1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（三十七） 椭圆命题 3 角度 求方程、研性质、用关系 一、选择题 1如果 x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ( ) A (0,1) B (0,2) C (1， ) D (0， ) 解析：选 A x2 ky2 2 转化为椭圆的标准方程，得 x22y22k 1， x2 ky2 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆， 2k 2，解得 0 k 1. 实数 k 的取值范围是 (0,1) 2已知 直线 2kx y 1 0 与椭圆 x29y2m 1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围为 ( ) A (1,9 B 1， ) C
2、1,9) (9， ) D (9， ) 解析：选 C 直线 2kx y 1 0 恒过定点 P(0,1), 直线 2kx y 1 0 与椭圆 x29y2m 1 恒有公共点， 即点 P(0,1)在椭圆内或椭圆上， 09 1m1 ，即 m1, 又 m9 ， 1 m 9 或 m 9. 3椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的中心在原点， F1， F2分别为左、右焦点， A， B 分别是椭圆的上顶点和右顶点， P 是椭圆上一点，且 PF1 x 轴， PF2 AB，则此椭圆的离心率为 ( ) A.13 B.12 C. 22 D. 55 解析：选 D 如图所示，把 x c 代入椭圆方程 x2a2y2b2 1(
3、ab0)， 可 得 P? ? c， b2a ， 又 A(0， b)， B(a,0)， F2(c,0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = kAB ba， kPF2 b22ac， PF2 AB， ba b22ac，化简得 b 2c. 4c2 b2 a2 c2，即 a2 5c2， e c2a255 . 4.如图，椭圆与双曲线有公共焦点 F1， F2，它们在第 一象限的交点为 A，且 AF1 AF2 ， AF1F2 30 ，则椭圆与双曲线的离心率之积为 ( ) A 2 B. 3 C.12 D. 32 解析：选 A 设椭圆的长轴长为 2a1，双曲线的实轴长为 2a2，焦距为 2c, 由椭圆与双曲线的定
4、义可知， |AF1| |AF2| 2a1, |AF1| |AF2| 2a2, 在 Rt AF1F2中， AF1F2 30 ， 则 |AF2| 12|F1F2| c， |AF1| 32 |F1F2| 3c, 所以 2a1 ( 3 1)c,2a2 ( 3 1)c， 即 e1 ca1 23 1， e2 ca2 23 1， 所以 e1 e2 23 1 23 1 2, 即椭圆与双曲线的离心率之积为 2. 5已知 P(x0， y0)是椭圆 C： x24 y2 1 上的一点， F1， F2是 C 的左、右焦点，若 PF1 PF2 b0)的左、右焦点，点 P( 1， e)在椭圆上， e 为椭圆的离心率，且点
5、M 为椭圆短半轴的上顶点， MF1F2为等腰直角三角形 (1)求椭圆的方程； (2)过点 F2作不与坐标轴垂直的直线 l，设 l 与圆 x2 y2 a2 b2相交于 A， B 两点，与=【 ;精品教育资源文库 】 = 椭圆相交于 C， D 两点，当 F1A F1B 且 ? ?23， 1 时，求 F1CD 的面积 S 的取值范围 解： (1)由 MF1F2是等腰直角三角形，得 b c， a2 2c2 2b2， 从而得到 e 22 ，故而椭圆经过点 ? ? 1， 22 ， 代入椭圆方程得 12b2 12b2 1，解得 b2 1， a2 2， 故所求椭圆的方程为 x22 y2 1. (2)由 (1)
6、知 F1( 1,0)， F2(1,0)， 由题意，设直线 l 的方程为 x ty 1， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? x ty 1，x2 y2 3 消去 x，得 (t2 1)y2 2ty 2 0， 则 y1 y2 2tt2 1， y1y2 2t2 1， F1A F1B (x1 1， y1)( x2 1， y2) (x1 1)(x2 1) y1y2 (ty1 2)(ty2 2) y1y2 (t2 1)y1y2 2t(y1 y2) 4 2 4t2t2 1 42 2t2t2 1. F1A F1B ? ?23， 1 ， 23 2 2t2t2 1 1 ， 解得 t2 ? ?13， 1
7、2 . 由? x ty 1，x22 y2 1 消去 x， 得 (t2 2)y2 2ty 1 0. 设 C(x3， y3)， D(x4， y4)， 则 y3 y4 2tt2 2， y3y4 1t2 2， S F1CD 12|F1F2| y3 y4| y3 y4 2 4y3y4 ? ? 2tt2 2 2 4t2 2 t2t2 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 设 t2 1 m，则 S 8mm 2 8m 1m 2， 其中 m ? ?43， 32 ， S 关于 m 在 ? ?43， 32 上为减函数， S ? ?4 35 ， 4 67 ， 即 F1CD 的面积的取值范围为 ? ?4 35 ， 4
8、 67 . 11已知 F1， F2分别是长轴长为 2 2的椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、右焦点， A1，A2是椭圆 C 的左、右顶点， P 为椭圆上异于 A1， A2的一个动点， O 为坐标原点，点 M 为线段PA2的中点，且直线 PA2与 OM 的斜率之积恒为 12. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设过点 F1且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A， B 两点，线段 AB 的垂直平分线与x 轴交于点 N，点 N 的横坐标的取值范围是 ? ? 14 ， 0 ，求线段 AB 长的取值范围 解： (1)由题意可知 2a 2 2，则 a 2，设 P(x0， y0)， 直线
