1、The Elements of Computational Fluid Dynamics1第一章 绪论1.1 计算流体力学的概念与意义1.2 流体力学的基本方程1.3 流体力学方程组的类型判别 21.1 计算流体力学的概念与意义1、流体运动遵循3个基本定律： 1) 质量守恒定律；2) 动量守恒定律；3) 能量守恒定律2、流体的本构模型和状态方程 控制方程（控制方程（Governing equations） 偏微分方程（方程组）或积分形式的方程（方程组） 流体运动的复杂性主要表现为控制方程的高度非线性和流动区域几何形状的复杂性等，导致对绝大多数流动问题无法得到解析解。高速计算机的发展，使得计算流
2、体动力学（Computational Fluid Dynamics,CFD）逐渐成为一门独立学科。3计算流体力学计算流体力学(CFD)：通过数值方法求解流体力学控制方程，得到流场的离散的定量描述，并以此预测流体运动规律的学科。在CFD中，首先，把控制方程中的积分、微分项近似地表示为离散的代数形式，把积分、微分形式的控制方程转化为一组代数方程，这个过程称为控制方程的离散化(discretization)；所采用的离散化方法称为数值方法或数值格式。然后，通过电子计算机求解这些代数方程组，得到流场在离散的时间/空间点上的数值解(numerical solution)。CFD也被称作流场的数值模拟、数
3、值计算、数值仿真等。4计算流体力学的研究步骤第一，问题的界定和流动区域的几何描述。 流场的几何形状：源于对已有流动区域的测量或者新的产品和 工程的设计结果。 流动条件：雷诺数、马赫数、边界处的速度及压力等 对数值模拟的要求：精度、所花费的时间。第二，选择控制方程和边界条件。 在牛顿流体范围内，用Navier-Stokes方程描述。 根据问题的特点，可以考虑定常或非定常，可压或不可压的流动模型。 简化的数学模型：势流方程，Euler方程，边界层方程， 薄层近似的Navier-Stokes方程等。 边界条件通常依赖于控制方程。 固体壁面条件，来流、出流条件，周期性条件，对称条件等 附加的物理模型：
4、湍流模型，化学反应等。5第三，确定网格划分策略和数值方法。 网格划分：结构网格、非结构网格、组合网格、重叠网格。 网格可以是静止的，也可以是运动的，还可以根据数值解动态调整（自 适应网格）。 数值方法：有限差分、有限体积、有限元、谱方法等。 数值方法和网格划分策略是相互关联的。第四，程序设计和调试。 在网格划分策略和数值方法的基础上，编制、调试数值求解流体运动方程 的计算机程序或软件。第五，程序验证和确认。 验证(Verification)：The process of determining that a model implementation accurately represents
5、the developers conceptual description of the model and the solution to the model. 确认(Validation)：The process of determining the degree to which a model is an accurate representation of the real world from the perspective of the intended uses of the model.6第六，数值解的显示和评估 计算感兴趣的力、力矩等； 应用流场可视化软件对流场进行显示、分
6、析； 对数值方法和物理模型的误差进行评估等。7计算流体力学典型流程物理模型数学模型网格生成离散方法选择时、空离散边界条件离散解代数方程组验证与确认流场显示结果分析8举例：自然循环回路内的流动与传热特性9物理模型： (1) 空间维数：1D、2D、3D (2) 时间特性：定常、非定常 (3) 流动性质：无粘/粘性、可压缩/不可压缩、层流/湍流 (4) 流体物性：常物性、变物性Geometric parameter:Height H Width W Length of heat sink (source) L Tube diameter d Rayleigh number RaHeat source
