1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 函数综合 测试 题 01 1、设函数 xxfxf xx 22)(,2)( |1|1| ? ? 求使成立的 x 取值范围。 解：由于 2xy? 是增函数， ( ) 2 2fx? 等价于 3| 1 | | 1 | 2xx? ? ? ?. （ 1）当 1x? 时， | 1| | 1| 2xx? ? ? ?，式恒成立； （ 2）当 11x? ? ? 时， | 1 | | 1 | 2x x x? ? ? ?，式化为 32 2x? ，即 3 14 x?； （ 3）当 1x? 时， | 1 | | 1 | 2xx? ? ? ? ?，式无解； 综上， x 的取值范围是 3,4
2、?。 2、设关于 x 的方程 022 2 ?axx 的两根为 )(, ? ? ，函数 14)(2 ? x axxf。 （ 1）求 )()( ? ff ? 的值； （ 2）证明 )(xf 是 ? ?, 上的增函数； （ 3）试确定 ? 为何值时， )(xf 在区间 ? ?, 上的最大值与最小值之差最小。 解：（ 1） .4)()(,168)(,168)( 22 ? ? ffaafaaf（ 2）定义法；略 （ 3）函数 )(xf 在 ? ?, 上最大值 0)( ?f ，最小值 4)()(,0)( ? ? fff ? ， 当且仅当 2)()( ? ? ff 时， )()()()( ? ffff ?
3、取最小值 4，此时 .2)(,0 ? ?fa =【 ;精品教育资源文库 】 = 3、讨论函数2( ) ( 0)1 axf x ax?在区间 ( 1,1)? 上的单调性。 解：设 121 2 1 2 221 1 , ( ) ( ) 11a x a xx x f x f x xx? ? ? ? ? ? ?则= 1 2 1 22212( )(1 )(1 )(1 )a x x x xxx?， 1 2 1 2, ( 1,1 ), ,x x x x? ? ?且 2 21 2 1 2 1 20 ,1 0 , (1 ) (1 ) 0 ,x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? 于是当 120 ,
4、( ) ( );a f x f x?时 当 120 , ( ) ( );a f x f x?时 故当 0a? 时 ，函数在 )1,1(? 上是增函数； 当 0a? 时 ，函数在 ( 1,1)? 为减函数。 4、已知函数 1,0)(lo g)( ? aaxaxxf a 为常数）。 （ 1）求函数 )(xf 的定义域； （ 2）若 2?a ，试根据单调性定义确定函数 )(xf 的单调性； （ 3）若函数 )(xfy? 是增函数，求 a 的取值范围。 解：（ 1）由 axxxax ? 得0 0,0 ? xa222 10 axxaxx ? ? )(xf 的定义域是 ),1(2 ? ax。 （ 2）若
5、2?a ，则 )2(log)( 2 xxxf ? 设 4121 ?xx，则 01)(2)()()(2)2()2( 212121212211 ? xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf ? 故 )(xf 为增函数。 （ 3）设 1121221 ? xaxaaxx 则 01)()()()()()( 212121212211 ? xxaxxxxxxaxaxxax 2211 xaxxax ? =【 ;精品教育资源文库 】 = )(xf 是增函数， )(lo g)(lo g 2211 xaxxax aa ? 联立、知 1?a ， ),1( ?a 。 5、 已知函数 2( ) 1 ( 0 )f
6、 x a x b x x? ? ? ?， 且函数 ( ) ( )f x g x与 的图象关于直线 yx? 对称 ，又 ( 3 ) 2 3 , (1) 0fg? ? ?。 （ 1）求 ()fx的值域； （ 2）是否存 在实数 m ， 使命题 2: ( ) (3 4 )p f m m f m? ? ?和 13: ( )44qg ? ? 满足复合命题 pq且 为真命题 ？ 若存在 ， 求出 m 的范围 ； 若不存在 ， 说明理由 。 解： （ 1）由 ( 3 ) 2 3 , ( 0 ) 1 , 1 , 1f f a b? ? ? ? ? ?得， 于是 2( ) 1 ( 0 )f x x x x? ?
7、 ? ?， 由21() 1fx xx? ?， 此函数在 ? ?0,? 是单调减函数 ， 从而 ()fx的值域为 (0,1 ； （ 2）假定存在的实数 m 满足题设，即 2: ( ) (3 4 )p f m m f m? ? ?和 13()44mg ? ? 都成立 又 23 3 3 1( ) 1 ( )4 4 4 2f ? ? ? ? ?， 13()24g ? ， 11( ) ( )42mgg? ?， 由 ()fx的值域为 (0,1 ，则 ()gx的定义域为 (0,1 ， 已证 ()fx在 0, )? 上是减函数，则 ()gx在 (0,1 也是减函数，由减函数的定义得2 3 4 0110142m
8、 m mm? ? ? ? ? ? ? ?解得， 4 33 m?且 m 2 ， 因此存在 实数 m 使得命题： p 且 q 为真命题，且 m 的取值范围为 4 ,2) (2,3)3 。 6、已知函数 4( ) lo g (4 1)xf x kx? ? ?()kR? 是偶函数。 （ 1）求 k 的值； （ 2）设4 4( ) log ( 2 ) 3xg x a a? ? ?，若函数 ()fx与 ()gx的图象有且只有一个公共点，求 实数 a=【 ;精品教育资源文库 】 = 的取值范围。 解：（ 1）由函数 ()fx是偶函数可知： ( ) ( )f x f x?， 44lo g ( 4 1 ) lo
9、 g ( 4 1 )xxk x k x? ? ? ? ? ? 4 41log 2xx kx? ? ?即 2x kx? 对一切 xR? 恒成立， 12k? ?； （ 2）函数 ()fx与 ()gx的图象有且只有一个公共点，即方程4414lo g ( 4 1 ) lo g ( 2 )23xxx a a? ? ? ? ? 有且只有一个实根，化简得：方程 142223xxx aa? ? ? ?有且只有一个实根； 令 20xt?，则方程 2 4( 1) 1 03a t at? ? ? ?有且只有一个正根， 31 4at? ? ? ，不合题意； 30 4a? ? ? 或 3? ， 若 3142at? ?
