1、8.6.3平面与平面垂直(第一课时）一、教学目标 1理解二面角的概念，并会求简单的二面角2理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题3. 通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力二、教学重点 掌握面面垂直的判定定理教学难点 会求简单二面角平面角的大小，会运用定理证明垂直关系三、教学过程1、情境引入问题1：在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？ 答：从生活中的实例出发，先让学生感性认识二面角再类比平面角的概念，从学生的最近思维发展区，引入二面角的
2、概念2、探索新知1）半平面：平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，每一部分都叫做半平面二面角：从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 记法：棱为AB，面为、的二面角记作二面角-AB-也可在、内(棱以外的半平面部分)分别取点P、 Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q棱记作l,这个二面角记作二面角-l-或P-l-Q问题2：虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度”并不一样比如日常生活中，常说“把门开大一些”，这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和
3、直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小这样的平面角该如何建构呢？2）二面角的平面角：在二面角-l-的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角 二面角的大小范围：二面角的平面角必须满足：角的顶点在棱上角的两边分别在两个面内角的边都要垂直于二面角的棱问题3：在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？ 答：由等角定理可知AOB的大小与点O在棱上的位置无关观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度
4、数，引出平面与平面垂直的定义3）平面与平面垂直：一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作观察：如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理?4）平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 符号语言：l，l 图形语言： 简记：线面垂直面面垂直 【例1】已知：如右图,正方体ABCD-ABCD，求证：平面ABD平面ACCA证明：ABCD-ABCD是正方体AA平面ABCD又BD平面ABCD BDAA又BDAC，ACAA=A，AC、AA平面
5、ACCA BD平面ACCA又BD平面ABD 平面ABD平面ACCA【例2】已知：如右图,AB是O的直径,PA垂直于O所在 的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点求证：平面PAC平面PBC证明：设O所在的平面为 ，由已知条件PA，BC在内所以PA BC因为点C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是O的直径所以BCA是直角，即BC AC又因为PA与AC是PAC所在平面内的两条相交直线所以BC 平面PAC因为BC在平面PBC内所以平面PAC 平面PBC方法规律：证明平面与平面垂直的方法(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两
6、个平面互相垂直【例3】如图所示,在正方体ABCD-ABCD中(1)求二面角D-AB-D的大小(2)若M是CD的中点,求二面角M-AB-D的大小解：(1)在正方体ABCD-ABCD中,AB平面ADDA所以AB AD，ABAD因此DAD为二面角D-AB-D的平面角在RtDDA中DAD=45所以二面角D-AB-D的大小为45(2)因为M是CD的中点所以MA=MB取AB的中点N，连接MN，则MNAB取CD的中点H，连接HN，则HNAB从而MNH是二面角M-AB-D的平面角.MNH=45所以二面角M-AB-D的大小为45方法规律：作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平
7、面内分别作垂直于棱的射线，如图则AOB为二面角-l-的平面角 (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角，如图AOB为二面角-l-的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角或其补角，如图AOB为二面角-l-的平面角【例4】如图在三棱锥P-ABC中，PA平面PBC，PA=PB=2，PC=4，BC=23 (1) 求证：平面PAB平面ABC(2) E为BA的延长线上一点，若二面角P-EC-B的大小为30求BE的长证明
8、：（1） 因为PA平面PBC所以PAPC,PAPB经计算得AC=2 AB=2所以AB2+BC2=AC2故BCAB又PA平面PBC所以PABC因为PAAB=A所以BC平面PAB又BC平面ABC故平面PAB平面ABC(2) 如图,取AB的中点F，连接PF因为PA=PB所以PFAB由(1)知平面PAB平面ABC又平面PAB平面ABC=AB PF平面PAB所以PF平面ABC所以PFEC过F作FGEC于G，连接PG因为PFEC PFFG=F所以EC平面FPG因为PG平面FPG所以ECPG于是PGF是二面角P-EC-B的平面角因此PGF=30又PF=所以FG=设BE=x(x2) 由(1)知BCAB所以EF
9、GECB,得=因此= 即x2-4x-8=0,解得x=2+4 (x=2-4舍去)所以BE=2+4四、课堂练习P158 练习 1、如图，已知三棱锥SABC中，侧棱SASBSC，ABC90求证：平面ABC平面ASC.证明：作SHAC交AC于点H，连接BHSASC，AHHC在RtABC中，H是AC的中点BHACAH又SHSH，SASBSAHSBH(SSS)SHBH又ACBHH，AC，BH平面ABCSH平面ABC又SH平面ASC，平面ABC平面ASC五、课堂小结1、二面角的定义、画法与记法 2、二面角的平面角的定义和范围3、直二面角的定义4、平面与平面垂直的定义5、平面与平面垂直的判定定理6、二面角的求解六、课后作业习题8.6 18、21七、课后反思
