1、 第1页（共24页） 2020-2021 学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数学试卷学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题的四个选项中，只有一分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）项正确） 1 （3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A （x+1） （x1）x21 Bx22x+1x（x2）+1 Ca（xy）axay Dx2+2x+1（x+1）2 3 （3 分）若分式有
2、意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx0 4 （3 分）下列不等式变形正确的是（ ） A由 4x10 得 4x1 B由 5x3 得 x15 C由2x4 得 x2 D由0 得 y0 5 （3 分）+的运算结果正确的是（ ） A B C Da+b 6 （3 分）如图，在 RtABC 中C90，BD 是ABC 的平分线，若 CD4，AB14，则 SABD（ ） A56 B28 C14 D12 7 （3 分） 如图， 将边长相等的正方形、 正五边形和正六边形摆放在平面上， 则1 为 （ ） 第2页（共24页） A32 B36 C40 D42 8 （3 分）如图，已知 ABAC，
3、AB10，BC6，以 A，B 两点为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M、 N，直线 MN 与 AC 相交于点 D， 则BDC 的周长为 （ ） A16 B20 C22 D26 9 （3 分）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第 2021 次闪烁呈现出来的图形是（ ） A B C D 10 （3 分）如图，在ABCD 中，已知 AD15cm，点 P 在 AD 边上以 1cm/s 的速度从点 A向点 D 运动，点 Q 在 BC 边上以 4cm/s 的速度从点 C 出发在 BC 上往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止运动（同时 Q 点也停止） ，
4、设运动时间为 t（s） （t0） ，若以 P、D、Q、B 四点为顶点的四边形是平行四边形，则 t 的值错误的是（ ） A6 B8 C10 D12 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：x24x 第3页（共24页） 12 （4 分）点 M（2，1）先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 13 （4 分）已知实数 x、y 满足|x6|+（y7）20，则以 x、y 的值为两边长的等腰三角形的周长为 14 （4 分）分式方程的解是 15 （4 分）ABCD 中，A+C200，则
5、A 16（4 分） 如图， ABC 中， ACB90， CDAB 交 AB 于点 D， A30， BD1.5cm，则 AD cm 17 （4 分）如图，在ABC 和ECD 中，ACBECD90，ACBC，ECDC，ABC 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上下列结论：连接 BD，BDC45；DABACE； AE+ACAD； AE2+AD22AC2 请写出所有正确结论的序号是 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 19 （6 分）先化简，再求值： （1），其中
6、 x2021 20 （6 分）如图，ABC 中，C90，A30，AB 边上的垂直平分线 DE，交 AC于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，求证：BD 平分CBA 第4页（共24页） 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，RtABC 的三个顶点分别为 A（2，2） ，B（0，5） ，C（0，2） （1）画A1B1C1，使它与ABC 关于点 C 成中心对称，则 A1的坐标为 （2）平移ABC，使点 B 的对应点 B2的坐标为（2，3） ，画出平
7、移后对应的A2B2C2，则 A2的坐标为 （3） 若将A1B1C1绕某一点旋转可得到A2B2C2， 则旋转中心的坐标为 22 （8 分）如图 1，在ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CFBC，连接 CD 和 EF （1）求证：四边形 DEFC 是平行四边形 （2）如图 2，当ABC 是等边三角形且边长是 8，求四边形 DEFC 的面积 第5页（共24页） 23 （8 分）2021 年 2 月 1 日后，南海区将用 1 年时间实现“双百目标” ，即全区生活垃圾分类示范 100%达标创建、生活垃圾八大产生源 100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“