7、 temperature ThHeat sink temperature TcOperation pressure P10数学模型： 控制方程 定解条件 初始条件： 边界条件：固体壁面上无滑移； 恒温热源、恒温热沉， 其余为绝热壁面。()0Vt()()VVVPVgt ()()EPVETTqtt 00;VTT11网格划分：12数值算法：离散方法： FDM、FVM、FEM空间离散： 对流项，粘性项，源项时间离散： 显式、隐式边界离散： 来流、出流、固壁、远场、周期性求解代数方程组13数值解的验证与确认：14流场显示及结果分析：15计算流体力学的特点及意义实验研究理论研究计算流体力学优点：借助各种先
8、进仪器，给出多种复杂流动的准确、可靠的观测结果，这些结果对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具有不可替代的作用。缺点：费用高昂，周期很长，有些流动条件难以通过实验手段来模拟。优点：可以给出具有一定适用范围的简洁明了的解析解或近似解析解，这些解析解对于分析流动的机理和预测流动随参数的变化非常有用。缺点：只能研究简单流动问题，能够得到解析解的流动问题为数不多，远远不能满足工程设计的需要。发展CFD的主要动机：利用高速电子计算机，克服理论研究和实验研究的缺点，深化对于流体运动规律的认识并提高解决工程实际问题的能力。优点：原则上可以研究流体在任何条件下的运动，使得我们研究流体运动的范
9、围和能力都有本质的扩大和提高。费用低，周期短。161.2 流体力学基本方程守恒型积分方程牛顿流体本构关系Stokes流体假设*jikijijijijijjikuuuppxxx 23 *0()sssssdV dstVdVV dsFdndstEdEV dsF VdVqndst22EeVEeFourier为总能， 为内能；根据导热定律，有qk T qk为热通量， 为热传导系数17守恒型微分方程积分型方程和微分型方程在意义上有微妙差别： 积分型方程允许在控制体内部流动参数有间断； 微分型方程假定流动参数是可微的，因而是连续的。因此，积分型方程是比微分型方程更为基本的方程，尤其是流场中确实存在间断时。(
10、1)(1)pvpRTCRCR(1)pe状态方程*()0()()()VtVVVFtEEVF VVqt18直角坐标系下的守恒型方程Navier-Stokes 方程()()()0vvvtxyzFFGGHHUuvwEU2()uupuvuwEp uF2()vvuvpvwEp vG2()wwuwvwpEp wH190 xxvxyxzxxxyxzxuvwkTF0yxvyyyzyxyyyzyuvwkTG0zxvzyzzzxzyzzzuvwkTH2022()322()322()3()()()xxxxyzyyyxyzxxzxyzxyyxyxyzzyzyzxxzxzuuvwvuvwwuvwuvvwwu21Euler
11、 方程0txyzFGHU等价形式0EtUNavier-Stokes 方程中，()()()EijkFFGGHHEuler 方程中，EijkFGHCFD中，守恒型方程是使用最频繁的一种形式。22边界条件黏性流动的适定边界条件： 在固体壁面上速度满足无滑移条件： 温度条件可以是下面三种之一：无黏流动的适定边界条件 在固体壁面上速度满足不可穿透条件0wV ()0wwwwTq nTnkTn 等温条件：恒定，已知热流条件：绝热条件：0wVn231.3 偏微分方程的分类及数学性质一阶拟线性方程组 Euler方程：一阶非线性偏微分方程组 Navier-Stokes方程：二阶非线性偏微分方程组流体力学的基本方程