9、 PA2与 OM 的斜率之积恒为 12， y02x0 22 y0x0 2 12， x202 y20 1， b 1， 故椭圆 C 的方程为 x22 y2 1. (2)设直线 l 的方程为 y k(x 1)(k0) ， A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点 Q(x0， y0) 联立? y k x ，x22 y2 1 消去 y， 得 (2k2 1)x2 4k2x 2k2 2 0, 则 x1 x2 4k22k2 1， x1x22k2 22k2 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = x0 2k22k2 1， y0 k(x0 1)k2k2 1， AB 的中点 Q? ? 2k22k2
10、1，k2k2 1 ， QN 的直线方程为 y k2k2 1 1k? ?x 2k22k2 1 . 令 y 0，得 x k22k2 1， N? ? k22k2 1， 0 ，由已知得14k22k2 1 0， 0 2k2 1， |AB| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 k2 ? ? 4k22k2 12 4 2k2 22k2 1 1 k2 2 2 1 k22k2 1 2?1 12k2 1 . 12 12k2 1 1， |AB| ? ?3 22 ， 2 2 ， 故线段 AB 长的取值范围为 ? ?3 22 ， 2 2 . 12已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为63 ，焦
11、距为 2 2，过点 D(1,0)且不过点 E(2,1)的直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，直线 AE 与直线 x 3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 AB 垂直于 x 轴，求直线 MB 的斜率； (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由 解： (1)由题意可得 2c 2 2，即 c 2， 又 e ca 63 ，解得 a 3， b a2 c2 1， 所以椭圆的方程为 x23 y2 1. (2)由直线 l 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴，设 A(1， y1)， B(1， y1)， 则直线 AE 的方程为 y 1 (1 y1)(x 2) 令 x
12、3，可得 M(3,2 y1)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以直线 BM 的斜率 kBM 2 y1 y13 1 1. (3)直线 BM 与直线 DE 平行 理由如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由 (2)知 kBM 1. 又因为直线 DE 的斜率 kDE 1 02 1 1，所以 BM DE; 当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y k(x 1)(k1) ， A(x1， y1)， B(x2， y2), 则直 线 AE 的方程为 y 1 y1 1x1 2(x 2) 令 x 3，得 M? ?3， x1 y1 3x1 2， 所以直线 BM 的斜率 kBMx1 y1 3x1 2 y23 x
13、2 . 联立? y k x ，x2 3y2 3 消去 y， 得 (1 3k2)x2 6k2x 3k2 3 0， 则 x1 x2 6k21 3k2， x1x23k2 31 3k2， 因为 kBM 1 k x1 x1 3 k x2 x1 x2 x1 x2 x1 k x1x2 x1 x2 3 x2 x1k ? ?3 3k21 3k212k21 3k2 3 x2 x1 0， 所以 kBM 1 kDE，即 BM DE. 综上所述，直线 BM 与直线 DE 平行 . 已知椭圆 M： x2a2y2b2 1(ab0)的右焦点 F 的坐标为 (1,0)， P，Q 为椭圆上位于 y 轴右侧的两个动点，使 PF Q
14、F， C 为 PQ 中点，线段PQ 的垂直平分线交 x 轴， y 轴于点 A， B(线段 PQ 不垂直 x 轴 )，当 Q运动到椭圆的右顶点时， |PF| 22 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求椭圆 M 的方程； (2)若 S ABO S BCF 3 5，求直线 PQ 的方程 解： (1) 当 Q 运动到椭圆的右顶点时， PF x 轴， |PF| b2a22 ， 又 c 1， a2 b2 c2， a 2， b 1. 椭圆 M 的方程为 x22 y2 1. (2)设直线 PQ 的方程为 y kx b，显然 k0 ， 联立椭圆方程得： (2k2 1)x2 4kbx 2(b2 1) 0
15、， 设点 P(x1， y1)， Q(x2， y2), 则? x1 x2 4kb2k2 10， x1x2 b22k2 1 0， k2 b2 ， 由 PF QF 0，得 (x1 1)(x2 1) y1y2 0， 即 (k2 1)x1x2 (kb 1)(x1 x2) b2 1 0， 代入化简得 3b2 1 4kb 0. 由 y1 y2 k(x1 x2) 2b 2b2k2 1， 得 C? ? 2kb2k2 1， b2k2 1 ， 线段 PQ 的中垂线 AB 的方程为 y b2k2 1 1k? ?x 2kb2k2 1 . 令 y 0， x 0，可得 A? ? kb2k2 1， 0 ， B? ?0， b2k2 1 ， 则 A 为 BC 中点， 故 S BCFS ABO 2S ABFS ABO 2|AF|AO| xAxA 2? ?1xA 1 . 由 式得， k 1 3b24b ，则 xA kb2k2 16b4 2b29b4 2b2 1， S BCFS ABO 2? ?1xA 1 6b4 8b2 26b4 2b2 53，解得 b2 3.
