1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 24 讲 平面向量基本定理及坐标表示 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解平面向量的基本定理及其意义 2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 4理解用坐标表示的平面向量共线的条件 . 2017 全国卷 ， 13 2017 全国卷 ， 13 2017 江苏卷，12 2016 四川卷， 9 对平面向量基本定理及坐标表示的考查主要是加、减、数乘及向量共线定理的坐标表示及应用 . 分值： 5 分 1两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 _非零 _向量 a 和 b，作 OA a， OB b，则 AOB 叫做向量 a 与
2、b 的夹角 (2)范围 向量夹角 的范围是 _0 ， 180 _， a 与 b 同向时，夹角 _0 _； a 与 b 反向时，夹角 _180 _. (3)向量垂直 若向量 a 与 b 的夹角是 _90 _，则 a 与 b 垂直，记作 _a b_. 2平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个 _不共线 _向量，那么对于这一平面内的任意向 量 a，_有且只有 _一对实数 1， 2，使 a _ 1e1 2e2_.其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 _基底 _. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 _互相垂直 _
3、的向量，叫做把向量正交分解 (3)平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i， j 作为基底，=【 ;精品教育资源文库 】 = 对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x， y，使得 a xi yj，把有序数对 _(x， y)_叫做向量 a 的坐标，记作 a _(x， y)_，其中 _x_叫做 a 在 x 轴上的坐标， _y_叫做 a在 y 轴上的坐标； 设 OA xi yj，则向量 OA 的坐标 (x， y)就是 _终点 A 的坐标 _，即若 OA (x， y)，则点 A 坐标为 _(x， y)_，反之亦成立 (O 为坐标原点 ) 3平面
4、向量的坐标运算 向量的加法、减法 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b _(x1 x2， y1 y2)_，a b _(x1 x2， y1 y2)_ 向量的数乘 设 a (x， y)， R，则 a _(x ， y )_ 向量坐标的求法 设 O(0,0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 OA _(x1， y1)_， AB _(x2 x1， y2 y1)_ 4向量共线的坐标表示 若 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b?_x1y2 x2y1_ 0，特别地，若 x2， y20 ，则a b?x1x2 y1y2. 5三点共线定理 若 OA ， O
5、B 是平面内不共线的向量，则存在实数 1， 2使得 OC 1OA 2OB ，则当 1 2 1 时， A， B， C 三点共线，特别地，当 1 2 12时， C 是 A 与 B 的中点 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “”) (1)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变 ( ) (2)平面内任意两个不共线 的向量均可作为一组基底 ( ) (3)向量 AB 与 BC 的夹角为 ABC ( ) (4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的 ( ) 解析 (1)正确由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移，其坐标均为终点坐标减去起点坐标，故平移后坐标不变 (2)正确由基底的定义可知，只要两向量
6、不共线均可作为一组基底 (3)错误两向量的夹角，关键要看起点与方向， AB 与 BC 的夹角应为 ABC 的补角 (4)正确由平面向量基本定理可知存在唯一实数对 ， ，使 a e1 e2，故其表现形式唯一 2若向量 AB (1,2)， BC (3,4)，则 AC ( A ) A (4,6) B ( 4， 6) =【 ;精品教育资源文库 】 = C ( 2， 2) D (2,2) 解析 AC AB BC ， AC (1,2) (3,4) (4,6) 3已知两点 A(4,1)， B(7， 3)，则与 AB 同向的单位向量是 ( A ) A ? ?35， 45 B ? ? 35， 45 C ? ?