12、都可以写成一阶拟线性方程组的形式。对一阶导数项而言，是线性方程组；如果B, A是U的函数，则整个方程组是非线性的，称之为“拟线性方程组”。, ,ijijUUBACtxU CmBbAam m以两个自变量的偏微分方程为例，其一阶拟线性形式为是 维列向量，均为方阵。24考虑一维守恒型Euler方程（一阶）0UFtx1222232,(1)()2()(1)()2U FmufmmUumFupfEEp ufmm分别为；111222333fffmfffFFFmFUxxmxxmxfffm25令111222333fffmfffFAmUfffm0UUEulerAtx则方程可以写为拟线性形式：232010(3)(3)
13、123(1)(1)2AJacobiuAuuuEuEu为矩阵，26考虑Laplace方程（二阶）22220,00001,10 xyuvxyuvxyvuxyUUAxyuUAv 引入即作业一：根据类似的方法，将作业一：根据类似的方法，将Navier-Stokes方程写成一阶方程写成一阶拟线性方程组的形式拟线性方程组的形式27特征线理论分析拟线性方程的特征线和相容关系具有重要意义。通过引入特征线和相容关系，可以把偏微分方程的某种线性组合化为常微分方程。在有些情况下，还可以由此得到解析解。考虑一般形式的有两个自变量的拟线性方程组，它的分量形式UUBACtx,11(1,2,.,)(1.3.7)mmjji
14、ji jijjuubacimtx, t x可以是时间和空间变量，也可以是其它任何有物理意义的自变量。( , ):xtx tdxdsdtdss平面上的曲线可以表示为下列参数方程的形式是某一参数，具体取法不会影响下面的讨论。28任意物理量 沿曲线的方向导数为特征线上的常微分方程被称为相应的偏微分方程的或者。特特征征形形式式(characteristic form)(characteristic form)特特征征相相容容关关系系(characterist(characteristiciccompatibility equation)compatibility equation)如果对(1.3.7)
15、做某种线性组合，使得组合后的方程只包含的方向导数，则组合后的方程化为 上的常微分方程。满足这种条件的曲线称为。特特征征线线(characteristic (characteristic curve)curve)txddtdxdst dsx dstx29例如：标量线性波动方程30双曲型方程的定义3132111|-| 0ABmABmABmUUBACtxAB：如果有 个实根，即矩阵有 个实特征根；而且有 个线性无关的特征向量，则拟线性方程组（1.3.1）是双曲型方程组。如果的所有特征值为互异实数，则式(1.3.1)为严格双曲型方程。双双曲曲型型方方程程|-| 0ABmm：对于一阶拟线性方程式(1.3
16、.1),如果的根为重根，而且对应的独立特征向量数小于 ，那么，称式(1.3.1)为抛物型方程。抛抛物物型型方方程程|-| 0AB：对于一阶拟线性方程式(1.3.1),如果的所有根均为复数，则称式(1.3.1)为椭圆型方程。椭椭圆圆型型方方程程| -| 0AB关于双曲型、抛物型和椭圆型方程的定义，不能概括方程的解的所有情况。还有。组组合合型型和和混混合合型型偏偏微微分分方方程程33双曲、抛物和椭圆型方程的数学性质不同类型的方程，如双曲、抛物、椭圆型方程具有不同的数学行为，对应着不同的物理过程；因而，也应采用不同的数值方法求解。343536121212 , ,/- ,/ ,x xx xdx dta
17、dx dtax x内初值的变化只影响由特征线和区间围成的区域。的影的影响响域域：3738394041424344流体力学方程组的其它类型4546474849The Elements of Computational Fluid Dynamics50第二章 有限差分方法基础2.1 有限差分方法概述2.2 导数的数值逼近方法2.3 差分格式的性质2.4 发展方程的稳定性分析512.1 有限差分方法概述 以一维非定常热传导方程为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。2.1.1 基本方程和定解问题22(0)(2.1.1)uutx( ,)0,1 0,x t 求解域：( , 0)( )(2.
