1、人教A版（2019）必修第二册模块测试三一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）向量 a=-4,5，b=,1，若 ab，则 的值是 A -45 B -43 C -54 D 45 在复平面内，复数 12+32i2 所对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限若 a+b+cb+c-a=3bc，且 sinA=2sinBcosC，那么 ABC 是 A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形D等腰直角三角形从某地区的儿童中挑选体操学员，已知儿童体型合格的概率为 15，身体关节构造合格的概率为 14，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率是（假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有
2、影响） A 1320 B 25 C 14 D 15 九章算术是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 1000 多年在九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图 P-ABCD 是阳马，PA平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4则该阳马的外接球的表面积为 A 12523 B 50 C 100 D 5003 一组数据从小到大排列依次为 3，5，6，7，8，9，x，12，13，13，且该组数据 70% 分位数不超过 11，则 x 的取值范围是 A 9,12 B 9,11 C 9,10 D 9,10 如图所示，在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是
3、棱 DD1 的中点，F 是侧面 CDD1C1 上的动点，且 B1F面A1BE，则 F 在侧面 CDD1C1 上的轨迹的长度是 A a B a2 C 2a D 2a2 已知 e1，e2 是平面内两个夹角为 23 的单位向量，设 m，n 为同一平面内的两个向量，若 m=e1+e2，n-e1=12，则 m-n 的最大值为 A 12 B 32 C 3-12 D 3+12 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为 ，则下列结论正确的是 A e1 在 e2 方向上的投影向量为 cose2 B e12=e22 C e1+e2e1-e2 D e1e2=1 一艘船以
4、 15km/h 的速度向东航行，在 A 处看到一个灯塔 B 在它的北偏东 60 方向，行驶 4h 后，船达到 C 处，看到这个灯塔在它北偏东 15 方向，继续航行 4 个小时后达到终点则下列说法中正确的有 A BC=303km B航行中船与灯塔的最小距离为 303-1km C BC=302km D航行中船与灯塔的最小距离为 153+1km 如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，将 ADE，CDF，BEF 分别沿 DE，DF，EF 折起，使 A，B，C 重合于点 P，则下列结论正确的是 A PDEF B 平面PDE平面PDF C二面角 P-EF-D 的余弦值为 13
5、D点 P 在平面 DEF 上的投影是 DEF 的外心在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c则下列选项中正确的有 A若 acosA=bsinB，则 sinAcosA+cos2B=1 B若 acosB=bcosA，则 ABC 为等腰三角形C若 cos2B2=a+c2c，则 ABC 为等腰直角三角形D若 acosB+bcosA=csinC，则 ABC 为直角三角形三、填空题（本题共4小题，每小题5分 ，共20分）某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，其中学号为前 30 名的同学平均成绩为 90，则后 20 名同学的平均成绩为 平面内非零向量 a，b，c，有 a=
6、3，b=4，ab=0且 c-a-b=2，则 c 的最大值为 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，过点 A 作平面 A1BD 的垂线，垂足为 H，有下面三个结论： H 是 A1BD 的中心； AH 垂直于平面 CB1D1；直线 AC1 与直线 B1C 所成的角是 90其中正确结论的序号是 如图，在 ABC 中，ABAC，AB=AC=3，D，E，F 分别在边 AB，BC，CA 上，且 DEEF，BE=2EC则 EFDE= ； DEF 面积的最大值为 四、解答题（本题共6题，共70分）（10分）已知 i 是虚数单位，复数 z1=1-aiaR，复数 z2 的共轭复数 z2=3-4i
