1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 一元二次不等式及其解法 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 一元二次不等式的解法 1将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数 大于 零的不等式 ax2 bx c0(a0)或 ax2 bx c0) 2计算相应的 判别式 3当 0 时，求出相应的一元二次方程的根 4利用二次函数的图象与 x 轴的 交点 确定一元二次不等式的解集 考点 2 三个二次之间的关系 判别式 b2 4ac 0 0 0)的图象 一 元二次方程 ax2 bx c 0 (a0)的根 有 两相异 实根 x1， x2 (x10 (a0)的解集 x|xx2或 x0)的解集 x|x
2、10(a0) 恒成立的充要条件是： a0 且 b2 4ac0.( ) (2)若不等式 ax2 bx c0 的解集是 ( ， x1) (x2， ) ，则方程 ax2 bx c 0的两个根是 x1和 x2.( ) (3)若方程 ax2 bx c 0(a0) 没有实数根，则不等式 ax2 bx c0的解集为 R.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 a2 答案 A 解析 因为 (x 1)(2 x)0 ，所以 (x 2)(x 1)0 ，所以结合二次函数的性质可得1 x2. 故选 A. 3 2018 辽阳统考 不等式 x 2x 10 的解集
3、是 ( ) A ( ， 1) ( 1,2 B 1,2 C ( ， 1) 2， ) D ( 1,2 答案 D 解析 x 2x 10 ?(x 1)(x 2)0 ，且 x 1，即 x ( 1,2故选 D. 4若不等式 ax2 bx c0 的解集为 ( 4,1)，则不等式 b(x2 1) a(x 3) c0 的解集为 ( ) A.? ? 43， 1 B ( ， 1) ? ?43， C ( 1,4) D ( ， 2) (1， ) 答案 A 解析 由不等式 ax2 bx c0 的解集为 ( 4,1)， 知 a0， 即 3x2 x 40，x2 x 24 ? x2 x 20，x2 x 60 ? ?x 2?x
4、1?0，?x 3?x 2?0 ? x2或 x1； 当 01 时，其解为 1a0，其解为 x1. 综上所述 a 0 时，不等式解集为 x|x1； 01 时，不等式解集为 ? ?x| 1a1 ； 当 a 1 时，不等式解集为 ?. 触类旁通 解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后 将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式 (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 与 0 的关系 (3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式 【变式训练 1】 解不等式： (1)2
5、x 1x 5 1； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)x2 (a2 a)x a30. 解 (1)将原不等式移项通分得 3x 4x 5 0 ， 等价于? ?3x 4?x 5?0 ，x 50 ， 所以原不等式的解集为?x? x 43或 x5 . (2)原不等式化为 (x a)(x a2)0， 当 a2 a0，即 a1 或 aa2或 xa； 当 a2 a 0，即 a 0 或 a 1 时， 原不等式的解为 x a. 综上 得 a1 或 aa2或 xa； 当 a 0 或 a 1 时，不等式解集为 x|x a 考向 一元二次不等式恒成立问题 例 2 2018 正定模拟 已知函数 f(x) mx2 m
6、x 1. (1)若对于 x R， f(x)0， m0 在区间 (1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 2) B ( 2， ) C ( 6， ) D ( ， 6) 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 不等式 x2 4x 2 a0 在区间 (1,4)内有解等价于 a0， 0 ， 即 ? a0，1 8a20 ， 解得 a 24 ，即 a 的取值范围是 ? ?24 ， . 核心规律 1 “ 三个二次 ” 的关系是解一元二次不等式的理论基础，一 般可把 a0 时的情形 2 f(x)0 的解集即为函数 y f(x)的图象在 x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结
