1、第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1010. .2 2 事件的相互独立性事件的相互独立性第十章 概率第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质, ,还研究过和事还研究过和事件的概率计算方法件的概率计算方法. .对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗题吗? ? 我们知道，积事件我们知道，积事件ABAB就是事件就是事件A A与事件与事件B B同时发生同时发生. .因此，积事件因此，积事件ABAB发生的概率一定与事件发生的概率一定与事件A A、B B发生
2、的概率有关发生的概率有关. .那么，这种关系会是那么，这种关系会是怎样的呢怎样的呢? ? 下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 下面两个随机试验各定义了一对随机事件下面两个随机试验各定义了一对随机事件A A和和B B，你觉得事件，你觉得事件A A发生与否会影响事件发生与否会影响事件B B发生的概率吗发生的概率吗? ? 试验试验1 1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， A=“A=“第一枚硬币正面朝上第一枚硬币正面朝上”，B=“B=“第二枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上”. .
3、试验试验2 2：一个袋子中装有标号分别是：一个袋子中装有标号分别是1 1、2 2、3 3、4 4的的4 4个球个球, ,除除标号外没有其他差异标号外没有其他差异, ,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. .设设A=A=“ “第一次摸到球的标号小于第一次摸到球的标号小于3 3” ”, ,B=B=“ “第二次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号小于3 3” ”. . 分别计算分别计算P(A)P(A)、P(B)P(B)、P(AB)P(AB)，你有什么发现，你有什么发现? ? 对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，
4、所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率. 对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率试验试验1 1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， A=“A=“第一枚硬币正面朝上第一枚硬币正面朝上”，B=“B=“第二枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上”. .分别计算分别计算P(A)P(A)、P(B)P(B)、P(AB)P(AB)，你有什么发现，你有什么发现? ? 在试验在试验1 1中，用中，用1 1表示硬币表示硬币“正面朝上正面朝上”，用，用0 0表示硬币表示
5、硬币“反面反面朝上朝上”， 则样本空间为则样本空间为 = = 积事件积事件ABAB的概率的概率P(AB)P(AB)恰好等于恰好等于P(A)P(A)与与P(B)P(B)的乘积的乘积. .P(A)=P(A)=由古典概型概率计算公式，得由古典概型概率计算公式，得而而A=A=(1(1, ,1)1), ,(1(1, ,0)0), ,(0(0, ,1)1), ,(0(0, ,0)0)，包含，包含4 4个等可能的样本点个等可能的样本点. .(1,1)(1,1), ,(1,0)(1,0)，B=B=(1(1, ,0)0), ,(0(0, ,0)0)，所以，所以AB=AB=(1(1, ,0).0).P(B)=P(
6、B)=P(AB)= P(AB)= ，2 21 1，2 21 1，4 41 1于是有于是有P(AB)=P(A)P(B).P(AB)=P(A)P(B).第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 试验试验2 2：一个袋子中装有标号分别是：一个袋子中装有标号分别是1 1、2 2、3 3、4 4的的4 4个球个球, ,除标号除标号外没有其他差异外没有其他差异, ,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. .设设 A=A=“ “第一次摸到球的标号小于第一次摸到球的标号小于3 3” ”, ,B=B=“ “第二次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号小于3 3” ”. . 分
7、别计算分别计算P(A)P(A)、P(B)P(B)、P(AB)P(AB)，你有什么发现，你有什么发现? ? 在试验在试验2 2中，样本空间中，样本空间=(m=(m, ,n)|m,n)|m,n n1,2,3,41,2,3,4，包含，包含1616个等可能的样本点个等可能的样本点. .而而A=A=AB=AB=(1(1, ,1)1), ,(1(1, ,2)2), ,(1(1, ,3)3), ,(1(1, ,4)4), ,(2(2, ,1)1), ,(2(2, ,2)2), ,(2(2, ,3)3), ,(2(2, ,4)4)，B=B=(1(1, ,1)1), ,(1(1, ,2)2), ,(2(2, ,
