1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 坐标系与参数方程 第 1 课 坐标系 过双基 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：? x x ，y y 的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x ， y) ，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 2极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个 定点 O，叫做极点；自极点 O 引一条 射线 Ox，叫做极轴；再选定一个 长度单位 、一个 角度 单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向 )，这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 极径：设 M 是平面内一点，极点
2、O 与点 M 的距离 |OM|叫做点 M 的极径，记为 . 极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 . 极坐标：有序数对 ( ， )叫做点 M 的极坐标，记作 M( ， ) 3极坐标与直角坐标的互化 设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 (x， y)，极坐标是 ( ， )，则它们之间的关系为： ? x cos ，y sin ； ? 2 x2 y2，tan yx x 4常见曲线的极坐标方程 圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程 r(0 1，所以点 P 在圆外，所以 |AP|的最小值为 d r 2 1 1. 答案： 1 4 (2017 天津高考
3、 )在极坐标系中，直线 4 cos? ? 6 1 0 与圆 2sin 的公共点的个数为 _ 解析：依题意，得 4 ? ?32 cos 12sin 1 0， 即 2 3 cos 2 sin 1 0， 所以直线的直角坐标方程为 2 3x 2y 1 0. 由 2sin ，得 2 2 sin ， 所以圆的直角坐标方程为 x2 y2 2y， 即 x2 (y 1)2 1， 其圆心 (0,1)到直线 2 3x 2y 1 0 的距离 =【 ;精品教育资源文库 】 = d |21 1|3 2 22 341，则直线与圆相交， 故直线与圆的公共点的个数是 2. 答案： 2 5在极坐标系中，过点 A? ?1， 2 引
4、圆 8sin 的一条切线，则切线长为 _ 解析：点 A? ?1， 2 的极坐标化为直角坐标为 A(0， 1)， 圆 8sin 的直角坐标方程为 x2 y2 8y 0， 圆的标准方程为 x2 (y 4)2 16， 点 A 与圆心 C(0,4)的距离为 |AC| 5， 所以切线长为 |AC|2 r2 3. 答案： 3 清易错 1极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件 2在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视 注意极坐标 ( ， )( ， 2k)( k Z)， ( ， 2k)( k Z)表示同一点的坐标 1若圆 C
5、的极坐标方程为 2 4 cos? ? 3 1 0，若以极点为原点，以极轴为 x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系 xOy，则在直角坐标系中，圆心 C 的直角坐标是_ 解析：因为 2 4 cos? ? 3 1 0，所以 2 2 cos 2 3 sin 1 0，即 x2 y2 2x 2 3y 1 0，因此圆心坐标为 (1， 3) 答案： (1， 3) 2圆 5cos 5 3sin 的圆心的极坐标为 _ 解析：将方程 5cos 5 3sin 两边都乘以 得： 2 5 cos 5 3 sin ， 化成直角坐标方程为 x2 y2 5x 5 3y 0. 圆心的坐标为 ? ?52， 5 32 ， 化成极坐标
6、为 ? ?5， 53 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： ? ?5， 53 (答案不唯一 ) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 典例 (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ：? x 3x，2y y. 求点 A?13， 2经过 变换所得的点 A 的坐标 (2)求直线 l： y 6x 经过 ：? x 3x，2y y， 变换后所得到的直线 l 的方程 解 (1)设 A( x ， y) ，由伸缩变换 ：? x 3x，2y y， 得到? x 3x，y 12y， 由于点 A 的坐标为 ?13， 2 ， 于是 x 3 13 1， y 12( 2) 1， A(1 ， 1)为所求 (2)设直线 l
7、 上任意一点 P( x ， y) ， 由上述可知，将? x 13x ，y 2y代入 y 6x 得 2y 6 ? ?13x ， y x ，即 y x 为所求 方法技巧 伸缩变换的解题方法 平面上的曲线 y f(x)在变换 ：? x x ，y y 的作用下得到的方程的求法是将? x x ，y y代入 y f(x)，得 y f? ?x ，整理之后得到 y h(x) ，即为所求变换之后的方程 即时演练 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1求椭圆 x24 y2 1，经过伸缩变换? x 12x，y y后的曲线方程 解：由? x 12x，y y得? x 2x ，y y. 将 代入 x24 y2 1，得 4x
