1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 11 讲 导数在研究函数中的应用 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 函数的导数与单调性的关系 函数 y f(x)在某个区间内可导： (1)若 f( x) 0，则 f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)若 f( x) 0，则 f(x)在这个区间内 单调递减 ； (3)若 f( x) 0，则 f(x)在这个区间内是 常数函数 考点 2 函数的极值与导数 1函数的极小值与极小值点 若函数 f(x)在点 x a 处的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其他点的函数值 都小 ，且f( a) 0，而且在 x a 附近的左侧 f( x) 0，右侧 f
2、( x) 0，则点 a 叫做函数的极小值点， f(a)叫做函数的极小值； 2函数的极大值与极大值点 若函数 f(x)在点 x b 处的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值 都大 ，且f( b) 0，而且在 x b 附近的左侧 f( x) 0，右侧 f( x) 0，则点 b 叫做函数的极大值点， f(b)叫做函数的极大值 考点 3 函数的最值与导数 1函数 f(x)在 a， b上有最值的条件 如果在区间 a， b上函数 y f(x)的图象是一条 连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值 2求 y f(x)在 a， b上的最大 (小 )值的步骤 (1)求函数 y f(x)在 (a
3、， b)内的 极值 (2)将函数 y f(x)的各极值与 端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中 最大 的一个是最大值， 最小 的一个是最小值 必会结论 1若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在 a， b内一定有最值 2若函数 f(x)在 a， b内是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f(x)在开区间 (a， b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点 =【 ;精品教育资源文库 】 = 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的 打 “”) (1)函数 y 12x2 ln x 的单调减区间为 ( 1,1) ( ) (2)在函数
4、 y f(x)中，若 f( x0) 0，则 x x0一定是函数 y f(x)的极值 ( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 2 课本改编 函数 y x2(x 3)的单调递减区间是 ( ) A ( ， 0) B (2， ) C (0,2) D ( 2,2) 答案 C 解析 y 3x2 6x，由 y 0，得 0 x 2. 3 课本改编 设函数 f(x) 2x ln x，则 ( ) A x 12为 f(x)的极大值点 B x 12为 f(x)的极小值点 C x 2 为 f(x)的
5、极大值点 D x 2 为 f(x)的极小值点 答案 D 解析 f( x) 2x2 1x x 2x2 ， x0， 当 x2 时， f( x)0， f(x)是增函数；当 0f( 1)故选 D. 5 2017 浙江高考 函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图象如图所示，则函数 y f(x)的图象可能是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 D 解析 观察导函数 f( x)的图象可知， f( x)的函数值从左到右依次为小于 0，大于 0，小于 0，大于 0， 对应函数 f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、增 观察选项可知，排除 A， C. 如图所示， f( x)有 3 个零点，
6、从左到右依次设为 x1， x2， x3，且 x1， x3是极小值点，x2是极大值点，且 x20，故选项 D 正确故选 D. 6 课本改编 函数 f(x) 13x3 x2 3x 1 的图象与 x 轴的交点个数是 _ 答案 3 解析 f( x) x2 2x 3 (x 1)(x 3)，函数在 ( ， 1)和 (3， ) 上是增函数，在 ( 1,3)上是减函数，由 f(x)极小值 f(3) 10 0， f(x)极大值 f( 1) 23 0，知函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数为 3. 板块二 典例探究 考向突破 考向 利用导数研究函数的单调性 例 1 2018 大庆模拟 已知函数 f(x) al
7、n x 12x2 (a 1)x 3. (1)当 a 1 时，求函数 f(x)的单调递减区间； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若函数 f(x)在区间 (0， ) 上是增函数，求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a 1 时， f(x) ln x x22 3，定义域为 (0， ) 则 f( x)1xx. 由? f ?x? 0，x 0， 得 0 x 1.所以函数 f(x)的单调递 减区间为 (0,1) (2)因为函数 f(x)在 (0， ) 上是增函数，所以 f( x) ax x a 10 在 (0， )上恒成立，所以 x2 (a 1)x a0 ，即 (x 1)(x a)0 在 (0， )