8、提速”模式某小区准备购买 A、B 两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比 B 种垃圾桶每组的单价少 150 元， 且用 8000 元购买 A 种垃圾桶的组数量与用 11000 元购买 B 种垃圾桶的组数量相等 （1）求 A、B 两种垃圾桶每组的单价 （2）该小区物业计划用不超过 18000 元的资金购买 A、B 两种垃圾桶共 40 组则最多可以购买 B 种垃圾桶多少组？ 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线 l1：
9、y1kx+b（k0）与 x 轴交于点 A 且与直线 l2：y2x 交于点 B，并且有如下信息：当x2 时，y1y2；当 x2 时，y1y2当 y10 时，x4 根据信息解答下列问题： （1）求直线 l1的表达式 （2）过点 A 的直线 l3：y3与直线 l2交于点 C，求ABC 的面积 （3）若点 D 是 x 轴上的动点，点 E 是直线 AB 上的动点，是否存在以 A、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的 D 点坐标若不存在，请说明理由 25 （10 分）如图，两个全等的等边三角形ABC 与ACD，拼成的四边形 ABCD 中，AC6，点 E、F 分别为 AB
10、、AD 边上的动点，满足 BEAF，连接 EF 交 AC 于点 G，连接 第6页（共24页） BD 与 CE、AC、CF 分别交于点 M、O、N，且 ACBD （1）求证：CEF 是等边三角形 （2）AEF 的周长最小值是 （3）若 BE3，求证：BMMNDN 第7页（共24页） 2020-2021 学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数学试卷学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，在每小题的四个选项中，只有一分，在每小题的四个选项中，只有一项正
11、确）项正确） 1 （3 分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180， 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答 【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：A 2 （3 分）下列从左边到右边的变
12、形，属于因式分解的是（ ） A （x+1） （x1）x21 Bx22x+1x（x2）+1 Ca（xy）axay Dx2+2x+1（x+1）2 【分析】直接利用因式分解的意义分析得出答案 【解答】解：A、 （x+1） （x1）x21，从左到右是整式的乘法运算，不合题意； B、x22x+1（x1）2，不合题意； C、a（xy）axay，不合题意； D、x2+2x+1（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意 故选：D 第8页（共24页） 3 （3 分）若分式有意义，则 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 Cx2 Dx0 【分析】分式有意义的条件是分母不等于 0 【解答】解：分式有意义， x20
13、， x2， 故选：B 4 （3 分）下列不等式变形正确的是（ ） A由 4x10 得 4x1 B由 5x3 得 x15 C由2x4 得 x2 D由0 得 y0 【分析】根据不等式的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案 【解答】解：A、由 4x10 得 4x1，原变形错误，故此选项不符合题意； B、由 5x3 得 x，原变形错误，故此选项不符合题意； C、由2x4 得 x2，原变形错误，故此选项不符合题意； D、由0 得 y0，原变形正确，故此选项符合题意； 故选：D 5 （3 分）+的运算结果正确的是（ ） A B C Da+b 【分析】首先通分，把、都化成以 ab 为分母的分式，然后根据同
14、分母分式加减法法则，求出+的运算结果正确的是哪个即可 【解答】解：+ + 故+的运算结果正确的是 故选：C 第9页（共24页） 6 （3 分）如图，在 RtABC 中C90，BD 是ABC 的平分线，若 CD4，AB14，则 SABD（ ） A56 B28 C14 D12 【分析】过点 D 作 DEAB 于 E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DECD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解 【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于 E， BD 是ABC 的平分线，C90， DECD4， ABD 的面积ABDE14428 故选：B 7 （3 分） 如图， 将边长相等的正方形、 正
15、五边形和正六边形摆放在平面上， 则1 为 （ ） A32 B36 C40 D42 【分析】根据正多边形的内角，角的和差，可得答案 【解答】解：正方形的内角为 90， 正五边形的内角为108， 正六边形的内角为120， 13609010812042， 第10页（共24页） 故选：D 8 （3 分）如图，已知 ABAC，AB10，BC6，以 A，B 两点为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M、 N，直线 MN 与 AC 相交于点 D， 则BDC 的周长为 （ ） A16 B20 C22 D26 【分析】 利用基本作图得到 MN 垂直平分 AB， 利用线段垂直平分线的定义得到 DADB，