18、1.2)(0, )( ),(1, )( )u xf xuta tutb t初始条件：边界条件：方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。有限差分方法：对于一个偏微分方程，如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(Algebraic Difference Quotient) 代替，则可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程，进而得到数值解，这种方法称为有限差分方法(Finite Difference Method)。52012.1.2 求解域及偏导数的离散化 为了用有限差分方法求解式 (2.1.1)，需要把其中的偏导数表示为代数形式，为此，首先要把自变量从连续的分布变
19、为离散形式。这个过程称为求解域的离散化。 1. 空间求解域的离散化0 x 1x2x1MxMx把空间求解域分为M段（均匀剖分）0121,MMxxxxx网格点：=kxk x显然,=1/xM其中,， 为空间步长。 2. 时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可以划分为01211,NNNtt ttt个离散时刻：=(/,)ntn ttTN 时间步长53 求解域被划分为一系列离散的时空网格点 图2.1 求解域的离散化 3. 解的离散表示目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。(,)= (,)(0,1,;0,1,)knu x tu k x n tkMnN(,)
20、nknku x tu后文中， 把记为。54 4. 导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。(,)(2.1.1)(,)(,)(2.1.3)( )()(2.1.4)kntxxnntkxxkx tu k x n tuk x n tuu在网格点，方程可以表示为或000Taylor( ,)( , )( , )lim( , )( ,)( , )lim( ,)( ,)( , )lim2tttttttuu x ttu x tu x ttu x tu x ttu x ttu x ttu x ttu x tt 按定义（利用展开式），偏导数可以写成下面几种等价形式：0limdifference quot
21、ienttt 其中，后面的项称为差商()。当足够小时，可以用差商来近似导数。55( ,)( , )( , )( , )( ,)( , )( ,)( ,)( , )2tttu x ttu x tu x ttu x tu x ttu x ttu x ttu x ttu x tt即：1-1+1-1(,)( )( )(2.1.5)( )( )(2.1.6)( )( )(2.1.7)2knnnnnkktktknnnnkktktknnnnkktktkx tuuuutuuuutuuuut在网格点，有的向前差商：的向后差商：的中心差商：1111(forward difference)(backward dif
22、ference)(central difference)nnntkkknnntkkknnntkkkuuuuuuuuuu沿时间方向的向前差分：向后差分：中心差分：ttt其中， 分别称为时间方向前差、后差和中心差分算子。561-1+1-1()()()()()()2nnnnkkxkxknnnnkkxkxknnnnkkxkxkuxuuuuxuuuuxuuuux空间方向的一阶偏导数可以近似为的向前差商：的向后差商：的中心差商：1111nnnxkkknnnxkkknnntkkkuuuuuuuuu空间方向的向前差分、向后差分和中心差分记为xxx其中，分别称为空间方向前差、后差和中心差分算子。后文中，将略去差
23、分算子的下标，简记为， ， 。57(,)(,)(2.1.3)(2.1.3)txxu k x n tuk x n t中的二阶偏导数应该如何近似呢？2220(, )2 ( , )(, )( , )limxuu xx tu x tu xx tx txx 根据数学分析中的知识，我们知道21222nnnnkkkkuuuuxx所以，二阶导数可以近似为112nnnkkkuuu称为二阶中心差分。112= ()()nnnnnkkkkkuuuuu 容易证明：582.1.3 差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法，不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。1. FTCS (Forward difference
