1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 数系的扩充与复数的引入 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 复数的有关概念 1复数的概念 形如 a bi(a， b R)的数叫做复数，其中 a， b 分别是它的 实部 和 虚部 若 b 0，则 a bi 为实数，若 b0 ，则 a bi 为虚数，若 a 0， b0 ，则 a bi 为纯虚数 2复数相等 a bi c di?a c 且 b d(a， b， c， d R) 3共轭复数 a bi 与 c di 共轭 ?a c 且 b d(a， b， c， d R) 4复数的模 向量 OZ 的模 r 叫做 复数 z a bi 的模，记作 |z|
2、或 |a bi|，即 |z| |a bi| ra2 b2(r0 ， r R) 考点 2 复数的几何意义 考点 3 复数的运算 设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， d R)，则 1加法： z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i； 2减法： z1 z2 (a bi) (c di) (a c) (b d)i； 3乘法： z1 z2 (a bi)( c di) (ac bd) (ad bc)i； 4除法： z1z2 a bic di ?a bi?c di?c di?c di? ac bdc2 d2 bc adc2 d2 i(c di0) 必会结论 1 (1
3、i) 2 2i ； 1 i1 i i； 1 i1 i i. 2 b ai i(a bi) 3 i4n 1， i4n 1 i， i4n 2 1， i4n 3 i(n N*) =【 ;精品教育资源文库 】 = 4 i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0(n N*) 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)方程 x2 1 0 没有解 ( ) (2)复数 z a bi(a， b R)中，虚部为 bi.( ) (3)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离，也等于复数对应的向量的模 ( ) (4)已知复数 z 的共轭复数 z 1 2i，则 z 在复平面内
4、对应的点位于第三象限 ( ) (5)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 2017 全国卷 复平面内表示复数 z i( 2 i)的点位于 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案 C 解析 z i( 2 i) 1 2i， 复数 z 1 2i所对应的复平面内的点为 Z( 1， 2)，位于第三象限 故选 C. 3 2017 全国卷 3 i1 i ( ) A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 答案 D 解析 3 i1 i ?3 i?1 i?1 i?1 i? 3 3i i 12 2 i. 故选 D. 4
5、 2018 榆林模拟 设复数 z 2 i(i 是虚数单位 )， z 的共轭复数为 z ，则 |(1z) z |等于 ( ) A. 5 B 2 5 C 5 2 D. 10 答案 D 解析 z 2 i， z 2 i， |(1 z) z | |(1 2 i)( 2 i)| |3 i| 1 9 10，故选 D. 5 2017 江苏高考 已知复数 z (1 i)(1 2i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是_ 答案 10 解析 解法一： z (1 i)(1 2i) 1 2i i 2 1 3i， |z| ? 1?2 32 10. 解法二： |z| |1 i|1 2i| 2 5 10. =【 ;精品教育
6、资源文库 】 = 6 2018 湖北高中联考 已知复数 z 1 i(i 是虚数单位 )，则 2z z2 的共轭复数是_ 答案 1 3i 解析 2z z2 21 i (1 i)2 2?1 i?1 i?1 i? 2i 1 i 2i 1 3i，其共轭复数是 1 3i. 板块二 典例探究 考向突破 考向 复数的有关概念 例 1 (1)2017 全国卷 下列各式的运算结果为纯虚 数的是 ( ) A i(1 i)2 B i2(1 i) C (1 i)2 D i(1 i) 答案 C 解析 A 项， i(1 i)2 i(1 2i i2) i2i 2，不是纯虚数 B 项， i2(1 i)(1 i) 1 i，不是
7、纯虚数 C 项， (1 i)2 1 2i i2 2i，是纯虚数 D 项， i(1 i) i i2 1 i，不是纯虚数故选 C. (2)2017 天津高考 已知 a R， i 为虚数单位，若 a i2 i为实数，则 a 的值为 _ 答案 2 解析 a R， a i2 i ?a i?2 i?2 i?2 i? 2a 1 ?a 2?i5 2a 15 a 25 i 为实数， a 25 0， a 2. 触类旁通 求解与复数概念相关问题的技巧 复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a bi(a， b R)的
8、形式，再根据题意列方程 (组 )求解 【变式训练 1】 (1)若复数 z a2 1 (a 1)i(a R)是纯虚数，则 1z a的虚部为 ( ) A 25 B 25i C.25 D.25i 答案 A 解析 由题意得? a2 1 0，a 10 ， 所以 a 1，所以1z a11 2i1 2i?1 2i?1 2i?1525i，根据虚部的概念，可得 1z a的虚部为 25.故选 A. (2)2018 福州调研 已知 m R， i 为虚数单位，若 1 2im i0，则 m ( ) A 1 B.12 C.13 D 2 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 由已知得 1 2im i ?1 2i
9、?m i?m i?m i? m 2 ?1 2m?im2 1 ，由1 2im i0，可得 1 2m 0，则 m12，选 B. 考向 复数的几何意义 例 2 (1)2017 北京高考 若复数 (1 i)(a i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 1) B ( ， 1) C (1， ) D ( 1， ) 答案 B 解析 (1 i)(a i) a i ai i2 a 1 (1 a)i， 又 复数 (1 i)(a i)在复平面内对应的点在第二象限， ? a 1 0，1 a 0， 解得 a1.故选 B. (2)2018 贵阳模拟 已知 i 为虚数单位， a 为实数
10、，复数 z a 3i1 i 在复平面上对应的点在 y 轴上，则 a _. 答案 3 解析 z a 3i1 i ?a 3i?1 i?2 a 3 ?a 3?i2 ，由 a 3 0，得 a 3. 触类旁通 复数几何意义的理解及应用 复数集与复平面内所有的点构成的集合之间存在着一一对应关系，每一个复数都对应 着一个点 (有序实数对 )复数的实部对应着点的横坐标，而虚部则对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值 【变式训练 2】 (1)2018 邯郸模考 已知 i 是虚数单位，若复数 z 2 ai2 i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数
11、a 的值可以是 ( ) A 2 B 1 C 2 D 3 答案 A 解析 z 2 ai2 i ?2 ai?2 i?2 i?2 i? 4 a ?2a 2?i5 ，因为复数 z 2 ai2 i 在复平面内对应的点在第四象限，所以? 4 a0，2a 21 B a0，1 a1.故选 A. 核心规律 1实轴上的点都表示实数除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 2设 z a bi(a， b R)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法 3在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法法则需分母实数化 满 分策略 1判定复数是不是实数，仅注意虚部等于 0 是不够的，
12、还需考虑它的实部是否有意义 2注意复数和虚数是包含关系，不能把复数等同为虚数，如虚数不能比较大小，但说两个复数不能比较大小就不对了 3注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来例如，若 z1，z2 C， z21 z22 0，就不能推出 z1 z2 0； z20， 4m0. 解得 m 2，即 m ( ， 2) 5若虚数 z同时满足下列两个条件： z 5z是实数； z 3的实部与虚部互为相反数这样的虚数是否存在？若存在，求出 z；若不存在，请说明理由 解 存在设 z a bi(a， b R， b0) ， 则 z 5z a bi 5a bi a? ?1 5a2 b2 b? ?1 5a2 b2 i. 又 z 3 a 3 bi 实部与虚部互为相反数， z 5z是实数，根据题意有? b?1 5a2 b2 0，a 3 b，