7、 .(1) 若 z1+z2R，求实数 a 的值；(2) 若 z1z2 是纯虚数，求 z1（12分）已知 OA=1,0，OB=0,1，OM=t,ttR，O 是坐标原点（1）若点 A，B，M 三点共线，求 t 的值；（2）当 t 取何值时，MAMB 取到最小值？并求出最小值（12分）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=BC=2，ACB=90，AA1=2，D 为 AB 的中点(1) 求证：ACBC1；(2) 求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值（12分） ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sinA+C=8sin2B2(1) 求 cosB；(2) 若
8、 a+c=6，ABC 的面积为 2，求 b（12分） 2021 年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A，B，C，D，E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比 15%，赋分分数区间是 86100；B等级排名占比 35%，赋分分数区间是 7185；C等级排名占比 35%，赋分分数区间是 5670；D等级排名占比 13%，赋分分数区间是 4155；E等级排名占比 2%，赋分分数区间是 3040；现从全年级的化学成绩中随机抽取 1
9、00 名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中 a 的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上（含C等级）？（结果保留整数）（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在 40,50 和 50,60 内的学生中共抽取 5 人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取 2 人进行调查分析，求这 2 人中恰有一人原始成绩在 40,50 内的概率（12分）如图 1，在 ABC 中，ACB=90，DE 是 ABC 的中位线，沿 DE 将 ADE 进行翻折，使得 ACE 是等边三角形（如图 2），记 AB 的
10、中点为 F(1) 证明：DF平面ABC(2) 若 AE=2，二面角 D-AC-E 为 6，求直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1. 【答案】A【解析】由 ab 得 -41-5=0，解得 =-45【知识点】平面向量数乘的坐标运算2. 【答案】B【解析】复数 12+32i2=14-34+32i=-12+32i 对应的点 -12,32 位于第二象限【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义3. 【答案】B【解析】因为 a+b+cb+c-a=3bc，所以 b+c+ab+c-a=3bc，所以 b+c2-a2=3bc，b2+2bc+c2-a2=3b
11、c， b2-bc+c2=a2，根据余弦定理有 a2=b2+c2-2bccosA，所以 b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA，bc=2bccosA， cosA=12，所以 A=60，又由 sinA=2sinBcosC，则 sinAsinB=2cosC，即 ab=2a2+b2-c22ab，化简可得，b2=c2，即 b=c，所以 ABC 是等边三角形，故选：B【知识点】判断三角形的形状4. 【答案】B【解析】记儿童体型合格的概率为事件 A，身体关节构造合格的概率为事件 B则 PA=15，PB=14，且 A，B 相互独立，从中任挑一儿童，这两项至少有一项合格的概率 P=1-PAB=1-4
12、534=25故选：B【知识点】事件的相互独立性5. 【答案】B【解析】连接 AC，BD，交于 O1，取 PC 中点 O，连接 OO1，如图所示，因为 O，O1 分别为 PC，AC 的中点，所以 OO1PA，又 PA平面ABCD，所以 OO1平面ABCD，所以 O 到 A，B，C，D 的距离都相等，又 PO=OC，所以 O 为该四棱锥的外接球的球心，在 RtPAC 中，PA=5，AC=AB2+BC2=32+42=5，所以 PC=PA2+AC2=52+52=52，所以该四棱锥的外接球的半径 R=PC2=522，所以该阳马的外接球的表面积 S=4R2=45222=50故选：B【知识点】球的表面积与体