24、 in Time, Central difference in Space) 格式时间方向用前差近似，空间二阶导数用中心差分近似。11122(2.1.9)nnnnnkkkkkuuuuutx对初始条件和边界条件的离散化00()(0,1,)(2.1.10)( )(0,1,)(2.1.11)( )(0,1,)(2.1.12)kknnnMnuf xkMua tnub tn式 (2.1.9) (2.1.12)称为方程 (2.1.1) 的一个有限差分方程或有限差分格式( finite difference scheme)。592. BTCS (Backward difference in Time, Ce
25、ntral difference in Space) 格式时间方向用后差近似，空间二阶导数用中心差分近似。11122(2.1.13)nnnnnkkkkkuuuuutx00()(0,1,)( )(0,1,)( )(0,1,)kknnnMnuf xkMua tnub tn在研究数值方法时，通常把 tn 时刻的物理量视为已知量，而把 tn+1 时刻的物理量作为待求的未知量。因此，式 (2.1.13) 可以改写成11111122(2.1.14)nnnnnkkkkkuuuuutx602.1.4 差分方程的求解1. FTCS 格式11122(2.1.9)nnnnnkkkkkuuuuutx可以改写为111(
26、1 2 )(2.1.15)nnnnkkkkuuuu2tx其中，可见，在FTCS格式中，某一点的数值解只依赖于前一时间步的三个点，如图2.2所示。图2.2：FTCS格式的模板点1(stencil)nku求解所涉及的典型网格点称为模板格式的点。1expliciFTCS2.1.15tn1 schemenknknuu格式可以通过简单的递推关系由某一时间步 的值计算出下一个时间步的值式，称为显示格。61FTCS格式的求解过程01.0()() (0,1,)nkkkknuf xuf xkM赋初始值令,由计算1+1112.(1 2 )(0,1,)nnnnnkkkkkuuuuukM内点数值解计算由计算+1+10
27、03.( )( )(0,1,)nnnnnMnMua tub tnuu边界处理由，计算，1nn令4.ntT判断是否成立5. 输出结果成立不成立622. BTCS 格式11111122(2.1.14)nnnnnkkkkkuuuuutx可以改写为11+1+1-1-(1 2 )+=-(2.1.16)nnnnkkkkuuuu跟FTCS格式不同，BTCS格式中同时涉及到 n+1 时刻的多个未知量，不能递推求解，称为隐式格式 (implicit scheme)。图2.3：BTCS格式的模板点1.0nknu赋初始值(令,计算)12.nku构造求解的线性方程组3. 求解线性方程组1nn令4.ntT判断是否成立5
28、. 输出结果成立不成立BTCS格式的求解过程6312.1nknu构造求解时刻数值解的线性方程组11+1-1+1-(1 2 )+=-(2.1.16)nnnnkkkkuuuu0,1,kM列出各点差分格式的具体形式10111+1012111+1123211+1211+110:()()1:-(1 2 )+=-2:-(1 2 )+=-.1:-(1 2 )+=-:=b()()nnnnnnnnnnnnnnMMMMnMnkua tkuuuukuuuukMuuuukMut边界条件边界条件写成方程组的形式1n通过求解这个线性方程组，可以得到时刻求解域上各个网格点的数值解。643. 求解线性方程组系数矩阵只有主对角
29、线和相邻的两条次对角线上有非零元素，这种形式的方程组称三对角线为方程组。可以通三对角线方程组追过赶法直接求解。：I. 利用一个边界条件将三对角线方程组化为只有主对角线和相邻的一条次对角线上有非零元素的方程组；II.利用另一边界条件追赶法逐点求解。1M ：是一种高效算法，计算量与未知量个数近似呈线追赶法性关系。652.1.5 用时间相关方法求解定常问题考虑非定常热传导方程和定解条件22(0)( , 0)( )(2.1.18)(0, )(1, )uutxu xf xutaconstutbconst (2.1.18)t 当时，的解与时间无关，与下面的定解问题等价。22=0( , 0)( )(2.1.
30、20)(0)(1)uxu xf xuaconstubconst 2.1.202.1.18显然，定常问题的解也可以通过数值求解得到。661-6(2.1.18),110nnkkuuktn在实际求解过程中，无需计算无穷多时间步，只要定解问题的数值解满足 即可认为时刻的数值解为定常解。其中， 是一个小的正实数，根据对定常解精度的要求事先指定，定常问如。上题的时述方法称为求解间相关方法。671.nku赋初始值(令n=0,计算)12.nku构造求解的线性方程组3. 求解线性方程组1nn 令-64.10判断是否成立5. 输出结果成立不成立BTCS格式的求解过程FTCS格式的求解过程01.( )( ) (0,
