1、2020-2021学年浙江省温州市高一（下）期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1i2021的虚部为（）A1B1CiDi2为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有（）人A12B18C80D1203已知（0，1），（1，0），（2，4），则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一个基底的是（）ABCD4法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高21m，底宽34m，则塔身的表面积（精确到0.01m2）是
2、（）（可能用到的参考数据：272729，3421156）A3674.52m2B2993.26m2C1837.26m2D1682.26m25多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分某题恰有3个选项符合题目要求，则随机作答该题时（至少选择一个选项），得2分的概率为（）ABCD6已知三个不同的平面，三条不同的直线m，n，l，满足m，n，l，则下列命题不一定正确的为（）A若mn，则mlB若点Am，An，则AlC若，则mD若mn，ml，则nl7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，a+c2b（cosA+cosC），若满足条
3、件的ABC有两个，则b的取值范围是（）ABCD8已知平面向量，（与不共线），满足|，|1，设+（，R），则+的取值范围为（）ABC2，+）D（，2二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9抛掷三枚硬币，设事件Ai“第i枚硬币正面朝上”，i1，2，3则（）AA1与A2互斥BA1A2与A3相互独立CP（A2A3）DP（A1A2）10某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方
4、图，则（）A这1000名高中学生每天的平均学习时间为68小时的人数有100人B估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时C估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时D估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时11平面向量，满足1，1，1，|1，则下列说法一定正确的有（）A在上的投影向量为B在上的投影向量为Cmin|，|1Dmax|，|112已知正方体ABCDABCD的边长为2，Q为棱AA的中点，M，N分别为线段CD，CD上两动点（包括端点），记直线QM，QN与平面ABBA所成角分别为，且tan2+tan24，则存在点M，N，使得（）AMNAABMN2CMND
5、MNCQ三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分13如图，已知梯形ABCD是水平放置的四边形ABCD斜二测画法的直观图，梯形ABCD的面积为，DAB45，则原四边形ABCD的面积为 14若复数，其中i为虚数单位，aR，则|zi|的最小值为 15截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，该同学在公路D、E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30、45，且DCE150该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700m则山高BC为 m（该同学的身高忽略不计）
6、16已知同一平面上的OAB和OCD分别是边长为1和2的正三角形（其中A，B，O和C，D，O均按逆时针排列），则的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，2），（a，1），aR，且为纯虚数（1）求a的值；（2）若z1的共扼复数是关于x的方程x2+px+q0的一个根，求实数p，q的值18已知三棱柱ABCDEF中，四边形BCFE为矩形（1）记平面BCD与平面DEF的交线为l，求证：l平面BCFE；（2）若CDDE，求证：ACBD19在，DC3，ABC的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解问题
7、：在ABC中，B90，BC4，线段AC中存在一点D使得ADAB，求BD的长度20本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按40分钟计算）现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为、，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为、，三人租车时间都不会超过40分钟（1）求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率：（2）求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率21如图，在梯形ABCD中，E，F是DC的两个三等