7、合思想 3简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解 满分策略 1对于不等式 ax2 bx c0，求解时不要忘记讨论 a 0 时的情形 2当 0(a0) 的解集为 R 还是 ?由 a 确定，要注意区别 3含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 板块三 启智培优 破译高考 数学思想系列 7 转化与化归思想在不等式 中的应用 2018 江苏模拟 已知函数 f(x) x2 ax b(a， b R)的值域为 0， ) ，若关于 x的不等式 f(x)0 对一切 x R 恒成立，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 a14 解析 不等式可变形为
8、 a2x 14x ?12x?14x， 令 ? ?12 x t，则 t0. y ? ?12 x ? ?14 x t t2 ? ?t 12 2 14，因此当 t 12时， y 取最大值 14，故实数 a 的取值范围是 a14. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 =【 ;精品教育资源文库 】 = 1 2018 潍坊模拟 函数 f(x) 1ln ? x2 4x 3?的定义域是 ( ) A ( ， 1) (3， ) B (1,3) C ( ， 2) (2， ) D (1,2) (2,3) 答案 D 解析 由题意知? x2 4x 30， x2 4x 31 ， 即 ? 10 的解集是 ( ， 1
9、) ? ?12， ，则 a 的值为 ( ) A 1 B.12 C 1 D 2 答案 D 解析 由题意可得 a0 且不等式等价于 a(x 1)( x ?1a 0，由解集的特点可得 a0且 1a 12，故 a 2.故选 D. 4 2018 福建模拟 若集合 A x|ax2 ax 10， a2 4a0 ， 得 00， x1. 6不等式 (2x 1)(1 |x|)1 或 x1 或 112 答案 B 解析 原不等式等价于? 2x 10，1 |x|0. ? x12，x1或 x1 或 10)的解集为 (x1， x2)，且 x2x1 15，则 a ( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A
10、解析 由条件知 x1， x2为方程 x2 2ax 8a2 0 的两根，则 x1 x2 2a， x1x2 8a2.故(x2 x1)2 (x1 x2)2 4x1x2 (2a)2 4( 8a2) 36a2 152，得 a 52.故选 A. 8 2018 青岛模拟 不等式 2x2 3|x| 350 的解集为 _ 答案 x|x5 解析 2x2 3|x| 350?2|x|2 3|x| 350?(|x| 5)(2|x| 7)0?|x|5 或 |x|5 或 x0 的解集为 ? ? 13， 12 ，则不等式 cx2 2x a0 的解集为 _ 答案 ( 2,3) 解析 依题意知，? 13 12 2a， 13 12
11、 ca， 解得 a 12， c 2， 不等式 cx2 2x a0，即为 2x2 2x 120，即 x2 x60 且=【 ;精品教育资源文库 】 = g(1)0，即? x2 5x 60，x2 3x 20， 解得 x3. B 级 知能提升 1 2018 保定模拟 若不等式 x2 ax 20 在区间 1,5上有解，则 a 的取值范围是( ) A.? ? 235 ， B.? ? 235 ， 1 C (1， ) D.? ? ， 235 答案 A 解析 由 a2 80，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根 于是不等式在区间 1,5上有解，只需满足 f(5)0，即 a 235
12、. 2 2018 辽宁模拟 若不等式 2kx2 kx 380 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为 ( ) A ( 3,0) B 3,0) C 3,0 D ( 3,0 答案 D 解析 当 k 0 时，显然成立；当 k0 时，即一元二次不等式 2kx2 kx 380 对一切实数 x 都成立， 则? k0，k2 42 k ? ? 38 0， 解得 3k0. 综上，满足不等式 2kx2 kx 380 对一切实数 x 都成立的 k 的取值范围是 ( 3,0 3 2018 西安质检 在 R 上定义运算： ? ?a bc d ad bc.若不等式 ? ?x 1 a 2a 1 x 1对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的最大值为 _ 答案 32 解析 原不等式等价于 x(x 1) (a 2)(a 1)1 ， 即 x2 x 1( a 1)(a 2)对任意 x 恒成立， x2 x 1 ? ?x 12 2 54 54， 所以 54 a2 a 2，解得 12 a 32. 4 2018 池州模拟 已知函数 f(x) ax2 2ax 1的定义域为 R.
