1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 直接证明与间接证明 A组 基础题组 1.用反证法证明命题 “ 设 a,b 为实数 ,则方程 x3+ax+b=0 至少有一个实根 ” 时 ,要作的假设是 ( ) A.方程 x3+ax+b=0没有实根 B.方程 x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程 x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程 x3+ax+b=0恰好有两个实根 2.分析法又称执果索因法 ,若用分析法证明 “ 设 abc,且 a+b+c=0,求证 0 B.a-c0 C.(a-b)(a-c)0 D.(a-b)(a-c)0,则 f(x1)+ f(x2)的值 ( ) =【 ;精品教育资源文库
2、】 = A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 8.(2016北京东城一模 )每年的三月十二号是植树节 ,某学校组织高中 65个学生及其父母以家庭为单位参加 “ 种一棵小树 ,绿一方净土 ” 的义务植树活动 .活动将 65个家庭分成 A,B两组 ,A组负责种植 150棵银杏树苗 ,B组负责种植 160棵紫薇树苗 .根据往年的统计 ,每个家庭种植一棵银杏树苗用时 h,种植一棵紫薇树苗用时 h.假定 A,B两组同时开始种植 ,若使植树活动持续的时间最短 ,则 A组的家庭数为 ,此时活动持续的时间为 h. 9.在数列 an中 ,已知 a1= , = ,bn+2=3lo an(nN
3、 *). (1)求数列 an的通项公式 ; (2)求证 :数列 bn是等差数列 . 10.若 f(x)的定义域为 a,b,值域为 a,b(a-2),使函数 h(x)= 是区间 a,b上的 “ 四维光军 ” 函数 ?若存在 ,求出 a,b的值 ;若不存在 ,请说明理由 . =【 ;精品教育资源文库 】 = B组 提升题组 11.已知正项等比数列 an满足 :a7=a6+2a5,若存在两项 am、 an使得 =4a1,则 + 的最小值为 ( ) A. B. C. D.不存在 12.(2017北京海淀期中 )给定条件 : ? x0R, f( -x0)=-f(x0); ? xR, f(1 -x)=f(
4、1+x). 下列三个函数 : y=x3,y=|x-1|,y=cos x, 其中 ,同时满足条件 的函数的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 13.(2015北京海淀第一学期期末 )已知点 A在曲线 P:y=x2(x0)上 ,A 过原点 O,且与 y轴的另一个交点为 M.若线段 OM,A 和曲线 P 上分别存在点 B,点 C和点 D,使得四边形 ABCD(点 A,B,C,D顺时针排列 )是正方形 ,则称点 A为曲线 P的 “ 完美点 ”. 那么下列结论中正确的是 ( ) A.曲线 P上不存在 “ 完美点 ” B.曲线 P上只存在一个 “ 完美点 ”, 其横坐标大于 1 C.曲线 P上
5、只存在一个 “ 完美点 ”, 其横坐标大于 且小于 1 D.曲线 P上存在两个 “ 完美点 ”, 其横坐标均大于 14.(2016北京西城一模 )有三个房间需要粉刷 ,粉刷方案要求 :每个房间只用一种颜色的涂料 ,且三个房间的颜色各不相同 .三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表 : 房间 A 房间 B 房间 C 35 m2 20 m2 28 m2 涂料 1 涂料 2 涂料 3 16元 /m2 18元 /m2 20元 /m2 那么在所有不同的粉刷方案中 ,最低的涂料总费用是 元 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 15.(2015北京丰台第一学期期末 )设函数 y=f(x)的定义域为
6、D,如果存在非零常数 T,对于任意 xD, 都有f(x+T)=Tf(x), 则称函数 y=f(x)是 “ 似周期函数 ”, 非零常数 T为函数 y=f(x)的 “ 似周期 ”. 现有下面四个关于 “ 似周期函数 ” 的命题 : 如果 “ 似周期函数 ”y=f(x) 的 “ 似周期 ” 为 -1,那么它是周期为 2的周期函数 ; 函数 f(x)=x是 “ 似周 期函数 ”; 函数 f(x)=2-x是 “ 似周期函数 ”; 如果函数 f(x)=cos x 是 “ 似周期函数 ”, 那么 “=k,kZ”. 其中真命题的序号是 . 16.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与 x轴有