8、分点，G，H是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足（01），AP分别交EG，FH于M，N两点，记，（1）当时，用，表示；（2）若，试写出和的关系，并求出的取值范围22已知矩形ABCD中，AB3，AD1，E为线段CD上一点（不在端点），沿线段AE将ADE折成ADE，使得平面ADC平面ABC（1）证明：平面ABD与平面BCD不可能垂直；（2）若二面角DAEB大小为60，（）求直线AD与BC所成角的余弦值；（）求三棱锥DABC的外接球的体积参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1i2021的虚部为（）A1B1CiDi解：i2021（i4）505ii，i2021的虚部为1故选：
9、A2为迎接2022年杭州亚运会，亚委会采用按性别分层随机抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成亚运志愿小组，若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有（）人A12B18C80D120解：因为30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中男生可能有20080（人），所以女生可能有120人故选：D3已知（0，1），（1，0），（2，4），则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一个基底的是（）ABCD解：A：（1，4），0（4）1（1），与不共线，A错误，B：+（3，4），0（4）13，与+不共线，B错误，C：2（0，4），0（4）01，与2共线，C正确
10、，D：2+（4，4），0414，与2+不共线，D错误，故选：C4法国罗浮宫玻璃金字塔外表呈正四棱锥形状（如图所示），已知塔高21m，底宽34m，则塔身的表面积（精确到0.01m2）是（）（可能用到的参考数据：272729，3421156）A3674.52m2B2993.26m2C1837.26m2D1682.26m2解：如图，正四棱锥PABCD，PO底面ABCD，PO21m，AB34m，则AOAB17，所以AP，作PEAB，则PE所以该四棱锥的表面积S4ABPE681837.26故选：C5多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分某题
11、恰有3个选项符合题目要求，则随机作答该题时（至少选择一个选项），得2分的概率为（）ABCD解：随机作答该题时（至少选择一个选项），基本事件总数n15，得2分的包含的基本事件个数：m+C6，得2分的概率为P故选：B6已知三个不同的平面，三条不同的直线m，n，l，满足m，n，l，则下列命题不一定正确的为（）A若mn，则mlB若点Am，An，则AlC若，则mD若mn，ml，则nl解：对于A，如图，若mn，则m，又m，l，ml，故A正确；对于B，若点Am，An，又m，n，A且A，而l，Al，故B正确；对于C，如图，若，在内任取一点A（An，Al），在内过A分别作ABl，ACn，由面面垂直的性质可得AB
12、，AC，则ABm，ACm，m，故C正确；若mn，ml，则nl或n与l相交或n与l异面，故D错误故选：D7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a1，a+c2b（cosA+cosC），若满足条件的ABC有两个，则b的取值范围是（）ABCD解：a+c2b（cosA+cosC），a+c2b（+），化为：b2c2ac+a2c2c+1+，满足条件的ABC有两个，0c1，1b2，解得1b故选：D8已知平面向量，（与不共线），满足|，|1，设+（，R），则+的取值范围为（）ABC2，+）D（，2解：设C（），设，|1，故A，B在以C为圆心，以1为半径的圆上，即，|，即，如图1：由圆的对称性可知
13、AB中点P在以C为圆心，以为半径的圆上，当P运动到图2中位置时，1，1，此时+取最大值2，当P运动到图3中位置时，此时+取得最小值，故选：B二、选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9抛掷三枚硬币，设事件Ai“第i枚硬币正面朝上”，i1，2，3则（）AA1与A2互斥BA1A2与A3相互独立CP（A2A3）DP（A1A2）解：事件Ai“第i枚硬币正面朝上”，i1，2，3，因为A1与A2可以同时发生，所以A1与A2不互斥，故选项A错误；因为A1，A2与A3相互独立，所以A1A2与A3相互独立，故选
14、项B正确；因为P（A2A3），故选项C正确；因为P（A1A2）P（A1）+P（A2）1，故选项D错误故选：BC10某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A这1000名高中学生每天的平均学习时间为68小时的人数有100人B估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时C估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时D估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时解：由图可得，每天的平均学习时间为68小时的频率为0.120.2，这1000