8、1)1), ,(2(2, ,2)2), ,(3(3, ,1)1), ,(3(3, ,2)2), ,(4(4, ,1)1), ,(4(4, ,2)2)，所以所以(1,1)(1,1), ,(1(1, ,2)2), ,(2(2, ,1)1), ,(2(2, ,2)2)，积事件积事件ABAB的概率的概率P(AB)P(AB)也等于也等于P(A)P(A)与与P(B)P(B)的乘积的乘积. .P(A)=P(A)=P(B)=P(B)=P(AB)= P(AB)= ，2 21 1，2 21 1，4 41 1于是也有于是也有P(AB)=P(A)P(B).P(AB)=P(A)P(B).第十章第十章 概率概率第十章第十
9、章 概率概率 对任意两个事件对任意两个事件A A与与B B，如果，如果 P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B)成立，则称成立，则称事件事件A A与事件与事件B B相互独立相互独立，简称为，简称为独立独立. . 这是因为必然事件这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件的影响；同样，不可能事件 总不会发生，也不受任何事件是总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响否发生的影响. .当然，它们也不影响其他事件是否发生当然，它们也不影响其他事件是否发生. .思考：必然事件思考：必然事件、不可能事件、不可能事件 与任意事件
10、相互独立吗？与任意事件相互独立吗？必然事件必然事件、不可能事件、不可能事件 都与任意事件相互独立都与任意事件相互独立第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. . 如果事件如果事件A A与事件与事件B B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立? ? 以有放以有放回摸球试验为例回摸球试验为例, ,验证验证A A与与 , , 与与B, B, 与与 是否独立是否独立, ,你有什么发现你有什么发现? ?我们就以实验我们就以实验2 2来验证来验证. .试验试验2 2：一
11、个袋子中装有标号分别是：一个袋子中装有标号分别是1 1、2 2、3 3、4 4的的4 4个球个球, ,除标号外除标号外 没有其他差异没有其他差异, ,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. .设设A=A=“第一次摸到球的标号小于第一次摸到球的标号小于3 3”,”,B=B=“第二次摸到球的标号小于第二次摸到球的标号小于3 3”. . 第第一一次次第二次第二次1 12 23 34 41 1 (1,1)(1,1) (1,2)(1,2) (1,3)(1,3) (1,4)(1,4)2 2 (2,1)(2,1) (2,2)(2,2) (2,3)(2,3) (2,4)(2
12、,4)3 3 (3,1)(3,1) (3,2)(3,2) (3,3)(3,3) (3,4)(3,4)4 4 (4,1)(4,1) (4,2)(4,2) (4,3)(4,3) (4,4)(4,4)易得，易得，n()=n()=1616， n(A)=n(A)=8 8，8 8，n(B)=n(B)= 8 8，8 8，n( )=n( )=B B4 4，n(A )=n(A )=B B4 4，n( B)=n( B)=A A4 4，n( )=n( )=A AB B所以所以P(A )=P(A )=B BP(A)P(A)P( )=P( )=B B，4 41 1P( )P( )A AP( B)=P( B)=A AP(
13、B)=P(B)=，4 41 1n( )=n( )=A AP( )P( )A AP( )=P( )=A AP( )=P( )=，4 41 1B BB B因此因此A A与与 ， 与与B B， 与与 是独立的是独立的. .A AA AB BB B第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率对于对于A A与与 ，因为，因为A=ABA A=ABA ，而且，而且ABAB与与A A 互斥，所以互斥，所以B BB BB BP(P(A A) )= =P(P(ABA ABA )=P()=P(ABAB)+P(A )=P(A)P(B)+P(A )+P(A )=P(A)P(B)+P(A )B BB BB BP(A )=
14、P(P(A )=P(A A)-P(A)P(B)=)-P(A)P(B)=B B所以所以P(P(A A)(1-P(B)=)(1-P(B)= P(P(A A)P( )P( )B B由事件的独立性定义，由事件的独立性定义，A A与与 相互独立相互独立. .B B类似地，可以证明事件类似地，可以证明事件 与与B B， 与与 也都相互独立也都相互独立. .A AA AB B注：注：我们知道，如果三个事件我们知道，如果三个事件A A、B B、C C两两互斥，那么概率加法公式两两互斥，那么概率加法公式P(AP(A1 1AA2 2AA3 3)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+P(A)+P(A
