1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（十九） 正、余弦定理的 3 个基础点 边角、形状和面积 一、选择题 1在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 a 1， b 3， A 30 ，若B 为锐角，则 A B C ( ) A 1 1 3 B 1 2 3 C 1 3 2 D 1 4 1 解析：选 B 因为 a 1， b 3， A 30 ， B 为锐角，所以由正弦定理可得 sin B bsin Aa 32 ，则 B 60 ，所以 C 90 ，则 A B C 1 2 3. 2如果将直角三角形三边增加相同的长度，则新三角形一定是 ( ) A锐角三角形 B钝角三角形
2、 C直角三角形 D根据增加的长度确定三角形的形状 解析：选 A 设原来直角三角形的三边长是 a， b， c 且 a2 b2 c2，在原来的三角形三条边长的基础上都加上相同的长度，设为 d，原来的斜边仍然是最长的边，故 cos Ab d 2 c d 2 a d 2b d c d 2bd 2cd d2 2adb d c d 0，所以新三角形中最 大的角是一个锐角，故选 A. 3 (2018 太原模拟 )在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 b2 c2 a2 3bc，且 b 3a，则下列关系一定不成立的是 ( ) A a c B b c C 2a c D a2 b2
3、 c2 解析：选 B 由余弦定理，得 cos A b2 c2 a22bc 3bc2bc 32 ，则 A 30. 又 b 3a，由正弦定理得 sin B 3sin A 3sin 30 32 ，所以 B 60 或 120. 当 B 60 时， ABC 为直角三角形，且 2a c，可知 C、 D 成立；当 B 120 时， C 30 ，所以 A C，即a c，可知 A 成立，故选 B. 4在直角梯形 ABCD 中， AB CD， ABC 90 ， AB 2BC 2CD，则 cos DAC ( ) A. 1010 B.3 1010 =【 ;精品教育资源文库 】 = C. 55 D.2 55 解析：选
4、B 如图所示，设 CD a，则易知 AC 5a， AD 2a，在 ACD 中， CD2 AD2 AC2 2AD ACcos DAC， a2 ( 2a)2 ( 5a)22 2a 5acos DAC， cos DAC 3 1010 . 5在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 ABC 的面积为 S，且 2S (a b)2 c2，则 tan C 等于 ( ) A.34 B.43 C 43 D 34 解析：选 C 因为 2S (a b)2 c2 a2 b2 c2 2ab， 则由面积公式与余弦定理，得 absin C 2abcos C 2ab， 即 sin C 2cos
5、C 2，所以 (sin C 2cos C)2 4， 即 sin2C 4sin Ccos C 4cos2Csin2C cos2C 4， 所以 tan2C 4tan C 4tan2C 1 4， 解得 tan C 43或 tan C 0(舍去 ) 6在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且满足 b2 c2 a2 bc， AB BC 0，a 32 ，则 b c 的取值范围是 ( ) A.? ?1， 32 B.? ?32 ， 32 C.? ?12， 32 D.? ?12， 32 解析：选 B 在 ABC 中， b2 c2 a2 bc， 由余弦定理可得 cos A b2 c2
6、 a22bc bc2bc12， A 是 ABC 的内角， A 60. a 32 ， 由正弦定理 得 asin A bsin B csin C c B 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = b c sin B sin(120 B) 32sin B 32 cos B 3sin(B 30) AB BC | AB | BC |cos( B)0， cos B0，所以 c 3. 故 ABC 的面积 S 12bcsin A 3 32 . 法二：由正弦定理，得 7sin 3 2sin B，从而 sin B 217 ， 又由 ab，知 AB，所以 cos B 2 77 . 故 sin C sin(A B) s
7、in? ?B 3 sin Bcos 3 cos Bsin 3 3 2114 . 所以 ABC 的面积 S 12absin C 3 32 . 12在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， sin B( acos B bcos A) 3ccos B. (1)求 B； (2)若 b 2 3， ABC 的面积为 2 3，求 ABC 的周长 解 ： (1)由正弦定理得 ， sin B(sin Acos B sin Bcos A) 3sin Ccos B， sin Bsin(A B) 3sin Ccos B， sin Bsin C 3sin Ccos B. sin C0 ，
8、sin B 3cos B， 即 tan B 3. B (0， )， B 3. (2) S ABC 12acsin B 34 ac 2 3， ac 8. 根据余弦定理得 ， b2 a2 c2 2accos B， 12 a2 c2 8， 即 a2 c2 20， =【 ;精品教育资源文库 】 = a c a c 2 a2 2ac c2 6， ABC 的周长为 6 2 3. 1在平面五边形 ABCDE 中，已知 A 120 ， B 90 ， C 120 ， E 90 ，AB 3， AE 3，当五边形 ABCDE 的面积 S ? ?6 3， 33 34 时，则 BC 的取值范围为 _ 解析：因为 AB
9、3， AE 3，且 A 120 ， 由余弦定理可得 BE AB2 AE2 2AB AEcos A 3 3，且 ABE AEB 30. 又 B 90 ， E 90 ，所以 DEB EBC 60. 又 C 120 ，所以四边形 BCDE 是等腰梯形 易得三角形 ABE 的面积为 9 34 ， 所以四边形 BCDE 的面 积的取值范围是 ? ?15 34 ， 6 3 . 在等腰梯形 BCDE 中，令 BC x，则 CD 3 3 x，且梯形的高为 3x2 ， 故梯形 BCDE 的面积为 12(3 3 3 3 x) 3x2 ， 即 15(6 3 x)x24， 解得 3 x2 3或 4 3x5 3. 答案
10、： 3， 2 3) (4 3， 5 3 2.如图，有一直径为 8 m 的半圆形空地，现计划种植果树，但需要有辅助光照半圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足果树生长的需要，该光源照射范围是 ECF 6 ，点 E， F 在直径 AB 上，且 ABC 6. (1)若 CE 13，求 AE 的长； (2)设 ACE ，求该空地种植果树的最大面积 解： (1)由已知得 ABC 为直角三角形， 因为 AB 8， ABC 6 ， 所以 BAC 3 ， AC 4. 在 ACE 中，由余弦定理得， CE2 AC2 AE2 2AC AEcos A，且 CE 13， 所以 13 16 AE2 4AE， 解得 AE
11、1 或 AE 3. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)因为 ACB 2 ， ECF 6 ， 所以 ACE ? ?0， 3 ， 所以 AFC BAC ACF 3 ? ? 6 2 ， 在 ACF 中，由正弦定理得 CFsin BAC ACsin AFC ACsin? ? 2 ACcos ， 所以 CF 2 3cos ， 在 ACE 中，由正弦定理得 CEsin BAC ACsin AEC ACsin? ? 3 ， 所以 CE 2 3sin? ? 3 ， 所以 S ECF 12CE CFsin ECF 3sin? ? 3 cos 122sin? ?2 3 3. 因为 ? ?0， 3 ，所以 3 2 3 ， 所以 0sin ? ?2 3 1 ， 所以当 sin? ?2 3 0，即 3 时， S ECF取得最大值为 4 3. 即该空地种植果树的最大面积为 4 3 m2.