8、 上恒成立 因为 x 1 0，所以 x a0 对 x (0， ) 恒成立，所以 a0. 即实数 a 的取值范围是 0， ) 若本例中的函数变为 f(x) ex(ax2 2x 2)(a 0)试讨论 f(x)的单调性 解 由题意得 f( x) exax2 (2a 2)x(a 0)， 令 f( x) 0，解得 x1 0， x2 2 2aa . (1)当 0 a 1 时， f(x)的单调递增区间为 ( ， 0)和 ? ?2 2aa ， ，单调递减区间为 ? ?0， 2 2aa ； (2)当 a 1 时， f(x)在 ( ， ) 内单调递增； (3)当 a 1 时， f(x)的单调递增区间为 ? ? ，
9、 2 2aa 和 (0， ) ，单调递减区间为?2 2aa ， 0 . 若本例中的函数变为 f(x) (a 1)ln x ax2 1， a R，试讨论 f(x)的单调性 解 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) a 1x 2ax 2ax2 a 1x . (1)当 a1 时， f( x) 0，故 f(x)在 (0， ) 上单调递增 (2)当 a0 时， f( x) 0，故 f(x)在 (0， ) 上单调递减 (3)当 0 a 1 时，令 f( x) 0，解得 x 1 a2a ， 则当 x ? ?0， 1 a2a 时， f( x) 0； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 x ? ?1
10、 a2a ， 时， f( x) 0， 故 f(x)在 ? ?0， 1 a2a 上单调递减， 在 ? ?1 a2a ， 上单调递增 触类旁通 讨论函数单调性的方法 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如 f(x) x3， f( x) 3x20( f( x) 0 在 x 0 时取到 )， f(x)在 R 上是增函数 【变式训练 1】 (1)若函数 f(x) x2 ax 1x在 ? ?12， 是增函数，则 a 的取值范围是 _ 答案
11、 3， ) 解析 由条件知 f( x) 2x a 1x20 在 ? ?12， 上恒成立，即 a 1x2 2x 在?12， 上恒成立 函数 y1x2 2x 在 ?12， 上为减函数， ymax1?122 2 12 3， a3. 经检验，当 a 3 时，满足题意 (2)2018 青岛模拟 已知函数 f(x) ln x ax(a R)，讨论函数 f(x)的单调性 解 f(x)的定义域为 (0， ) ， f( x) 1x a(x0)， 当 a0 时， f( x) 1x a0， 即函数 f(x)在 (0， ) 上单调递增 当 a0 时，令 f( x) 1x a 0，可得 x 1a， 当 01a时， f(
12、 x) 1 axx 0， 故函数 f(x)在 ? ?0， 1a 上单调递增，在 ? ?1a， 上单调递减 由 知，当 a0 时， f(x)在 (0， ) 上单调递增； 当 a0 时， f(x)在 ? ?0， 1a 上单调递增，在 ? ?1a， 上单调递减 考向 利用导数研究函数的极值 命题角度 1 知图判断函数极值情况 例 2 2018 江门模拟 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y (1=【 ;精品教育资源文库 】 = x)f( x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值
13、f( 2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f( 2) D函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 由图可得函数 y (1 x)f( x)的零点为 2,1,2，则当 x0，此时在 ( ， 2)上 f( x)0，在 ( 2,1)上 f( x)1 时， 1 x0.所以 f(x)在 ( ， 2)为增函数，在 ( 2,2)为减函数，在 (2， ) 为增函数，因此 f(x)有极大值 f( 2)，极小值 f(2)故选 D. 命题角度 2 已知函数求极值 例 3 已知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x) (ex 1)(x 1)k(k 1,2)，则
14、 ( ) A当 k 1 时， f(x)在 x 1 处取到极小值 B当 k 1 时， f(x)在 x 1 处取到极大值 C当 k 2 时， f(x)在 x 1 处取到极小值 D当 k 2 时， f(x)在 x 1 处取到极大值 答案 C 解析 当 k 1 时， f( x) ex(x 1) ex 1，此时 f(1)0 ，故排除 A、 B 项；当 k 2 时， f( x) ex(x 1)2 (ex 1)(2x 2)，此时 f(1) 0，在 x 1 附近左侧， f( x)0，所以 x 1 是 f(x)的极小值点 命题角度 3 已知函数的极值求参数范围 例 4 (1)函数 f(x) x3 ax2 bx
15、a2在 x 1 处有极值 10，则 a， b 的值为 ( ) A a 3， b 3，或 a 4， b 11 B a 4， b 1，或 a 4， b 11 C a 1， b 5 D以上都不正确 答案 D 解析 f( x) 3x2 2ax b，依 题意，有? f ?1? 0，f?1? 10， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即? 3 2a b 0，1 a b a2 10， 解得 ? a 4，b 11， 或 ? a 3，b 3. 当 a 3 且 b 3 时， f( x) 3x2 6x 30 ，函数 f(x)无极值点，故符合题意的只有? a 4，b 11. 故选 D. (2)函数 f(x) x(x m)2在 x 1 处取得极小值，则 m _. 答案 1 解析 f(1) 0 可得 m 1 或 m 3. 当 m 3 时，