13、积6. 【答案】D【解析】因为 1070%=7，所以 70% 分位数为 x+122，所以 x+12211,9x12, 解得 9x10【知识点】样本数据的数字特征7. 【答案】D【解析】设 G，H，I 分别为 CD 、 CC1 、 C1D1 边上的中点，则 ABEG 四点共面，且 平面A1BGE平面B1HI，又因为 B1F面A1BE，所以 F 落在线段 HI 上，因为正方体 ABCD-A1B1C1D1 中的棱长为 a，所以 HI=12CD1=22a，即 F 在侧面 CDD1C1 上的轨迹的长度是 22a【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）8. 【答案】B【解析】由条件 e1，e2
14、是平面内两个夹角为 23 的单位向量，不妨设 e1=1,0，e2=-12,32，则 m=e1+e2=12,32，设 n=x,y，由 n-e1=12，得 x-12+y2=12，所以点 x,y 在圆 C:x-12+y2=14 上又 m-n=x-122+y-322 表示圆 C 上的点 x,y 和点 M12,32 间的距离所以 m-nmax=CM+R=12-12+32-02+12=1+12=32，故答案为：B【知识点】平面向量的数量积与垂直二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9. 【答案】A；B；C【解析】因为两个单位向量 e1，e2 的夹角为 ，则 e1=e2=1，则 e1 在 e2 方
15、向上的投影向量为 e1cose2=cose2，故A正确； e12=e22=1，故B正确； e1+e2e1-e2=e12-e22=0，故 e1+e2e1-e2，故C正确； e1e2=e1e2cos=cos，故D错误【知识点】平面向量的数量积与垂直10. 【答案】C；D【解析】如图， AC=60km，BAC=90-60=30，BCA=90+15=105，所以 ABC=45，由正弦定理可得 BCsinBAC=ACsinABC，所以 BC=302距离最近时，船位于灯塔的正南方，设此时船的位置为 D，则在 BCD 中，有 cos15=BDBC，解得 BD=153+1，所以CD正确【知识点】解三角形的实际
16、应用问题11. 【答案】A；B；C【解析】对于A选项，作出图形，取 EF 的中点 H，连接 PH，DH，又由原图知 PEF 和 DEF 为等腰三角形，故 PHEF，DHEF，且 PHDH=H，所以 EF平面PDH，所以 PDEF，故A正确；根据折起前后，可知 PE，PF，PD 三线两两垂直，于是可证 平面PDE平面PDF，故B正确；根据A选项可知，PHD 为二面角 P-EF-D 的平面角，设正方形边长为 2，因此 PE=PF=1，PH=22， DH=22-22=322，PD=DF2-PF2=2，由余弦定理得 cosPHD=PH2+HD2-PD22PHHD=13，故C正确；由于 PE=PFPD，
17、故点 P 在平面 DEF 上的投影不是 DEF 的外心，故D错误【知识点】二面角12. 【答案】A；B；D【解析】选项A：根据正弦定理 acosA=bsinB 可化为 sinAcosA=sin2B，所以 sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1 选项B：根据正弦定理 acosB=bcosA 可化为 sinAcosB=sinBcosA，根据和角公式可得 sinA-B=0即 A=B，所以 ABC 为等腰三角形选项C：由倍角公式，可得 cosB=2cos2B2-1=ac，根据正弦定理，可得 cosB=sinAsinC=sinB+CsinC，化简可得 sinBcosC=0，即 cosC
18、=0所以 ABC 为直角三角形选项D：由正弦定理，acosB+bcosA=csinC 可化为 sinAcosB+sinBcosA=sin2C因为 sinC=sinA+B0，故 sinC=1，ABC 为直角三角形【知识点】正弦定理三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 【答案】95【解析】设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x，则 9250=9030+20x，解得：x=95【知识点】样本数据的数字特征14. 【答案】 7 【解析】因为平面内非零向量 a，b，c，有 a=3，b=4，ab=0故可建立如图所示的坐标系，则 A3,0，B0,4，设 Cx,y，因为 c-a-b
