1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.3 正弦、余弦定理及解三角形 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.正弦、余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理 ,并能解决一些简单的三角形度量问题 . 掌握 16,4分 18(1) (文 ),7分 17,4分 20(2), 7分 16(1),7分 16(文 ), 14分 14,3分 2.解三角形及其综合应用 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 . 掌握 7,5 分 18(2) (文 ),7分 18(2),7分 18(文 ), 6分 16,14分 16(
2、2)(文), 7分 16(2),7分 11,4分 14,3分 分析解读 1.主要考查正弦定理和余弦定理 ,以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形 . 2.高考命题仍会以三角形为载体 ,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查三角知识 . 3.预计 2019年高考中 ,仍会对解三角形进行重点考查 ,复习时应引起高度重视 . 五年高考 考点一 正弦、余弦定理 1.(2017课标全国 文 ,11,5 分 )ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则 C=( ) A. B. C. D. 答案 B 2.(2017山
3、东理 ,9,5分 )在 ABC 中 ,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若 ABC 为锐角三角形 ,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案 A 3.(2016天津 ,3,5分 )在 ABC 中 ,若 AB= ,BC=3,C=120, 则 AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A 4.(2013浙江 ,16,4分 )在 ABC 中 ,C=90,M 是 BC 的中点 .若 sinBAM= ,则 sinBAC= . 答案 5.(2017课标全国
4、文 ,16,5 分 )ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,则B= . 答案 60 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6.(2016课标全国 ,13,5 分 )ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则b= . 答案 7.(2015天津 ,13,5分 )在 ABC 中 ,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 ABC 的面积为 3 ,b-c=2,cos A=- ,则 a的值为 . 答案 8 8.(2014课标 ,16,5 分 )已知 a,b,c分别为 ABC 三个内角
5、 A,B,C的对边 ,a=2,且 (2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则 ABC 面积的最大值为 . 答案 9.(2017山东文 ,17,12分 )在 ABC 中 ,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 b=3, =-6,SABC =3,求 A和 a. 解析 本题考查向量数量积的运算及解三角形 . 因为 =-6, 所以 bccos A=-6, 又 SABC =3, 所以 bcsin A=6, 因此 tan A=-1,又 00). 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 代入 + = 中 ,有 + = ,变形可
6、得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在 ABC 中 ,由 A+B+C=, 有 sin(A+B)=sin( -C)=sin C, 所以 sin Asin B=sin C. (2)由已知 ,b2+c2-a2= bc,根 据余弦定理 ,有 cos A= = . 所以 sin A= = . 由 (1)可知 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以 sin B= cos B+ sin B, 故 tan B= =4. 教师用书专用 (11 27) 11.(2013湖南 ,3,5分 )在锐角 ABC 中 ,角 A,B所对的
7、边长分别为 a,b.若 2asin B= b,则角 A等于 ( ) A. B. C. D. 答案 D 12.(2013陕西 ,7,5分 )设 ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则 ABC 的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案 B 13.(2013辽宁 ,6,5分 )在 ABC 中 ,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos A= b,且 ab,则 B=( ) A. B. C. D. 答案 A 14.(2013天津 ,6,5分 )在 AB
8、C 中 ,ABC= ,AB= ,BC=3,则 sinBAC=( ) A. B. C. D. 答案 C =【 ;精品教育资源文库 】 = 15.(2015福建 ,12,4分 )若锐角 ABC 的面积为 10 ,且 AB=5,AC=8,则 BC等于 . 答案 7 16.(2014江苏 ,14,5分 )若 ABC 的内角满足 sin A+ sin B=2sin C,则 cos C的最小值是 . 答案 17.(2015重庆 ,13,5分 )在 ABC 中 ,B=120,AB= ,A 的角平分线 AD= ,则 AC= . 答案 18.(2015广东 ,11,5分 )设 ABC 的内角 A,B,C的对边分
9、别为 a,b,c.若 a= ,sin B= ,C= ,则 b= . 答案 1 19.(2014天津 ,12,5分 )在 ABC 中 ,内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin C,则 cos A的值为 . 答案 - 20.(2014广东 ,12,5分 )在 ABC 中 ,角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b,则= . 答案 2 21.(2014福建 ,12,4分 )在 ABC 中 ,A=60,AC=4,BC=2 ,则 ABC 的面积等于 . 答案 2 22.(2013安徽 ,12,5分 )设 ABC 的
10、内角 A,B,C所对边的长分别为 a,b,c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C= . 答案 23.(2016江苏 ,15,14分 )在 ABC 中 ,AC=6,cos B= ,C= . (1)求 AB的长 ; (2)求 cos 的值 . 解析 (1)因为 cos B= ,0B, 所以 sin B= = = . =【 ;精品教育资源文库 】 = 由正弦定理知 = ,所以 AB= = =5 . (2)在 ABC 中 ,A+B+C=, 所以 A= -(B+C), 于是 cos A=-cos(B+C)=-cos =-cos Bcos +sin Bsin , 又 cos B= ,si