16、然后利用等线段代换得到BDC 的周长AC+BC 【解答】解：ABAC，AB10， AC10， 由作法得 MN 垂直平分 AB， DADB， BDC 的周长DB+DC+BCDA+DC+BCAC+BC10+616 故选：A 9 （3 分）如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第 2021 次闪烁呈现出来的图形是（ ） A B C D 【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项 【解答】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为 90，即每 4 次旋转一周， 20214505.1， 即第 2021 次与第 1 次的图案相同 故选：A 10 （3 分
17、）如图，在ABCD 中，已知 AD15cm，点 P 在 AD 边上以 1cm/s 的速度从点 A 第11页（共24页） 向点 D 运动，点 Q 在 BC 边上以 4cm/s 的速度从点 C 出发在 BC 上往返运动，两个点同时出发，当点 P 到达点 D 时停止运动（同时 Q 点也停止） ，设运动时间为 t（s） （t0） ，若以 P、D、Q、B 四点为顶点的四边形是平行四边形，则 t 的值错误的是（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】根据平行四边形的性质得出 DPBQ，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可 【解答】解：设经过 t 秒，以点 P、D、Q、B 为顶点组成平行四边形， P
18、在 AD 上运动， t15115，即 t15， 以点 P、D、Q、B 为顶点组成平行四边形， DPBQ， 分为以下情况：点 Q 的运动路线是 CBC， 由题意得：4t1515t， 解得：t6； 点 Q 的运动路线是 CBCB， 由题意得：15（4t30）15t， 解得：t10； 点 Q 的运动路线是 CBCBC， 由题意得：4t4515t， 解得：t12； 综上所述，t 的值为 6 或 10 或 12， 故选：B 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 28 分）分） 11 （4 分）因式分解：x24x x（x4） 【分析】直接提取公因式 x，
19、进而分解因式得出即可 【解答】解：x24xx（x4） 第12页（共24页） 故答案为：x（x4） 12 （4 分）点 M（2，1）先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标是 （1，1） 【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案 【解答】解：点 M（2，1）先向左平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度得到的点的坐标是（23，1+2） ，即（1，1） ， 故答案为： （1，1） 13 （4 分）已知实数 x、y 满足|x6|+（y7）20，则以 x、y 的值为两边长的等腰三角形的周长为 19 或 20 【分析】先根据非负数的性质列式求
20、出 x、y 的值，再分 x 的值是腰长与底边两种情况讨论求解 【解答】解：根据题意得 x60，y70， 解得 x6，y7， 6 是腰长时，三角形的三边分别为 6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为 19 6 是底边时，三角形的三边分别为 6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为 20 故答案为 19 或 20 14 （4 分）分式方程的解是 x3 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】解：去分母得：x3（x2） ， 去括号得：x3x6， 解得：x3， 经检验 x3 是分式方程的解 15 （4 分）ABCD 中，A+C200，
21、则A 100 【分析】根据平行四边形的对角相等，可得AC，又由A+C200，可得A的度数 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， AC， 又A+C200， 第13页（共24页） A100 故答案是：100 16（4 分） 如图， ABC 中， ACB90， CDAB 交 AB 于点 D， A30， BD1.5cm，则 AD 4.5 cm 【分析】根据同角的余角相等求出BCDA30，再根据 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 BC、AB 的长，然后根据 ADABBD 计算即可得解 【解答】解：ACB90，CDAB， BCD+ACD90，A+ACD90， BCDA30， BD1.5cm，