19、=2，所以 x-32+y-42=4， c 对应点在以 D3,4 为圆心，2 为半径的圆上的点，因为 OD=32+42=5，故 c 的最大值为：5+2=7，故答案为：7【知识点】平面向量数量积的坐标运算15. 【答案】【解析】连接 A1H，BH，DH因为 AB=AD=AA1，AH平面A1BD，所以 RtABHRtADHRtAA1H，所以 HB=HD=HA1又因为 A1BD 是等边三角形，所以 H 是 A1BD 的中心，所以正确因为 A1B1AB，A1B1=AB，CDAB，CD=AB，所以 A1B1CD，且 A1B1=CD，所以四边形 A1B1CD 是平行四边形，所以 B1CA1D又因为 A1D平
20、面A1BDB1C平面A1BD. 所以 B1C平面A1BD同理可证 B1D1平面A1BD又因为 B1CB1D1=B1，所以 平面CB1D1平面A1BD又因为 AH 垂直于平面 A1BD，所以 AH 垂直于平面 CB1D1所以正确连接 AC1，BC1，AD1，因为四边形 BCC1B 是正方形，所以 B1CBC1因为 AB平面BCC1B1，B1C平面BCC1B1，所以 B1CAB又因为 BC1AB=B，所以 B1C平面ABC1D1又因为 AC1平面ABC1D1，所以 AC1B1C，所以直线 AC1 与 B1C 所成的角是 90所以正确【知识点】直线与平面垂直关系的判定、异面直线所成的角16. 【答案
21、】 12 ； 4-22 【解析】如图，作 ENAC 于 N，作 EMBC 于 M，可得 F 在线段 MN 上运动因为 AB=AC=3，BE=2EC则 CE=2，BE=22，设 CF=x，DB=y，（x，y1,2），在 CEF 中，由余弦定理可得 EF2=CF2+CE2-2CFCEcos45=x2-2x+2，同理可得 DE2=y2-4y+8，由勾股定理可得 DF2=3-x2+3-y2，由 EF2+ED2=FD2，即可得 x2-2x+2+y2-4y+8=3-x2+3-y2，整理得：2x+y=4, 所以 EF2DE2=x2-2x+2y2-4y+8=x2-2x+24x2-8x+8=14，EFDE=12
22、, DEF 面积为 S=12EFDE=EF2=x2-2x+2=x-12+11,4-22；所以 DEF 面积的最大值为 4-22【知识点】余弦定理四、解答题（共6题，共70分）17. 【答案】(1) 因为 z2=3-4i，所以 z2=3+4i，由已知得 z1+z2=1-ai+3+4i=4+4-ai，因为 z1+z2R，所以 4-a=0，所以 a=4(2) 由已知得 z1z2=1-ai3+4i=1-ai3-4i3+4i3-4i=3-4a-3a+4i25，因为 z1z2 是纯虚数，所以 3-4a=0,3a+40, 解得 a=34，所以 z1=1-34i=12+-342=54【知识点】复数的乘除运算、
23、复数的加减运算、共轭复数18. 【答案】（1）AB=OB-OA=-1,1，AM=OM-OA=t-1,t，因为 A，B，M 三点共线，所以 AB 与 AM 共线，即 AM=ABR，所以 t-1=-,t=, 解得：t=12（2）MA=1-t,-t，MB=-t,1-t，MAMB=2t2-2t=2t-122-12，所以当 t=12 时，MAMB 取得最小值 -12【知识点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量数乘的坐标运算19. 【答案】(1) 因为 CC1平面ABC，AC平面ABC，ACB=90，所以 CC1AC，ACBC，又 BCCC1=C，BC,CC1平面BCC1，所以 AC平面BCC1，又因为
24、BC1平面BCC1，所以 ACBC1(2) 如图，设 CB1C1B=E，则 E 为 C1B 的中点，连接 DE因为 D 为 AB 的中点，所以 DEAC1，因为 DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以 AC1平面B1CD由 DEAC1，CED 为异面直线 AC1 与 B1C 所成的角，在 CDE 中，DE=12AC1=12AC2+CC12=62， CE=12B1C=12BC2+BB12=62，CD=12AB=12AC2+BC2=1， cosCED=CE2+DE2-CD22CEDE=32+32-126262=23，所以异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 23【知识点】直线与平面垂
25、直关系的性质、异面直线所成的角20. 【答案】(1) 由题设及 A+B+C=，sinB=8sin2B2，故 sinB=41-cosB上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0，解得 cosB=1（舍去），cosB=1517(2) 由 cosB=1517 得 sinB=817，故 SABC=12acsinB=417ac又 SABC=2，则 ac=172由余弦定理及 a+c=6 得： b2=a2+c2-2accosB=a+c2-2ac1+cosB=36-21721+1517=4. 所以 b=2【知识点】余弦定理、二倍角公式21. 【答案】（1）由题意，0.010+0.015+0.