15、名高中学生每天的平均学习时间为68小时的人数有10000.2200，故A选项错误，每天的平均学习时间为810小时的频率为0.2520.052+0.12+0.12，即该时段的频率最大，故估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为小时，故选项B正确，每天的平均学习时间为46小时的频率为0.0520.1，即0.11000100人，每天的平均学习时间为68小时的频率为0.120.2，即0.21000200人，每天的平均学习时间为89.2小时的频率为0.250.120.3，即0.31000300人，即该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，故选项C正确，每天的平均学习时间为1012小时
16、的频率为0.120.2，故选：BCD11平面向量，满足1，1，1，|1，则下列说法一定正确的有（）A在上的投影向量为B在上的投影向量为Cmin|，|1Dmax|，|1解：在的投影为，故选项A正确，由于未知，无法求得在上的投影向量，故选项B错误，|cos，1，例如，180，|2，|或|1可知C错D对故选：AD12已知正方体ABCDABCD的边长为2，Q为棱AA的中点，M，N分别为线段CD，CD上两动点（包括端点），记直线QM，QN与平面ABBA所成角分别为，且tan2+tan24，则存在点M，N，使得（）AMNAABMN2CMNDMNCQ解：如图所示，以 A 为原点建立空间直角坐标系，则 Q（0
17、，0，1），C（2，2，2），设 M（a，2，2），N（b，2，0），则 M（a，0，2），N（b，0，0），所以 ，其中 a，b0，2，过 M 点作 AB的垂线，垂足为 M，作 N 点作 AB 的垂线，垂足为 N，则 MM平面 ABBA，NN平面 ABBA，所以直线 QM，QN 与平面 ABBA所成的角分别为MQM，NQN，即 MQM，NQN，所以 ，因为 tan2+tan24，所以 ，即 ，对于 A 选项，若 MN/AA，即 ab，解得 ab1，满足题意，故 A 正确；对于 B 选项，若 ，即 ，此时 a，b 无解，故 B 错误；对于 C 选项，若 ，即 ，解得 ，满足题意，故 C 正确；
18、对于 D 选项，MNCQ，即 （ba，0，2）（2，2，1）0，又即 ba1，所以 ba+10，2，故 a0，1，于是 ，令 ，又 ，故 f（0）f（1）0，由零点存在定理可得 f（x） 在0，1上存在零点，即方程 有0，1内的解，满足题意，故 D 正确故选：ACD三、填空题：本题共四小题，每小题5分，共20分13如图，已知梯形ABCD是水平放置的四边形ABCD斜二测画法的直观图，梯形ABCD的面积为，DAB45，则原四边形ABCD的面积为 2解：因为水平放置的平面直观图形ABCD的面积为，所以原四边形ABCD的面积为S2S22故答案为：214若复数，其中i为虚数单位，aR，则|zi|的最小值
19、为 解：因为，所以，则|zi|的最小值为故答案为：15截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB，已知基站AB高40m，该同学在公路D、E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30、45，且DCE150该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700m则山高BC为 10040m（该同学的身高忽略不计）解：如图，设BCx，则AC40+x，又由已知得ACD，ACE为直角三角形，且ADC30，AEC45，所以由ACD，ACE为直角三角形得，解得，CEx+40，在三角形CDE中，又DCE15
20、0，DE700，由余弦定理得：DE2CD2+CE22CDCEcosDCE，即（x+40）2+3（x+40）27002，解得x100故答案为：16已知同一平面上的OAB和OCD分别是边长为1和2的正三角形（其中A，B，O和C，D，O均按逆时针排列），则的取值范围是 ，解：设BOC，如图：（+）（+）+2cos（60）2cos+2+2（cos+sin）2cos+2sin（30），0，180，3030，150，sin（30），1，+2sin（30），故答案为：，四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为（1，2），（a，1）
21、，aR，且为纯虚数（1）求a的值；（2）若z1的共扼复数是关于x的方程x2+px+q0的一个根，求实数p，q的值解：（1），为纯虚数，a20，a2（2）z1的共扼复数是关于x的方程x2+px+q0的一个根，又复数z1对应的点为（1，2），复数对应的点为（1，2），p2，q518已知三棱柱ABCDEF中，四边形BCFE为矩形（1）记平面BCD与平面DEF的交线为l，求证：l平面BCFE；（2）若CDDE，求证：ACBD【解答】证明：（1）由棱柱性质得BCEF，BC平面DEF，EF平面DEF，BC平面DEF，EF平面DEF，平面BCD与平面DEF的交线为l，BCl，l平面BCFE，BC平面BCFE