8、24 y2 1，即 x 2 y 2 1. 因此椭圆 x24 y2 1 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2 y2 1. 2若函数 y f(x)的图象在伸缩变换 ：? x 2x，y 3y 的作用下得到曲线的方程为 y 3sin? ?x 6 ，求函数 y f(x)的最小正周期 解：由题意，把变换公式代 入曲线 y 3sin? ?x 6 得 3y 3sin? ?2x 6 ， 整理得 y sin? ?2x 6 ， 故 f(x) sin? ?2x 6 . 所以 y f(x)的最小正周期为 22 . 极坐标与直 角坐标的互化 典例 在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐
9、标系直线 l 的极坐标方程为 sin? ? 4 22 ，直线与曲线 C： sin2 8cos 相交于不同的两点 A， B，求 |AB|的值 解 l： sin? ? 4 22 ? 22 cos 22 sin 22 ?x y 1 0， C 的直角坐标方程是 y2 8x. 由? y2 8x，x y 1 0， 可得 x2 10x 1 0， 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 10， x1x2 1， 所以 AB 的长为 1 1 102 4 8 3. 方法技巧 1 极坐标与直角坐标互化公式的 3 个前提条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)取直角坐标 系的原点为极点 (2
10、)以 x 轴的非负半轴为极轴 (3)两种坐标系规定相同的长度单位 2直角坐标化为极坐标的注意点 (1)根据终边相同的角的意义，角 的表示方法具有周期性，故点 M 的极坐标 ( ， )的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个 当限定 0 ， 0,2) 时，除极点外，点 M 的极坐标是唯一的 (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角 应注意判断点 M 所在的象限 (即角 的终边的位置 )，以便正确地求出角 0,2) 的值 即时演练 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系曲线 C 的极坐标方程为 cos? ? 3 1(0 2) ， M， N 分别为 C 与 x
11、 轴， y 轴的交点 (1)写出 C 的直角坐标方程，并求 M， N 的极坐标； (2)设 MN 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 解： (1)由 cos? ? 3 1，得 ? ?12cos 32 sin 1. 从而 C 的直角坐标方程为 12x 32 y 1， 即 x 3y 2 0. 当 0 时， 2，所以 M(2,0) 当 2 时， 2 33 ，所以 N? ?2 33 ， 2 . (2)M 点的直角坐标为 (2,0) N 点的直角坐标为 ? ?0， 2 33 . 所以 P 点的直角坐标为 ? ?1， 33 ， 则 P 点的极坐标为 ? ?2 33 ， 6 . 所以直线 OP 的极坐
12、标方程为 6( R) 极坐标方程的应用 典例 已知曲线 C1： x 3y 3和 C2： ? x 6cos ，y 2sin ( 为参数 )以原点 O=【 ;精品教育资源文库 】 = 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位 (1)把曲线 C1和 C2的方程化为极坐标方程； (2)设 C1与 x， y 轴交于 M， N 两点，且线段 MN 的中点为 P.若射线 OP 与 C1， C2交于 P， Q两点，求 P， Q 两点间的距离 解 (1)C1： sin? ? 6 32 ， C2： 2 61 2sin2 . (2) M( 3， 0)， N(0,1)， P? ?32
13、 ， 12 ， OP 的极坐标方程为 6 ， 把 6 代入 sin? ? 6 32 得 1 1， P? ?1， 6 . 把 6 代入 2 61 2sin2 得 2 2， Q? ?2， 6 . |PQ| | 2 1| 1， 即 P， Q 两点间的距离为 1. 方法技巧 曲线的极坐标方程的求解策略 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决 即时演练 在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的普通方程为 (x 1)2 y2 1.以 O 为极点， x 轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C 的极坐标方程； (2)直线 l 的极坐标方程是 (sin 3cos ) 3 3，射线 OM： 3 与圆 C 的交点为 O， P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长 解： (1)因为圆 C 的普通方程为 (x 1)2 y2 1， 又 x cos ， y sin ， 所以圆 C 的极坐标方程是 2cos . (2)设 ( 1， 1)为点 P 的极坐标， 则有? 1 2cos 1， 1 3 ， 解得 ? 1 1， 1 3. 设 ( 2， 2)为点 Q 的极坐标， =【 www