26、015+a+0.025+0.00510=1，所以 a=0.030；（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为 15%+35%+35%=85%，假设原始分不少于 x 分可以达到赋分后的C等级及以上，易得 50x60，则有 0.005+0.025+0.030+0.0151060-x0.015=0.85，解得 x53.33（分），所以原始分不少于 54 分才能达到赋分后的C等级及以上；（3）由题知得分在 40,50 和 50,60 内的频率分别为 0.1 和 0.15，则抽取的 5 人中，得分在 40,50 内的有 2 人，得分在 50,60 的有 3 人，记得分在 50,60 内的 3 位学生
27、为 a，b，c，得分在 40,50 内的 2 位学生为 D，E，则从 5 人中任选 2 人，样本空间可记为 ab,ac,aD,aE,bc,bD,bE,cD,cE,DE，共包含 10 个样本用 A 表示“这 2 人中恰有一人得分在 40,50 内”，则 A=aD,aE,bD,bE,cD,cE，A 包含 6 个样本，故所求概率 PA=610=35【知识点】古典概型22. 【答案】(1) 如图，取 AC 中点 G，连接 FG 和 EG，由已知得 DEBC，且 DE=12BC因为 F，G 分别为 AB，AC 的中点，所以 FGBC，且 FG=12BC所以 DEFG，且 DE=FG所以四边形 DEGF
28、是平行四边形所以 EGDF因为翻折的 BCAC，易知 DEAC所以翻折后 DEEA，DEEC又因为 EAEC=E，EA,EC平面AEC，所以 DE平面AEC因为 DEBC，所以 BC平面AEC因为 EG平面AEC，所以 EGBC因为 ACE 是等边三角形，点 G 是 AC 中点，所以 EGAC又因为 ACBC=C，AC,BC平面ABC，所以 EG平面ABC因为 EGDF，所以 DF平面ABC(2) （方法一）如图，过点 E 作 EHEC，以 E 为原点，EH，EC，ED 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 E-xyz，设 DE=a，则 A3,1,0，B0,2,2a，C0,2,0
29、，D0,0,a，则 AB=-3,1,2a，AC=-3,1,0，CD=0,-2,a，因为 DE平面AEC，所以 ED=0,0,a 是平面 AEC 的法向量，设面 ACD 的法向量为 m=x,y,z，则 mAC=0,mCD=0, 即 -3x+y=0,-2y+az=0, 解得 x=33y,z=2ay. 取 y=3a，得 m=a,3a,23因为二面角 D-AC-E 为 6，所以 cos6=cosm,ED=mEDmED=23a4a2+12a=32. 解得 a=1，所以 m=1,3,23，AB=-3,1,2记直线 AB 与平面 ACD 所成角为 ，则 sin=cosm,AB=mABmAB=-3+3+434
30、22=64. 所以直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值为 64（方法二）如图，连接 DG，因为 DE平面AEC，AC平面AEC，所以 ACDE又因为 ACEG，DEEG=E，DE,EG平面DEG，所以 AC平面DEC因为 EG,DG平面DEG，所以 ACEG，ACDG，所以 DGE 是二面角 D-AC-E 的平面角，故 DGE=6由 ACE 是边长为 2 的等边三角形，得 EG=3，在 RtDGE 中，tanDGE=tan6=33=DEEG，所以 DE=1，BC=2过点 F 作 FIDG，垂足为 I，因为 AC平面DEGF，AC平面ACD，所以 平面DEGF平面ACD又因为 平面DEGF平面ACD=DG，FI平面DEGF，且 FIDG，所以 FI平面ACD连接 AI，则 FAI 即为直线 AB 与平面 ACD 所成的角在 RtDFG 中，DF=3，FG=1，得 DG=2，由等面积法得 DGFI=DFFG，解得 FI=32在 RtAFG 中，AG=1，FG=1，所以 AF=2在 RtFAI 中， sinFAI=FIAF=322=64，所以直线 AB 与平面 ACD 所成角的正弦值为 64【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角、直线与平面垂直关系的判定