22、，l平面BCFE（2）作D在ABC所在平面的投影于点O，延长AO，BO，CO，交边长BC，AC，AB于点G，R，H，CDDE，DEAB，CDAB，ABOD，CDODD，CD、OD平面OCD，AB平面OCD，OC平面OCD，ABOC，再由条件可知：CFBC，CFAD，BCAD，BC平面AOD，BCAO，O为ABC的垂心，ACOB，ACDO，OBDOO，OB、DO平面BDO，AC平面BDO，BD平面BDO，ACBD19在，DC3，ABC的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解问题：在ABC中，B90，BC4，线段AC中存在一点D使得ADAB，求BD的长度解：选择条件：，ABC90，si
23、nABD，cosABD，设ADABx，BDy，在RtABC中，sinBAC，在ABD中，由正弦定理知，即，化简得y（1），由余弦定理知，AD2AB2+BD22ABBDcosABD，x2x2+y22xy，化简得x（2），由（1）（2）解得，y，BD的长度为选择条件：设ADABx，ABC90，BC4，AB2+BC2AC2，即x2+42（x+3）2，解得x，cosBAC，在ABD中，由余弦定理知，BD2AB2+AD22ABADcosBAC+2，BD选择条件：ABC90，BC4，SABBCAB4，ADAB，AC，在RtABC中，cosBAC，在ABD中，由余弦定理知，BD2AB2+AD22ABADco
24、sBAC+2，BD20本着健康、低碳的生活，租共享电动自行车出行的人越来越多，某共享电动自行车租车点的收费标准是起步价2元（20分钟及以内），超过20分钟每10分钟收费1元（不足10分钟的部分按40分钟计算）现有甲、乙、丙三人来该租车点租车是相互独立的（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过20分钟还车的概率分别为、，20分钟以上且不超过30分钟还车的概率分别为、，三人租车时间都不会超过40分钟（1）求甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率：（2）求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率解：（1）由题意可得，甲、乙、丙30分钟以上且不超过40分钟还车的概率分别为，甲、乙、丙三人的租车费用完全相
25、同的概率为P，甲、乙、丙三人的租车费用不完全相同的概率为1（2）由题意可得，甲、乙、丙三人的租车费用和为10元，当三人的租车费用组合为2，4，4时，当三人的租车费用组合为3，3，4时，即甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率为P21如图，在梯形ABCD中，E，F是DC的两个三等分点，G，H是AB的两个三等分点，线段BC上一动点P满足（01），AP分别交EG，FH于M，N两点，记，（1）当时，用，表示；（2）若，试写出和的关系，并求出的取值范围解：（1）当时，则+（+）+（+）+所以+；（2）连结AE，AF，所以，因为E，M，G三点共线，F，N，H三点共线，所以，因为，所以，可得，因为，所以，
26、可得，则有，即，将代入可得，（3）（6）2+（36）0，因为0，则（3）（6）+3（2）0，故，因为0，1，令t2，则t2，1，则yt+在t2，1上单调递减，所以t+5，4，则，故的取值范围为22已知矩形ABCD中，AB3，AD1，E为线段CD上一点（不在端点），沿线段AE将ADE折成ADE，使得平面ADC平面ABC（1）证明：平面ABD与平面BCD不可能垂直；（2）若二面角DAEB大小为60，（）求直线AD与BC所成角的余弦值；（）求三棱锥DABC的外接球的体积解：（1）证明：作AHBD交BD于垂足H，作AOAC交于垂足O，假设平面ABD平面BCD，因为AHBD，平面ABD平面BCD，平面A
27、BD平面BCDBD，所以AH平面BCD，因为BC平面ABD，所以AHBC；又因为BCAB，ABAHA，AB，AH平面ABD，所以BC平面ABD，因为，BD平面ABD，所以BCBD，因为DOAC，平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，所以DO平面ABC，因为BC平面ABC，所以BCDO，又因为DOBDD，DO，BD平面BOD，所以BC平面BOD，因为OB平面BOD，所以OBBC，显然矛盾，故假设不成立，故平面ABD与平面BCD不可能垂直；（2）（）作OFAE交AE于垂足F，连接AF，则DFO即为二面角DAEB的平面角，故DFO60，故DF2OF，设DAF，BAC，则DFsin，OFsin，AFcos，tan，又，所以，解得tan1（tan2）舍去，所以，因为ADAD1，所以，因为ADBC，所以AD与AD所成角为BC与AD所成角，设为，因为，由三余弦定理可知，所以，线AD与BC所成角的余弦值；（）因为ABBC，所以ABC的外心为AC的中点，又因为平面ADC平面ABC，所以三棱锥DABC的外接球球心在平面ADC上，故三棱锥DABC的外接球半径即为ADC外接圆的半径，设半径为R，所以，因为，所以，所以R2，所以三棱锥DABC外接球的体积为三棱锥DABC的外接球的体积