22、BC2BD3cm，AB2BC6cm， ADABBD4.5cm 故答案是：4.5 17 （4 分）如图，在ABC 和ECD 中，ACBECD90，ACBC，ECDC，ABC 的顶点 A 在ECD 的斜边 DE 上下列结论：连接 BD，BDC45；DABACE；AE+ACAD；AE2+AD22AC2请写出所有正确结论的序号是 【分析】由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出正确；由 SAS 证出ACEBCD，正确；证出ADB 是直角三角形，由勾股定理得出正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出不正确；即可得出答案 【解答】解：ABC 和ECD 都是等腰直角三角形， 第14页（共24页） C
23、ACB，CECD，ACBECD90，ECDE45，CABCBA45， DAB+CABACE+E， DABACE，故正确； ACE+ACDACD+DCB90， ACEDCB， 在ACE 和BCD 中， ， ACEBCD（SAS） ， CDBE45，故正确； AEBD，CEACDB45， ADBCDB+EDC90， ADB 是直角三角形， AD2+BD2AB2， AD2+AE2AB2， ABC 是等腰直角三角形， ABAC， AE2+AD22AC2，故正确； 在 AD 上截取 DFAE，连接 CF，如图所示： 在ACE 和FCD 中， ， ACEFCD（SAS） ， ACFC， 当CAF60时，A
24、CF 是等边三角形， 则 ACAF，此时 AE+ACDF+AFAD，故不正确； 故答案为： 第15页（共24页） 三、解答题（一） （本大题三、解答题（一） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分）分） 18 （6 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集 【解答】解：解得：x2， 解得：x1， 不等式组的解集是 x2，将不等式组的解集表示在数轴上如下： 19 （6 分）先化简，再求值： （1），其中 x2021 【分析】根据分式的减法和除法可以化简
25、题目中的式子，然后将 x 的值代入化简后的式子即可解答本题 【解答】解： （1） ， 当 x2021 时，原式 20 （6 分）如图，ABC 中，C90，A30，AB 边上的垂直平分线 DE，交 AC 第16页（共24页） 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，求证：BD 平分CBA 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 ADBD，根据等腰三角形的性质得到ABDA30， 根据直角三角形的两锐角互余求出ABC， 根据角平分线的定义证明结论 【解答】证明：DE 是 AB 边上的中垂线，A30， ADBD， ABDA30， C90， ABC90A903060， CBDABCABD603030，
26、ABDCBD， BD 平分CBA 四、解答题（二） （本大题四、解答题（二） （本大题 3 小题，每小题小题，每小题 8 分，共分，共 24 分）分） 21 （8 分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度，RtABC 的三个顶点分别为 A（2，2） ，B（0，5） ，C（0，2） （1） 画A1B1C1， 使它与ABC 关于点 C 成中心对称， 则 A1的坐标为 （2， 2） （2）平移ABC，使点 B 的对应点 B2的坐标为（2，3） ，画出平移后对应的A2B2C2，则 A2的坐标为 （4，6） （3）若将A1B1C1绕某一点旋转可得到A2B2C2，则旋转中心的坐标为 （1，
27、2） 第17页（共24页） 【分析】 （1）利用旋转变换的性质分别作出 A，B 的对应点 A1，B1即可 （2）利用平移变换的性质分别作出 A，B，C 的对应点 A2，B2，C2即可 （3）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心 【解答】解： （1）如图，A1B1C1即为所求，A1的坐标为（2，2） 故答案为： （2，2） （2）如图，A2B2C2即为所求，A2的坐标为（4，6） 故答案为： （4，6） （3）旋转中心 P 的坐标为（1，2） ， 故答案为： （1，2） 22 （8 分）如图 1，在ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CFBC，连接 C
28、D 和 EF （1）求证：四边形 DEFC 是平行四边形 第18页（共24页） （2）如图 2，当ABC 是等边三角形且边长是 8，求四边形 DEFC 的面积 【分析】 （1）由三角形中位线定理得 DEBC，DEBC，再由 CFBC，得 DECF，即可得出结论； （2）过点 D 作 DHBC 于 H，由等边三角形的性质得B60，BDAB4，则BDH30，再由含 30角的直角三角形的性质得 BHDB2，由勾股定理得 DH2，然后由 CFCB4，即可求解 【解答】 （1）证明：D、E 分别为 AB、AC 的中点， DE 是ABC 的中位线， DEBC，DEBC， CFBC， DECF， 四边形 D
29、EFC 是平行四边形 （2）解：过点 D 作 DHBC 于 H，如图 2 所示： ABC 是等边三角形，D 为 AB 的中点 B60，BDAB4， DHB90， BDH30， BHDB2， DH， CFCB4， S四边形DEFCCFDH428 第19页（共24页） 23 （8 分）2021 年 2 月 1 日后，南海区将用 1 年时间实现“双百目标” ，即全区生活垃圾分类示范 100%达标创建、生活垃圾八大产生源 100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式某小区准备购买 A、B 两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比 B 种垃圾桶每组的单价少 150 元，