15、3 3) )成立，但当三个事件成立，但当三个事件A A、B B、C C两两两两独立时，等式独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立一般不成立. .第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率例1 一个袋子中有标号分别为1、2、3、4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A=“第 一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立?(1(1, ,2)2)，(2,1)(2,1)，(3,1)(3,1)，(3,2)(3,2)，(4,1)(4,1)，(4,2)(4,2)
16、，解：解：因为样本空间因为样本空间=(m,n)|m,n1,2,3,4=(m,n)|m,n1,2,3,4，且，且mnmn，A=A=(1,2)(1,2)，(1,3)(1,3)，(1,4)(1,4)，(2,1)(2,1)，(2,3)(2,3)，(2,4)(2,4)，B=B=此时此时P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)，因此，因此，事件事件A A与事件与事件B B不独立不独立. .所以所以P(A)=P(A)=AB=AB=(1,2)(1,2)，(2,1)(2,1). .P(B)=P(B)=，2 21 1，2 21 1. .6 61 1P(AB)=P(AB)=第十章第十章 概率概率第十章第
17、十章 概率概率例例2 2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.80.8，乙的中靶概率为，乙的中靶概率为0.90.9，求下列事件的概率，求下列事件的概率: : (1) (1)两人都中靶两人都中靶；(2)(2)恰好有一人中靶恰好有一人中靶； (3) (3)两人都脱靶两人都脱靶；(4)(4)至少有一人中靶至少有一人中靶. . “恰好有一人中靶恰好有一人中靶”=A B”=A B，且，且A A 与与 B B互斥，根据概率互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得的加法公式和事件独立性定义，得A AB BA AB B解解: :设设A=“A=
18、“甲中靶甲中靶”，B=“B=“乙中靶乙中靶”，则，则 =“=“甲脱靶甲脱靶”, ”, =“=“乙脱靶乙脱靶”.”.由于两由于两个人射击的结果互不影响，所以个人射击的结果互不影响，所以A A与与B B相互独立，相互独立，A A与与 ， 与与B B， 与与 都相互独立都相互独立. .A AB BA AB BA AB BA AB B由已知可得，由已知可得，P(A)=0.8P(A)=0.8，P(B)=0.9P(B)=0.9，P( )=0.2P( )=0.2，P( )=0.1.P( )=0.1.AB=“AB=“两人都中靶两人都中靶”，由事件独立性的定义，得，由事件独立性的定义，得(1)(1)P(AB)=
19、P(A)P(B)=0.8P(AB)=P(A)P(B)=0.80.9=0.9=0.720.72. .( (2 2) )=0.8=0.80.1+0.20.1+0.20.9=0.9=0.260.26. .P(A B)=P(A )+P( B)=P(A)P( )+P( )P(B)P(A B)=P(A )+P( B)=P(A)P( )+P( )P(B)A AB BA AB BA AB B第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率例例2 2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.80.8，乙的中靶概率为，乙的中靶概率为0.90.9，求下列事件的
20、概率，求下列事件的概率: : (1) (1)两人都中靶两人都中靶；(2)(2)恰好有一人中靶恰好有一人中靶； (3) (3)两人都脱靶两人都脱靶；(4)(4)至少有一人中靶至少有一人中靶. . (3)(3)事件事件“两人都脱靶两人都脱靶”= ”= ，所以，所以A A B B事件事件“至少有一人中靶至少有一人中靶”= ABA B”= ABA B，B BA AP( )=P( )P( )=P( )=P( )P( )=A AB BA AB B(1-0.8)(1-0.8)(1-0.9)(1-0.9)= = 0.020.02. .(4)(4)方法方法1 1：且且ABAB、A A 、 B B两两互斥，所以两
21、两互斥，所以B BA AP(P(ABA BABA B)=)=B BA AP(P(ABAB)+P()+P(A A )+P()+P( B B) )B BA A= =0.80.80.90.9+0.8+0.80.1+0.20.1+0.20.90.9 =0.98=0.98. .方法方法2 2：由于事件由于事件“至少有一人中靶至少有一人中靶”的对立事件是的对立事件是“两两人都脱靶人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件，根据对立事件的性质，得事件“至至少有一人中靶少有一人中靶”的概率为的概率为1-P( )=1-P( )=A AB B1-0.21-0.20.10.1= =0.980.98. .第十章第十章 概
