1、,立体几何,第 七 章,第40讲直线、平面垂直的判定及其性质,栏目导航,1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直,任意一条,(2)判定定理和性质定理,两条相交直线,a，b?,abO,la,lb,平行,a,b,2平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直,直二面角,(2)判定定理和性质定理,垂线,l?,l,交线,l?,a,la,1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)直线l与平面内无数条直线都垂直，则l.()(2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个()(3)若两条直线垂直，
2、则这两条直线相交()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面()(5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.(),解析(1)错误直线l与内两条相交直线都垂直才有l.(2)正确过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直(3)错误两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面(4)错误两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线(5)错误内的一条直线如果与内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直,2设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“
3、”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由面面垂直的性质定理可知，当时，b.又因为a?，则ab，如果am，ab，不能得到，故“”是“ab”的充分不必要条件故选A,A,3已知m和n是两条不同的直线， 和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且m?B，且mCmn，且nDmn，n?，且,C,4PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对解析平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC，平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，
4、共有7对,7,5在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心解析(1)若PAPBPC，由勾股定理易得OAOBOC，故O是ABC的外心(2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，则PABC.又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，则AOBC，同理得BOAC，COAB，故O是ABC的垂心,外,垂,(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，a?b)；面面平行的性质(a，?a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助
5、线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想(3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直,一直线与平面垂直的判定与性质,【例1】 (2017天津卷)如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值,二平面与平面垂直的判定与性质,(1)判定面面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a?)(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直,三
6、垂直关系中的探索性问题,解决垂直关系中的探索性问题的方法同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明,【例3】 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定点G的位置；若不存在，请说明理由,1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A若mn，n，则mB若m，则mC若m，n，n，则mD若mn，n，则m解析对于A，B，D项，均能举出m的反例；对于C项，若m，n，则mn，又
7、n，m.故选C,C,2如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：BDAC；BAC是等边三角形；三棱锥DABC是正三棱锥；平面ADC平面ABC.其中正确的是()A BCD解析由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知正确；由知错误故选B,B,3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD, ACCD，ABC60， PAABBC，E是PC的中点证明：(1) CDAE；(2)PD平面A
8、BE.,证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD?平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE?平面PAC，CDAE.,(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD?平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，AB平面PAD，而PD?平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.,4如图，在四棱锥SABCD中，平面SAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点(1)求证：CD平面SAD；(2)求证：PQ平
9、面SCD；(3)若SASD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN平面ABCD？并证明你的结论解析(1)证明：因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD.又平面SAD平面ABCD，且平面SAD平面ABCDAD，所以CD平面SAD.,(3)存在点N为SC的中点，使得平面DMN平面ABCD.连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO.因为PDCM，且PDCM，所以四边形PMCD为平行四边形，所以POCO.又因为N为SC的中点，所以NOSP.易知SPAD，因为平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，且SPAD，所以SP平面ABCD，所以NO平面ABCD.又因为
10、NO?平面DMN，所以平面DMN平面ABCD.,错因分析：当已知中给出了线面垂直，求证的是线线平行时，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难,易错点使用线面垂直的性质进行判定时犯错,【例1】 在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BD，B1C上，且MNBD, MNB1C，求证：MNAC1.证明 连接A1D，A1B，AC.MNB1C，B1CA1D，MNA1D.又MNBD，BDA1DD，MN平面A1BD.CC1底面ABCD，CC1BD.又BDAC，ACCC1C，BD平面ACC1.BDAC1.同理AC1A1B.又A1BBDB，AC1平面A1BD.又MN平面A1BD，MNAC1.,【跟踪训练1】 (2016全国卷)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积,解析(1)证明：因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.又PDDED，所以AB平面PED，故ABPG.又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点,