31、1,)nkkkkuf xuf xkM赋初始值令n=0,由计算1+1112.(1 2 )(0,1, ,)nnnnnkkkkkuuuuukM内点数值解计算由计算+1+1003.( )( ) (0,1,)nnnnnMnMua tub tnuu边界处理由，计算，1nn 令5. 输出结果成立不成立-64.10判断是否成立实用中，通常采用下面的求解过程682.2 导数的数值逼近方法2.2.1 精度分析 在上一节，我们得到了一阶偏导数的前差、后差和中心差分近似，以及二阶导数的中心差分近似。这些近似方法逼近偏导数的程度如何呢？可以用Taylor展开式进行分析。,( ,)(,)iji ju x yu i x j
32、 yu记22331,23( , )( , )( , )22331,23( , )( , )( , )Taylor2!3!2!3!iji ji ji ji jiji ji ji ji juuxuxuuxxxxuuxuxuuxxxx 由展开式，69,1,( , )23223( , )( , ),( , ). . .()2!3!. .()()xi jiji ji ji ji jxi ji juuuuT ExxxuxuxT EOxxxT ETruncation ErrorOxuuxx：其中，称为截断向前差误差，是的量级。 商一阶精度的差称是的分近似。,-1,( , )23223( , )( , ),(
33、 , ). . .-()2!3!xi ji jiji ji ji jxi ji juuuuT ExxxuxuxT EOxxxuuxx：也是的向后差商一阶精度的差分近似。70,1,-1,( , )3223( , ),( , ). .22. .()3!()2xi jijiji ji jxi ji juuuuT ExxxuxT EOxxTruncation Erroruuxx：中心差商的截断误差比向前差分近似和向后差分中心差商近似小一个数量级。 二阶精度的差称是的分近似。 一般来讲，对偏导数的近似精度越高，差分格式的精度越高。71例：一维非定常热传导方程的FTCS格式中涉及的导数差分近似的精度。22
34、(0)(2.1.1)uutx123223. . .()2!3!nnnntkkkknnkknntkkuuuuT EtttututT EOtttuutt一阶精度的 是的差分近似。21-122244624621-1222+. .22. .()4!6!2+nnnnkkkknnkknnnnkkkkuuuuT ExxxxuuT EOxxxuuuuxx 是的二阶精度的差分近似。72( , )i jux构造的某种差分近似，可以采用“待定系数法”。2.2.2 导数差分近似的待定系数法( , ),-1,-2,( , )( , ),(1, ),(2, )i ji jijiji juxuuuukxi jijij首先，
35、确定近似所使用的“模板点”。如：用，构造一阶导数的 阶近似，则模板点为,-1,-2,( , )()/()(2.2.5)ki jijiji juaubucuxOxx 其次，把近似公式写成待定系数的形式,-1,-2,( , )(2.2.5)i jijijuuui jTaylor然后，把，在处做展开，并带入。, ,ka b c最后，选定 ，得到关于待定系数的线性方程组，求解方程组确定系数。73+1,-1,-2,( , )(2.2.5)-()()(2.2.6)ki jijiji juxaubucuOxx式可以改写成下面的形式1,k 令,( , )(2.2.6)i ji juuxx比较的左右两侧，得展开
36、式中，项的系数均为零，0(2.2.7)120(2.2.7)abcbc即：两个方程，三个未知量，式有无穷多解。,-1,-2,( , )i jijiji juuuux用，可以构造一阶导数的无穷多种一阶差分近似。,-1,-2,( , )=1=-1-21=(1)(12 )()(2.2.8)i jijiji jacbcuc uc ucuOxxx，则0 (2.2.8)c 令，就是向后差分近似。7422,2( , )( , )(2.2.6)0120(2.2.7)40i ji ji juuuxxxxabcbcbc比较的左右两侧，得展开式中，和项的系数均为零，即：2,k 令2,-1,-2,( , )=3/ 22