22、率概率第十章第十章 概率概率例例3 3 甲、乙两人组成甲、乙两人组成“星队星队”参加猜成语活动参加猜成语活动, ,每轮活动由甲、乙每轮活动由甲、乙 各猜一个成语，各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为已知甲每轮猜对的概率为 ，乙每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为 . .在每轮活动中，甲和乙猜对在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响与否互不影响，各轮结果也互不影响. .求求“ “星队星队” ”在两轮活动中猜对在两轮活动中猜对3 3个成语的概率个成语的概率. .4 43 33 32 2解：解：设设A A1 1、A A2 2分别表示甲两轮猜对分别表示甲两轮猜对1 1个、个、2 2个
23、成语的事件，个成语的事件，B B1 1、B B2 2分别表示乙两轮分别表示乙两轮猜对猜对1 1个、个、2 2个成语的事件个成语的事件. .根据独立性假定根据独立性假定, ,得得P(P(A A1 1)=)=4 43 34 41 14 41 14 43 3，8 83 3P(P(A A2 2)=)=4 43 34 43 3，1 16 69 9P(BP(B1 1)=)=3 32 23 31 13 31 13 32 2，9 94 4P(BP(B2 2)=)=3 32 23 32 2. .9 94 4P(A)=P(AP(A)=P(A1 1B B2 2)+P(A)+P(A2 2B B1 1)=)=设设A=“
24、A=“两轮活动两轮活动星队星队猜对猜对3 3个成语个成语”，则，则A=AA=A1 1B B2 2AA2 2B B1 1，且，且A A1 1B B2 2与与A A2 2B B1 1互斥，互斥，A A1 1与与B B2 2、A A2 2与与B B1 1分别相互独立，所以分别相互独立，所以因此，因此，“星队星队”在两轮活动中猜对在两轮活动中猜对3 3个成语的概率是个成语的概率是 . .5 51 12 29 94 41 16 69 99 94 48 83 3. .1 12 25 5第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1.1.对任意两个事件对任意两个事件A A与与B B，如果，如果 P(AB)=
25、P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B) 成立，则称成立，则称事件事件A A与事件与事件B B相互独立相互独立，简称为，简称为独立独立. .2.2.必然事件必然事件、不可能事件、不可能事件 都与任意事件相互独立都与任意事件相互独立. .3.3.如果事件如果事件A A与事件与事件B B相互独立，那么它们的对立事件也相互独立相互独立，那么它们的对立事件也相互独立. .课堂小结第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率1袋内有袋内有3个白球和个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用个黑球，从中有放回地摸球，用A表示表示“第第一次摸到白球一次摸到白球”，如果，如果“第二次摸到白球第二次摸到白球”
26、记为记为B，否则记为，否则记为C，那么事件那么事件A与与B，A与与C的关系是的关系是()AA与与B，A与与C均相互独立均相互独立BA 与与B相互独立，相互独立，A与与C互斥互斥CA与与B，A与与C均互斥均互斥DA与与B互互斥，斥，A与与C相互独立相互独立A课堂检测第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率2某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连，则他连续做对第续做对第1题和第题和第2题的概率是题的概率是()A0.64B0.56 C0.81 D0.99C3判断下列各对事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件判断下列各对事件哪些是互斥事件
27、，哪些是相互独立事件(1)掷一枚骰子一次，掷一枚骰子一次，事件事件M：“出现的点数为奇数出现的点数为奇数”；事件；事件N：“出现的点数为出现的点数为数数”(2)掷一枚骰子一次，掷一枚骰子一次，事件事件A：“出现偶数点出现偶数点”；事件；事件B：“出现出现3点或点或6点点”第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率 4红队队员甲、乙、丙与蓝队队员红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲进行围棋比赛，甲对对A，乙对，乙对B，丙对，丙对C各一盘已知甲胜各一盘已知甲胜A、乙胜、乙胜B、丙胜、丙胜C的概率的概率分别为分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率队员获胜的概率答案：答案：0.55第十章第十章 概率概率第十章第十章 概率概率作业：
