1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 不等式能成立（有解）问题的处理方法 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 ? ? Axf ? 成立，则等价于在区间 D 上 ? ?maxf x A? ；若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 ? ? Bxf ? 成立，则等价于在区间 D 上的 ? ?minf x B? 。若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 )(xfa? 有解，则等价于在区间 D 上 )(xfa? 的最小值；若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 )(xfa? 无解，则等价于在区间 D 上 )(xfa? 的最小值。 例 12、已知不等式 axx ? 34 在实数集 R 上的解集不是空集，求
2、实数 a 的取值范围1a? 。 例 13、 若关于 x 的不等式 32 ? aaxx 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是 。 解： 设 ? ? aaxxxf ? 2 。 则关于 x 的不等式 32 ? aaxx 的解集不是空集 ? ? 3? xf在 ? ? , 上 能成立 ? ? 3min ? xf ， 即 ? ? ,3442m in ? aaxf 解得 6a? 或 2a? 。 例 14、 已知函数 ? ? 21ln 22f x x ax x? ? ?（ 0?a ） 存在单调递减区间，求实数 a 的取值范围 。 解 ： xaxxxhb 221ln)(,2 2 ? 时 ，则 .1221)(
3、2 x xaxaxxxh ?因为函数 ?hx存在单调递减区间，所以 ( ) 0hx? ? 有解 。 由题设可知 ， ?xh 的定义域是 ? ?,0 ，而 ? ? 0?xh 在 ? ?,0 上 有解 ， 就 等价于 ? ? 0?xh 在区间 ? ?,0 能成立 ， 即 xxa 212 ? ， ? ? ,0x 成立 ， 进而等价于 ? ?xua min? 成立 ， 其中 ? ? xxxu 212 ? ； 由 ? ? xxxu 212 ? 111 2 ? ? x得 ， ? ? 1min ?xu 。 于是 ， 1?a ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题设 0?a ， 所以 a 的取值范围是 ?
4、 ? ? ? ,00,1 ? 。 不等式恰成立问题的处理方法 例 15、不等式 012 ?bxax 的解集为1|1 3xx? ? ?，则 ab? 6 。 例 16、 已知 ? ? ,22 x axxxf ?当 ? ? ? ?xfx ,1? 的值域是 ? ?,0 ， 试求实数 a 的值 。 解：本题 是一个恰成立问题 ， 这相当于 ? ? 022 ? x axxxf的解集是 ? ? ,1x ； 当 0?a 时 ， 由于 1?x 时 ， ? ? 3222 ? xaxx axxxf， 与其值域是 ? ?,0 矛盾 ， 当 0?a 时 ， ? ? 222 ? xaxx axxxf是 ? ?,1 上的增
5、函数 ， 所以 ， ?xf 的最小值为 ?1f ， 令 ? 01?f ， 即 .3,021 ? aa 四、应用举例 1、若不等式 2( 1) ( 1) 3 ( 1) 0m x m x m? ? ? ? ? ?对任意实数 x 恒成立，求实数 m 取值范围。)1113,( ? 2、已知不等式22 6 22kx kxxx? 对任意的 xR? 恒成立，求实数 k 的取值范围。 )10,2 4、不等式 )4( xxax ? 在 3,0?x 内恒成立，求实数 a 的取值范围。 33?a5、（ 1）对一切实数 x ，不等式 32x x a? ? ? ?恒成立，求实数 a 的范围。 5?a （ 2）若不等式
6、32x x a? ? ? ?有解，求实数 a 的范围。 5?a （ 3）若方程 32x x a? ? ? ?有解，求实数 a 的范围。 5,5?a 6、（ 1）若 yx, 满足方程 22( 1) 1xy? ? ? ，不等式 0x y c? ? ? 恒成立，求实数 c 的范围。12?c =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 2）若 yx, 满足方程 22( 1) 1xy? ? ? ， 0x y c? ? ? ，求实数 c 的范围。21,21 ?c 7、已知 ? ?2 122 (1 ) 0 1 1x x xmm? ? ? ? ? ?， ，恒成立，则 m 的取值范围是 。 解：设 2 12( ) 2
