问题5：两条相交直线可以确定一个平面,两条平行直线也可以确定一个平面,那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”或是“无数条直线”呢? 答：不能，如图【例1】求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面已知：，求证：证明：如图，在平面内取两条相交直线m、n直线 aam , ana/bbm , bn又m , n，m、n是
5、两条相交直线b【例2】如图，在三棱锥SABC中，ABC90，D是AC的中点，且SASBSC(1)求证：SD平面ABC(2)若ABBC，求证：BD平面SAC证明：(1) 因为SASC，D是AC的中点所以SDAC.在RtABC中，ADBD由已知SASB所以ADSBDS所以SDBD.又ACBDD，AC，BD平面ABC所以SD平面ABC(2) 因为ABBC，D为AC的中点所以BDAC.由(1)知SDBD又因为SDACD，SD，AC平面SAC，所以BD平面SAC方法规律：利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线(
6、3)根据判定定理得出结论4）直线和平面所成的角 如图，一条直线PA和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角l 为斜线l 与a的交点A为斜足直线OA为在平面a上的射影直线l 与射影OA所成角PAO(角)为直线l 与平面a上所成角直线与平面所成角取值范围：0 90【例3】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角解：连接，交于点O，再连接因为
7、是在正方体中，所以平面所以是直线与平面所成的角设正方体的边长为1所以在A1BO中，所以，所以直线与平面所成的角的大小等于30【例4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为棱AB的中点，求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值解：连接AC交BD于点O，过E作EO1AC交BD于点O1易证AC平面BB1D1DEO1平面BB1D1DB1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角设正方体的棱长为aE是AB的中点，EO1ACO1是BO的中点EO1AOB1O1tanEB1O1方法规律：求斜线与平面所成角的步骤：(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影
8、要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算四、课堂练习P152 练习 1、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，M是圆周上任意一点，ANPM，垂足为N求证：AN平面PBM证明：设圆O所在的平面为PA，且BMPABM又AB为O的直径，点M为圆周上一点AMBM. 由于直线PAAMABM平面PAM，而AN平面PAMBMANAN与PM、BM两条相交直线互相垂直故AN平面PBM2、在正方体ABCDA1B1C1D1中
9、(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角证明：(1)直线A1A平面ABCDA1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角设A1A1，则AC，tanA1CA(2)连接A1C1交B1D1于O在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1BB1平面A1B1C1D1，A1C1平面A1B1C1D1BB1A1C1又BB1B1D1B1A1C1平面BDD1B1，垂足为OA1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角在RtA1BO中，A1OA1C1A1BA1BO30即A1B与平面BDD1B1所成的角为30五、课堂小结1、直线与平面垂直的定义2、线面垂直的判定定理3、直线和平面所成的角4、直线与平面垂直的证明与求直线和平面所成的角的方法六、课后作业习题8.6 4、5七、课后反思
