1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 7 平面向量与其他知识的综合问题 平面向量与其他知识的综合问题 平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路 (1)向量平行 (共线 )、垂直与三角函数的综合 此类题型的解答一般是利用向量平行 (共线 )、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解 (2)向量的模与三角函数综合 此类题型主要是利用向量模的性质 |a|2 a2，如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将 向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解此类题型主要表现为两种形式： 利用三角函
2、数与向量的数量积直接联系； 利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合 平面向量与几何综合问题的求解方法 (1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 (2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 已知函数 f(x) a b，其中 a (2cos x， 3sin 2x)， b (cos x,1)， x R. (1)求函数 y f(x)的单调递减区间； (2)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为
3、a， b， c， f(A) 1， a 7，且向量 m (3， sin B)与 n (2，sin C)共线，求边长 b 和 c 的值 解 (1)f(x) a b 2cos2x 3sin 2x 1 cos 2x 3sin 2x 1 2cos? ?2x 3 ， 令 2k2 x 3 2 k ( k Z)， 解得 k 6 x k 3(k Z)， 所以 f(x)的单调递减区间为 ? ?k 6 ， k 3 (k Z) 1.(1)在平行四边形 ABCD中， AD 1， BAD 60 ， E为 CD的中点若 AC BE 1, 则 AB的长为 _ (2)已知菱形 ABCD 的边长为 2， BAD 120 ，点 E
4、， F 分 别在边 BC， DC 上， BC 3BE， DC DF .若 AE AF 1，则 的值为 _ 解析 (1)设 |AB | x， x 0，则 AB AD 12x.又 AC BE (AD AB )( AD 12AB ) 1=【 ;精品教育资源文库 】 = 12x2 14x 1，解得 x 12，即 AB 的长为 12. (2)由题意可得 AB AD |AB | AD |cos 120 22 ? ? 12 2， 在菱形 ABCD 中，易知 AB DC ， AD BC ， 所以 AE AB BE AB 13AD ， AF AD DF 1 AB AD ， AE AF ? ?AB 13 AD ?
5、 ?1 AB AD 4 43 2? ?1 13 1，解得 2. 答 案 (1)12 (2)2 2 (2014 新课标全国卷 )已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 AO 12(AB AC )，则 AB 与 AC 的夹角为 _ 解析：由 AO 12(AB AC )，可得 O 为 BC 的中点，故 BC 为圆 O 的直径，所以 AB 与 AC 的夹角为90. 答案： 90 3 (2013 新课标全国卷 )已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60 ， c ta (1 t)b，若 b c 0，则 t _. 1.在 ABC 中， “ ABC 为直角三角形 ” 是 “ AB BC 0” 的 (
6、) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B 若 ABC 为直角三角形，角 B 不一定为直角，即 AB BC 不一定等于 0，充分性不成立；若AB BC 0，则 AB BC，故角 B 为直角，即 ABC 为直角三角形，必要性成立故 “ ABC 为直角三角形 ” 是 “ AB BC 0” 的必要不充分条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2.若非零向量 AB 与 AC 满足 ? ?AB|AB | AC|AC | BC 0 且 AB|AB | AC|AC | 12，则 ABC 为 ( ) A三边均不相等的三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰非等边
7、三角形 解析：选 C 由 ? ?AB|AB | AC|AC | BC 0 知，角 A 的平分线与 BC 垂直， |AB | |AC |；由AB| AB |AC| AC | 12知， cos A 12， A 60. ABC 为等边三角 形 3.已知 a， b， c 分别为 ABC 的三个内角 A， B， C 的对边，向量 m ( 3， 1)， n (cos A， sin A)若 m n，且 acos B bcos A csin C，则 B _. 4.已知向量 a ? ?sin x， 32 ， b (cos x， 1) (1)当 a b 时，求 tan 2x 的值； (2)求函数 f(x) (a
8、b) b 在 ? ? 2 ， 0 上的值域 解： (1) a b， sin x( 1) 32cos x 0， 即 sin x 32cos x 0， tan x 32， tan 2x 2tan x1 tan2x 125. (2)f(x) (a b) b a b b2 sin xcos x 32 cos2x 1 12sin 2x 32 12cos 2x 12 1 22 sin? ?2x 4 . 2 x0 ， 34 2 x 4 4 ， 22 22 sin? ?2x 4 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = f(x)在 ? ? 2 ， 0 上的值域为 ? ? 22 ， 12 . 5 (2013 新课标全国卷 )已知正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 CD 的中点，则 AE BD _. 解析：选向量的基底为 AB ， AD ，则 BD AD AB ， AE AD 12AB ，那么 AE BD ?AD 12 AB ( AD AB ) AD2 12AB2 12AB AD 4 2 2. 答案： 2 _