10、? ，不合题意；若 13 2at? ? ?；一个正根与一 个负根，即 1 011 aa? ? ? ? ；综上：实数 a 的取值范围是 ? ?3 (1, )? ? ? 。 7、已知函数 ? ?2( ) log 2 1xfx ?。 （ 1）求证：函数 ()fx在 ( , )? ? 内单调递增； （ 2）若 ? ?2( ) log 2 1 ( 0)xg x x? ? ?，且关于 x 的方程 ( ) ( )g x m f x? 在 1, 2 上有解，求 m的取值范围。 解：（ 1）证明：任取 12xx? ，则 ? ? ? ? 11221 2 2 2 221( ) ( ) l o g 2 1 l o g
11、 2 1 l o g 21xxx xf x f x ? ? ? ? ? ? ?， 1212 , 0 2 1 2 1xxxx? ? ? ? ? ?， 112221 2 10 1 , lo g 02 1 2 1xx? ? ? ? ?， 12( ) ( )f x f x?，即函 数 ()fx在 ( , )? ? 内单调递增。 （ 2）解法 1：由 ( ) ( )g x m f x? 得 ( ) ( )m g x f x? ? ? ? ?22lo g 2 1 lo g 2 1xx? ? ? 222 1 2lo g lo g 12 1 2 1xxx? ? ? ?， 当 12x?时， 2 2 2 1 2
12、3,15 2 1 3 3 2 1 5xx? ? ? ? ? ?， =【 ;精品教育资源文库 】 = m? 的取值范围是 2213log , log35? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 解法 2：解方程 ? ? ? ?22lo g 2 1 lo g 2 1xxm? ? ? ?，得2 21lo 12mmx? ?， 2 211 2 , 1 lo g 212mmx? ? ? ? ?，解得 2213o g lo g35m? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， m? 的取值范围是2213log , log35? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 8、已知函数 1( ) log 1a mxfx
13、 x? ?( 0, 1)aa?是奇函数。 （ 1）求实数 m 的值； （ 2）判断函数 ()fx在 (1, )? 上的单调性，并给出证明； （ 3）当 ( , 2)x n a?时，函数 ()fx的值域是 (1, )? ，求实数 a 与 n 的值； （ 4）设函数 ? ? ? ? ? ?2 8 1 5fxg x a x x a? ? ? ? ?，当 8a? 时，存在最大实数 t ，使得? ?1,xt? 时，不等式 ? ?55gx? ? ? 恒成立，试确定 t 与 a 之间的关系。 解：（ 1） 1m? 。 （ 2）由（ 1）及题设知： 1( ) log 1a xfx x ? ?，设 1 1 2
14、211 1 1xxt x x x? ? ? ? ? ? ? ?， 当 121xx?时， 2112 1 2 1 22 ( )221 1 ( 1 ) ( 1 )xxtt x x x x? ? ? ? ? ? ?， 12tt? 当 1a? 时， 12log logaatt? ，即 12( ) ( )f x f x? ； 当 1a? 时， ()fx在 (1, )? 上是减函数；同理当 01a?时， ()fx在 (1, )? 上是增函数； （ 3）由题设知：函数 ()fx的定义域为 ),1()1,( ? ， 当 21na? ? ? 时，有 01a?，由（ 1）及（ 2）题设知： ()fx在为增函数，由其
15、值域=【 ;精品教育资源文库 】 = 为 (1, )? 知 1log 1121anna? ? ?，无解； 当 12na? ? ? 时，有 3a? ，由（ 1、 2）题设知： ()fx在 ( , 2)na? 为减函数，由其值域为 (1, )? 知， 1 1log 13anaa? ?，得 23a? ， 1n? ； （ 4）由（ 1）题设知： ? ? ? ? ? ?2 2 24 1 68 1 5 8 3 ( ) 3fxg x a x x a a x x a xaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则函数 ()y gx? 的对称轴 4x a? ， 8a? 410,2x a ? ?，函数 ()y gx? 在 ? ?1,xt? 上单调减， ( ) ( ) (1)g t g x g?， t 是最大实数使得 ? ?1,xt? ，恒有 5 ( ) 5gx? ? ? 成立， 2( 1 ) 1 1 3 5 , ( 1 ) ( ) 1 1 8 3 ( 1 ) ( 8 ) 0g a g g t a a t t t a t a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2( ) 8 3 5g t at t? ? ? ? ? ?， 即 2 88at t?。