11、n B= ,故 cos A=- + =- . 因为 0A ,所以 sin A= = . 因此 ,cos =cos Acos +sin Asin =- + = . 24.(2015课标 ,17,12 分 )ABC 中 ,D 是 BC上的点 ,AD 平分 BAC,ABD 面积是 ADC 面积的 2倍 . (1)求 ; (2)若 AD=1,DC= ,求 BD 和 AC 的长 . 解析 (1)SABD = ABADsinBAD, SADC = ACADsinCAD. 因为 SABD =2SADC ,BAD=CAD, 所以 AB=2AC. 由正弦定理可得 = = . (2)因为 SABD S ADC =
12、BDDC, 所以 BD= . 在 ABD 和 ADC 中 ,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB, AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC. 故 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由 (1)知 AB=2AC,所以 AC=1. 25.(2013山东 ,17,12分 )设 ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6,b=2,cos B= . (1)求 a,c的值 ; (2)求 sin(A-B)的值 . 解析 (1)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B得 b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), =【 ;精品
13、教育资源文库 】 = 又 b=2,a+c=6,cos B= , 所以 ac=9,解得 a=3,c=3. (2)在 ABC 中 ,sin B= = , 由正弦定理得 sin A= = . 因为 a=c,所以 A为锐角 , 所以 cos A= = . 因此 sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B= . 26.(2014湖南 ,18,12 分 )如图 ,在平面四边形 ABCD中 ,AD=1,CD=2,AC= . (1)求 cosCAD 的值 ; (2)若 cosBAD= - ,sinCBA= ,求 BC的长 . 解析 (1)在 ADC 中 ,由余弦定理 ,得 cosCAD= =
14、 = . (2)设 BAC=, 则 =BAD -CAD. 因为 cosCAD= ,cosBAD= - , 所以 sinCAD= = = , sinBAD= = = . 于是 sin =sin(BAD -CAD) =sinBADcosCAD -cosBADsinCAD =【 ;精品教育资源文库 】 = = - = . 在 ABC 中 ,由正弦定理 ,得 = , 故 BC= = =3. 27.(2013北京 ,15,13分 )在 ABC 中 ,a=3,b=2 ,B=2A. (1)求 cos A的值 ; (2)求 c的值 . 解析 (1)因为 a=3,b=2 ,B=2A, 所以在 ABC 中 ,由正
15、弦定理得 = . 所以 = .故 cos A= . (2)由 (1)知 cos A= ,所以 sin A= = . 又因为 B=2A, 所以 cos B=2cos2A-1= . 所以 sin B= = . 在 ABC 中 ,sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B = . 所以 c= =5. 考点二 解三角形及其综合应用 1.(2014课标 ,4,5 分 )钝角三角形 ABC的面积是 ,AB=1,BC= ,则 AC=( ) A.5 B. C.2 D.1 答案 B 2.(2017浙江 ,11,4分 )我国古代数学家刘徽创立的 “ 割圆术 ” 可以估算圆周率 ,
16、理论上能把 的值计算到任意精度 .祖冲之继承并发展了 “ 割圆术 ”, 将 的值精确到小数点后七位 ,其结果领先世界一千多年 .“ 割圆术 ” 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 S6,S6= . =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 3.(2017浙江 ,14,6分 )已知 ABC,AB=AC=4,BC=2. 点 D为 AB延长线上一点 ,BD=2,连接 CD,则 BDC 的面积是 ,cosBDC= . 答案 ; 4.(2017课标全国 文 ,15,5 分 )ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 C=60,b= ,c=3,则A= . 答案 75 5.(2015北京
17、,12,5分 )在 ABC 中 ,a=4,b=5,c=6,则 = . 答案 1 6.(2016浙江 ,16,14分 )在 ABC 中 ,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (1)证明 :A=2B; (2)若 ABC 的面积 S= ,求角 A的大小 . 解析 (1)证明 :由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B, 故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是 sin B=sin(A-B). 又 A,B(0, ),故 0A-B ,所以 ,B= -(A-B)或 B
18、=A-B, 因此 A= (舍去 )或 A=2B, 所以 ,A=2B. (2)由 S= 得 absin C= ,故有 sin Bsin C= sin 2B=sin Bcos B, 因 sin B0, 得 sin C=cos B. 又 B,C(0, ),所以 C= B. 当 B+C= 时 ,A= ; 当 C-B= 时 ,A= . 综上 ,A= 或 A= . 7.(2015浙江 ,16,14分 )在 ABC 中 ,内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c.已知 A= ,b2-a2= c2. (1)求 tan C的值 ; (2)若 ABC 的面积为 3,求 b的值 . 解析 (1)由 b2-a2=
19、c2及正弦定理得 sin2B- = sin2C,所以 -cos 2B=sin2C. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又由 A= ,即 B+C= ,得 -cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得 tan C=2. (2)由 tan C=2,C(0, )得 sin C= ,cos C= . 又因为 sin B=sin(A+C)=sin ,所以 sin B= . 由正弦定理得 c= b, 又因为 A= , bcsin A=3,所以 bc=6 ,故 b=3. 8.(2014浙江 ,18,14分 )在 ABC 中 ,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 ab,c= ,cos2A-cos2B= sin Acos A- sin Bcos B. (1)求角 C的大小 ; (2)若 sin A= ,求 ABC 的面积