37、,1/ 21=34()(2.2.10)2i jijiji jabcuuuuOxxx 解线性方程组得：，即(,-1,-, )2,( , )(2.2.10)( , )i jijiji ji jui juuuuxx式只涉及到左侧的两个点，称为的。二阶后差近似用，可以构造出的一种二阶差分近似。753,k 令( , )1i jukkx一般情况下，用 个连续的模板点逼近的精度最高为阶。22,2( , )( , )333( , )(2.2.6)i ji ji ji juuuxxxxuxx比较的左右两侧，得展开式中，和项的系数均为零。 有三个待定系数，四个方程。,-1,-2,( , )i jijiji juu
38、uux不可能用，构造出的三阶差因此，分近似。762.2.3 导数差分近似方法的差分算子法1. 差分算子的定义 算子，一种前置运算符。算子和它后面的作用量一起代表一种确定的运算过程。, u vvAuAAAuu例如：向量满足是一个矩阵，则 可以被视为一个算子，因为定义了一种对 进行操作或运算的规则。在引入差分算子的定义之前，先介绍一种特殊的算子移位算子。移位算子的运算规则为nnxjjnntjjE uuE uu移位算子的下标表示移位的方向，上标表示移位的步数。10+1=1xxxEEE当移位为时，上标可忽略，如：。规定77差分算子：移位算子和可以表示为移位算子函数的算子。差分方法中常用的算子：1122
39、11221122112212nnnnxjxxjjjxxxuuuEEuEE算术平均算子+1-(1)1nnnnxjjjxjxxuuuEuE 前差算子1-11-(1)1nnnnxjjjxjxxuu uEuE 后差算子78112211+-221122-()nnnnxjxxjjjxxxuuuEEuEE一倍步长中心差分算子-1+1-11-()nnnnxjjjxxjxxxuuuEEuEE两倍步长中心差分算子2. 差分算子之间的关系11111222211=221212EEEEEE2112122=2EEEE 79所有的差分算子均可用Taylor展开式来估算截断误差项的量级。() )() )kkLLuOxLOx如
40、果差分算子 满足称 具有量级。21122(11()2nnnnxjjjjOuuuuOx11221)(2(nnnxjjjOxuuuOx11()(nnnxjjjuuxOOxu1()()nnnxjjjuuuOxOx1()()nnnxjjjuuuOxOx803. 微分算子与差分算子的关系814. 导数的近似 根据差分算子之间的转化关系，可以建立微分算子与其它差分算子之间的联系，从而得到导数的数值近似公式。11,xxE 后差：利用差分算子之间的转化关系推导微分算子和后差算子之间近似的关系。10ln(1)( 1)1nnnxxn注：即：82即：与待定系数法得到的结果一致。前差近似：中心差分近似：83即：845
41、. 紧致格式 从上面的推导可以看出，导数的有限差分近似精度越高，所需要的模板点越多。对于一阶导数，一般需要5个点才能得到四阶精度的差分近似。模板点数太多不仅使数值方法变得复杂，也给边界附近的处理带来一定困难。紧致格式：用较少的模板点构造导数的高阶近似。3535630630DhhD由得35()6hDO h一方面，35()6hDO h351(1)()(2.2.13)6hDO hhD853()hDO h另一方面，23331()1111()1(2.2.14)()()1O hO hhDO hO h325(2.2.14)(2.2.13)111()()6hDO hO h把代入，得2451+ ()()6hDO
42、 hO h即42(2.2.1+5)1+6DO hhPadDe由此得到微分算子的有理近似，称为近似。86基于Pade近似的导数近似方法，称为紧致格式 (compact scheme)。(2.2.15)在中，和 算子只用到三个模板点上的函数值，所以，这里仅用三个模板点就得到了四阶精度格式。46222222421+112120+19DO hDhh类似地， 由可以导出二阶偏导数的紧致格式：8722(0)( , 0)( )(0, )( )(1, )( )uutxu xf xuta tutb t例：考虑热传导方程及定解条件1()ttDOtt 时间方向，采用前差近似224221+,()1+12xDO hhx
43、h 空间导数，用紧致格式88211111111=2110111012121212121212xnnnnnnjjjjjjEEuuuuuu 将关系式代入上式得：222212111+1211+12nntjjnnxjjxuuthuu代入微分方程，有即1nku上式为隐式差分格式，联合边界条件，组成一个三对角线方程组，求解线性方程组，可得。892.3 差分格式的性质2.3.1 范数的定义及性质1. 向量范数902. 算子范数AxxA由于是一个向量，所以上面实际上是通过向量范数来定义算子范数。给定一种向量范数， 称为与该向量范数相容的算子范数。91, i jAann矩阵是一个线性算子，设是矩阵，则：922.