7、45， 35 D ? ?45， 35 解析 A(4,1)， B(7， 3)， AB (3， 4)， 与 AB 同向的单位向量为 AB|AB | ? ?35， 45 . 4 (2017 山东卷 )已知向量 a (2,6)， b ( 1， )若 a b，则 _ 3_. 解析 a b， 16 2 ， 3. 5梯形 ABCD 中， AB CD， AB 2CD，点 M， N 分别是 CD， AB 的中点，设 AB a， AD b.若 MN ma nb，则 nm _ 4_. 解析 MN MD DA AN 14a b 12a 14a b， m 14， n 1， nm 4. 一 平面向量基本定理的应用 (1)
8、应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算 (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式 ，再通过向量的运算来解决 【例 1】 (1)在平行四边形 ABCD 中，点 E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点若 AC AE AF ，其中 ， R，则 _43_. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)如图所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过点 O 的直线分别交直线 AB， AC 于不同的两点 M， N，若 AB mAM ， AC nAN ，则 mn 的最大值为 _1_. 解
9、析 (1)选择 AB ， AD 作为平面向量的一组基底，则 AC AB AD ， AE 12AB AD ， AF AB 12AD ， 又 AC AE AF ? ?12 AB ? ? 12 AD ， 于是得? 12 1， 12 1，即? 23， 23，故 43. (2) 点 O 是 BC 的中点， AO 12(AB AC )又 AB mAM ， AC nAN ， AO m2AM n2AN .又 M， O， N 三点共线， m2 n2 1，即 m n 2， mn ? ?m2 n2 2 1， 当且仅当 m n 1 时取等号，故 mn 的最大值为 1. 二 平面向量的坐标运算 向量的坐标运算主要是利用
10、加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 【例 2】 (2017 江苏卷 )如图，在同一个平面内，向量 OA ， OB ， OC 的模分别为 1,1，2， OA 与 OC 的夹角为 ，且 tan 7， OB 与 OC 的夹角为 45. 若 OC m OA n OB(m， n R)，则 m n _3_. 解析 以 O 为坐标原点， OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，由 tan =【 ;精品教育资源文库 】 = 7， ? ?0， 2 ，得 sin 75 2， cos 15 2，设 C(xC，
11、 yC)， B(xB， yB)，则 xC |OC |cos 2 15 2 15， yC |OC |sin 2 75 2 75，即 C? ?15， 75 .又 cos( 45) 15 2 12 75 2 12 35， sin( 45) 75 2 12 15 2 12 45， 则 xB |OB |cos( 45) 35， yB |OB |sin( 45) 45，即 B? ? 35， 45 ，由 OC mOA nOB ，可得? 15 m 35n，7545n，解得? m 54，n 74，所以 m n 54 74 3. 三 平面向量共线的坐标表示 (1)利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数
12、的取值时，则利用 “ 若a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y1” 解题比较方便 (2)利用两向量共线的条件求向量坐标 一般地，在求与一 个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a( R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量 【例 3】 (1)已知点 A(0,1)， B(3,2)， C(2， k)，且 A， B， C 三点共线，则向量 AC ( A ) A ? ?2， 23 B ? ?2， 53 C ? ?23， 2 D ? ?53， 2 (2)已知向量 m (1,7)与向量 n (k， k 18)
13、平行，则 k 的值为 ( B ) A 6 B 3 C 4 D 6 解析 (1)AB (3,1)， AC (2， k 1)，因为 A， B， C 三点共线，所以可设 AB A C ，即 (3,1) (2， k 1)，所以 2 3，即 32，所以 AC 1 AB ? ?2， 23 . (2)因为 m n，所以 7k k 18，解得 k 3.故选 B 1 (2018 全国名校大联考 )设平面向量 a (1,2)， b (2， y)，若 a b，则 |2a b|=【 ;精品教育资源文库 】 = ( B ) A 3 5 B 4 5 C 4 D 5 解析 由题意得 1 y 22 0，解得 y 4，则 2a
14、 b (4,8)，所以 |2a b| 42 82 4 5.故选 B 2已知向量 a (3， 2)， b (x， y 1)，且 a b，若 x， y 均为正数，则 3x 2y的最小值是 ( B ) A 24 B 8 C 83 D 53 解析 a b， 2x 3(y 1) 0，即 2x 3y 3， 3x 2y ? ?3x 2y 13(2x 3y) 13? ?6 9yx 4xy 6 13? ?12 2 9yx 4xy 8，当且仅当 2x 3y 32时，等号成立 3x 2y的最小值是 8.故选 B 3如图，在直角梯形 ABCD 中， AB 2AD 2DC， E 为 BC 边上一点， BC 3EC ， F 为 AE的中点，则 BF ( C ) A 23AB 13AD B 13AB 23AD C 23AB 13AD D 13AB 23AD 解析 BF BA AF BA 12AE AB 12? ?AD 12AB CE AB