7、两个不同的交点 ,当 f(c)=0,且 00. (1)证明 : 是 f(x)=0的一个根 ; (2)试比较 与 c的大小 ; (3)证明 :-20?(a-c) (2a+c)0?(a-c)(a-b)0. 3.C cos Acos C -sin Asin C0, 即 cos(A+C)0, -cos B0,cos B0,b0,c0, + + = + + 6, 当且仅当 a=b=c=1时 ,“=” 成立 ,故三者不能都小于 2,即至少有一个不小于 2. 5.A 因为 a,b为正实数 ,所以 ,又 f(x)= 在 R上是单调减函数 ,故f f( )f . 6.B 由已知条件 ,可得 由 得 代入 , 得
8、 + =2b, 即 x2+y2=2b2,故 x2,b2,y2成等差数列 (x2,b2,y2不成等比数列 ). 7.A 由 f(x)是定义在 R上的奇函数 ,且当 x0 时 , f(x)单调递减 ,可知 f(x)是 R上的单调递减函数 ,由x1+x20,可知 x1-x2,则 f(x1)1,所以 b=3. (2)不存在 .理由如下 :假设函数 h(x)= 在区间 a,b(a-2)上是 “ 四维光军 ” 函数 , 因为 h(x)= 在区间 (-2,+) 上单调递减 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以有 即 解得 a=b,这与已知矛盾 .故不存在 . B组 提升题组 11.A 由题意可知 ,a
9、5q2=a5q+2a5(q0,a50),化简得 q2-q-2=0, 解得 q=2或 q=-1(舍去 ). 由 =4a1,得 a1qm-1a 1qn-1=16 , q m+n-2=16=24, m+n=6, + = = = , 当且仅当 = , 即 m=2,n=4时 ,取 “=”. 12.B 条件 说明函数图象的对称轴是 x=1, 函数 y=x3是奇函数 ,满足条件 , 但不满足条件 . y=|x-1|图象的对称轴是 x=1,满足条件 , 不满足条件 . y=cos x 的图象关于 x=1对称 ,满足条件 , 当 x= 时 , f =cos =0, f =cos =0, 即此时满足 f =-f
10、,满足条件 , 故函数 y=cos x 同时满足条件 , 故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 13.B 如图所示 ,过点 A作 AH垂直于 y轴 ,垂足为 H. 设 A 点的坐标为 (x,x2)(x0), 因为 AH0,故 x1. 又因为当 x增大时 ,由抛物线趋势可知 AD的增幅大于 AB的增幅 ,故仅存在一个点 A使得 AD=AB,即 “ 完美点 ” 唯一 ,且横坐标大于 1,故选 B. 14. 答案 1 464 解析 共有 6种方案 : 3516+2018+2820=560+360+560=1 480 元 . 3516+2020+2818=560+400+504=1 464 元
11、 . 3518+2016+2820=630+320+560=1 510 元 . 3518+2020+2816=630+400+448=1 478 元 . 3520+2016+2818=700+320+504=1 524 元 . 3520+2018+ 2816=700+360+448=1 508 元 . 其中方案 总费用最低 ,为 1 464 元 ,即面积大的房间用价格最低的涂料 ,面积最小的房间用最贵的涂料 ,面积中等的房间用费用中等的涂料 . 15. 答案 解析 若函数 y=f(x)的 “ 似周期 ” 为 -1, 则 f(x-1)=-f(x)=-f(x+1-1)=f(x+1), 即 f(x)
12、是周期为 2的周期函数 ,所以 正确 ; 若 f(x)=x是 “ 似周期函数 ”, 则存在非零常数 T,对任意 xR 满足 f(x+T)=x+T=Tf(x)=Tx,显然不可能 ,所以 错误 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 f(x)=2-x是 “ 似周期函数 ”, 则存在非零常数 T,对任意 xR 满足 f(x+T)=2-(x+T)=Tf(x)=T2 -x,即2-T= =T,而函数 y= 与 y=x的图象有一个交点 ,即非零常数 T存在 ,所以 正确 ; 若函数 f(x)=cos x 是 “ 似周期函数 ”, 则存在非零常数 T,对任意 xR 满足f(x+T)=cos(x+T)=Tf(
13、x)=Tcos x, 则 T=1, 若 T=1,则有 cos(x+)=cos x, 可得 =2k,kZ;若 T=-1,则有 cos(x -)= -cos x, 可得 =2k+,kZ, 所以 =k,kZ, 所以 正确 .综上所述 ,真命题的序号是 . 16. 解析 (1)证明 :f(x) 的图象与 x轴有两个不同的交点 , f(x)=0 有两个不等实根 ,设为 x1,x2, f(c)=0, x 1=c是 f(x)=0的根 , 又 x1x2= , x 2= , 是 f(x)=0的一个根 . (2)假设 0,且 0, 知 f 0与 f =0矛盾 , c, 又 c, c. (3)证明 :由 f(c)=0,得 ac+b+1=0, b= -1-ac. 又 a0,c0,bc,x 2x1, 0,b -2, -2b-1.