7、 (1 )g x x xmm? ? ? ?，其函数图象的开口向上，? 22( 1 ) 0 1 2 0(1 ) 0 10g mmg? ? ? ? ? ? ?4 3 4310 mm? ? ? ? ?， 又 0m? ， ? 4 03 m? ? ? ，即 m 的取值范围是 4 03 m? ? ? 。 8、当 (1 2)x? ， 时，不等式 2 40x mx? ? ? 恒成立，则 m 的取值范围是 。 ? ? ? ?2 4(1 2 ) 4 044(1 2 ) 4 5 5 4 5x x m x m x xx x x mxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
8、? ? ? ? ?解 析 ： ， 调 整 为， ， ， ， 9、已知不等式 ? ? 1 axyxy?9?对任意正实数 yx, 恒成立，则正实数 a 的最小值为 。 ? ? ? ? ?22m in 91 1 1 2 11 9 2 4a y a xx y a a a ax y x ya a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解 析 ： 右 边 是 常 数 ， 左 边 的 即 可 ，10、不等式xxm 22 ? 对一切非零实数 x 总成立，则 m 的取值范围是 ( ,2 2? 。 11、已知 21,xx 是方程 022 ?axx 的两个实根，不等式 1,1,35 2
9、12 ? axxmm 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。),65,01,( ? 12、若不等式 1)32(log 2 ? xxa 在 Rx? 上恒成立，则实数 a 的取值范围是 。)1,21 =【 ;精品教育资源文库 】 = 13、已知 10 ? aa ，函数 xaxxf ? 2)( 当 )1,1(?x 时，恒有 21)( ?xf 成立，则实数 a的取值范围是 。 2,1()1,21 ? 14、若不等式 2 log 0mxx?在10,2?内恒成立，则实数 m 的取值范围是 。)1,161 15、若不等式 0log2 ? xax ，当 )21,0(?x 时恒成立，则实数 a 的取值范围是 。)
10、1,21 22 16、若方程 2)22(log 22 ? xax 在区间 2,21 内有解，则实数 a 的取值范围是 。 17、（ 1）已知 ab ? 10 ，若关于 x 的不等式 22 )()( axbx ? 的解集中的整数恰有 3 个，则（ C ） A、 01 ? a B、 10 ?a C、 31 ?a D、 63 ?a （ 2）已知不等式组 的解集中只含有一个整数解 2，则实数 k 的取值范围是 。 )2,3? （ 3）若关于 x 的不等式 ? ?2 221x ax?的解集中的整数恰有 3 个，则实数 a 的取值范围=【 ;精品教育资源文库 】 = 是 。 解：已知不等式化为 ? ? 2
11、4 4 1 0a x x? ? ? ?，因为解集中的整数恰有 3 个，则 4 0, 4 0aa? ? ? ? ?，即 04a? 。 不等式的解满足 2244aax?，即 1122xaa?， 显然， 1012 a?，为使解集中的整数恰有 3 个，则必须且只须满足 1342 a?。 即 6 3 1,8 4 1.aa? ?，解得 25 499 16a? ， 所以实数 a 的 取值范围是 25 49,9 16? ?。 18、 *Nn? ，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是 。)23,2? 19、 设 ()fx是定义在 R 上的奇函数，且当 0?x 时， 2()f x x? ，若对任意的 ? ?2
12、x t t?， ，不等式 )(2)( xftxf ? 恒成立，则实数 t 的取值范围是（ C ） A、 ? ?2?， B、 2 1 0, 2? ? ? ? ? ? ?， C、 ?2? ? ， D、 ? ?02， 20、设函数 xxxf 1)( ? 对任意 ),1 ?x 0)()( ? xmfmxf 恒成立，则实数 m 的取值范围是 )1,( ? 。 21、设函数 2( ) 1f x x?，对任意 3 , )2x? ? ， 24 ( ) ( 1 ) 4 ( )xf m f x f x f mm? ? ? ? ?恒成立，则实数 m 的取值范围是 ),2323,( ? 。 解：依据题意得 2 2 2 2 22 1 4 ( 1 ) ( 1 ) 1 4 ( 1 )x m x x mm ? ? ? ? ? ? ? ? 在 3 , )2x? ? 上恒定成立，即 2221 3 241mm x x? ? ? ? ?在 3 , )2x? ? 上恒成立； =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 32x? 时，函数232 1y xx? ? ? ?取得最小值 53? ， 所以 22154 3mm ? ? ?，即 22(3 1)(4 3) 0mm? ? ?，解得 32m? 或 32m?。