44、3.2 差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截断误差(local truncation error)衡量差分格式逼近微分方程的程度。( )0eL uu设微分方程为，精确解为 。()0nnkkL uu对应的差分格式为，差分格式的数值解为 。(,)0. . .()eknnekL u x tLT EL u注意到，则差分格式相对于微局部截断误差分方程的为()0( )0. . .() )() )nkpqL uL uLT EOtOxpq：差分格式的精度局。如果差分格式相对于微分方程的为则称差部截断误差时间方向是阶精度空间方向分是格式在，。阶精度定定义义931112FTCS2()nnnnnkk
45、kkkuuuuutx例：考虑一维非定常热传导方程的格式11122224224234636( , )2()2()24!()2()3!6!nnnnnnkkkkkknnnnkkkknnkkk nTayloruuuuuLutxuutuxutxtxtuxutx各个物理量在处做展开，有！94eu把精确解代入上式，得11122242224362436()()()2()()()2()24!()2()3!6!nnnnnnekekekekekeknnnneeeekkkknneekkuuuuuLutxuuuutxtxtxuutxtx！220nneekkuutx2432224364622()()2!4!3!2()6!
46、()() )nnnneeeekkkknekuuutxtLutxtuxxOtOx 2. . .()() )nekLT ELuOtOx即95如果时间步长和空间步长之间满足一定的关系，FTCS格式时间方向可达到二阶精度，空间方向可达到四阶精度。2220()() () ()nneeettexx tetxxexxxxkkuuuuuutx2() ()nnettkexxxx kuu即243622424364362244362()()2(). .2!4!3!6!2()()2()24!3!6!nnnneeeekkkknnneeekkkuuuutxtxLT Etxtxuuutxtxxtx 2242()0. . .
47、() )() )24!txLT EOtOx当时，。根据差分格式精度的定义，按照上面的分析，FTCS格式时间方向是一阶精度，空间方向是二阶精度。962.3.3 差分格式的相容性截断误差是在网格点上逐点定义的。定义中每个网格点上的数值解构成一个解向量，每一个网格点上的截断误差也构成一个向量。因此，可以用向量范数来刻画差分格式的局部截断误差。()0()0. . .()neneneuuL uL uLT EL u：设每个网格点上的数值解构成的解向量为，相应各点上的精确解构成的向量为 ，与微分方程对应的差分格式为。则差分格式的截局部截断误差的范数形式。断误差为。定定义义0,00,0()0()0lim. .
48、 .lim()0ennextxtL uL uLT EL u ：差分格式的相与微分方程对应的差分格式为。如果，则称差分格式与微分方程容性的。是相容定定义义. . .() )() )0,0pqLT EOtOxpq如果差分格局部截断误差式的为，则当时，差分格式是相容的。972.3.4 差分格式的收敛性和稳定性1. 差分方程的矩阵形式考虑线性的发展方程（双曲型方程和抛物型方程）的差分格式。发展型方程的一般形式：( ,)0 xug u ut 以非定常热传导方程的FTCS格式为例，将差分格式写成矩阵形式：111(1 2 )nnnnkkkkuuuuFTCS格式：解向量记为：1111101101(,)(,)n
49、nnnTnnnnTuuuuuuuu 考虑到边界条件，则差分格式可以写为：10()nnuQuQ差分算子Dirichlet boundary conditionQ在第一类边界条件（，指定微分方程的解在边界上的值）下， 是一个三对角矩阵。Q对于线性方程的线性差分格式， 为线性算子。9810nnuQu一般情况下，发展方程的涉及两个时间层的差分格式均可写成( )0L u差分方程的一般形式：1()0(2.3.6)nnntL uuQu两种形式之间的关系：2. 整体截断误差局部截断误差：差分方程逼近微分方程的程度整体截断误差：差分方程的解逼近微分方程的精确解的程度1()ennneennneuuQutL u设微
50、分方程的精确解为 ，则其中，为差分方程的局部截断误差。11(2.3.8)(2.3.8)nnennnuuQuwuuwQwt数值解 满足设精确解和数值解的差为，则下面通过研究差分方程的解逼近微分方程精确解的程度。9911100()nnnnnnnjnjjwQwtQ QwttQwtQ00w 10nnnjjjwtQ 100nnnjnjjnjjjwtQtQ ()(),njpqnjCtxnj 时刻的局部截断误差。010max()()(2.3.10)njj nnnpqjjCCwtCtxQ 取，则1nw定义为差分方程的（与差分格式的局部截断误差、差分算子的范数有关，通常整体截断难以误差。估算）。1003. 差分