30、且用 8000 元购买 A 种垃圾桶的组数量与用 11000 元购买 B 种垃圾桶的组数量相等 （1）求 A、B 两种垃圾桶每组的单价 （2）该小区物业计划用不超过 18000 元的资金购买 A、B 两种垃圾桶共 40 组则最多可以购买 B 种垃圾桶多少组？ 【分析】 （1）设 A 种垃圾桶每组的单价为 x 元，则 B 种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，利用数量总价单价，结合用 8000 元购买 A 种垃圾桶的组数量与用 11000 元购买 B种垃圾桶的组数量相等，即可得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购买 B 种垃圾桶 y 组，则购买 A 种垃圾桶（40y）组
31、，利用总价单价数量，结合总价不超过 18000 元，即可得出关于 y 的一元一次不等式，解之即可得出 y 的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论 【解答】解： （1）设 A 种垃圾桶每组的单价为 x 元，则 B 种垃圾桶每组的单价为（x+150）元， 依题意得：， 解得：x400， 经检验，x400 是原方程的解，且符合题意， x+150400+150550（元） 答：A 种垃圾桶每组的单价为 400 元，B 种垃圾桶每组的单价为 550 元 第20页（共24页） （2）设购买 B 种垃圾桶 y 组，则购买 A 种垃圾桶（40y）组， 依题意得：400（40y）+550y18000， 解
32、得：y， 又y 为正整数， y 的最大值为 13 答：最多可以购买 B 种垃圾桶 13 组 五、解答题（三） （本大题五、解答题（三） （本大题 2 小题，每小题小题，每小题 10 分，共分，共 20 分）分） 24 （10 分）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线 l1：y1kx+b（k0）与 x 轴交于点 A 且与直线 l2：y2x 交于点 B，并且有如下信息：当x2 时，y1y2；当 x2 时，y1y2当 y10 时，x4 根据信息解答下列问题： （1）求直线 l1的表达式 （2）过点 A 的直线 l3：y3与直线 l2交于点 C，求ABC 的面积 （3）若点
33、D 是 x 轴上的动点，点 E 是直线 AB 上的动点，是否存在以 A、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的 D 点坐标若不存在，请说明理由 【分析】 （1）结合题目信息，利用数形结合思想确定 A 点和 B 点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式； （2）联立方程组，求得 C 点坐标，然后利用三角形面积公式计算求解； （3）设 E 点坐标为（x，x+2） ，D 点坐标为（m，0） ，然后分当 AC，DE 为平行四边形的对角线时，当 AD，CE 为平行四边形的对角线时，当 AE，CD 为平行四边形的对角线时三种情况列方程组求解 第21页（共24页） 【解答】解
34、： （1）当 x2 时，y1y2；当 x2 时，y1y2， 点 B 的横坐标为 2， 当 x2 时，y223， 直线 l1，l2的交点坐标为 B（2，3） ， 当 y10 时，x4， 直线 l1与 x 轴的交点坐标为 A（4，0） ， 将 A（4，0） ，B（2，3）代入 y1kx+b 中， ， 解得：， 直线 l1的表达式为 y1x+2； （2）联立， 解得：， 直线 l2，l3的交点坐标为 C（1，） ， SABC9； （3）存在， 点 E 是直线 AB 上的动点，点 D 是 x 轴上的动点， 设 E 点坐标为（x，x+2） ，D 点坐标为（m，0） ， 又A（4，0） ，C（1，） ，
35、在以 A、C、D、E 为顶点的四边形是平行四边形中， 当 AC，DE 为平行四边形的对角线时， ，解得， 此时 D 点坐标为（2，0） ， 当 AD，CE 为平行四边形的对角线时， 第22页（共24页） ，解得， 此时 D 点坐标为（2，0） ， 当 AE，CD 为平行四边形的对角线时， ，解得， 此时 D 点坐标为（10，0） ， 综上，满足条件的点 D 的坐标为（2，0）或（10，0） 25 （10 分）如图，两个全等的等边三角形ABC 与ACD，拼成的四边形 ABCD 中，AC6，点 E、F 分别为 AB、AD 边上的动点，满足 BEAF，连接 EF 交 AC 于点 G，连接BD 与 C
36、E、AC、CF 分别交于点 M、O、N，且 ACBD （1）求证：CEF 是等边三角形 （2）AEF 的周长最小值是 6+3 （3）若 BE3，求证：BMMNDN 【分析】 （1）证明BECAFC（SAS） ，可得结论 （2）AEF 的周长AE+AF+EFAE+BE+EFAB+EF6+EF，推出 EF 的值最小时，AEF 的周长最小，因为ECF 是等边三角形，推出 EFCE，推出当 CEAB 时，CE的值最小 （3）求出 BD6，再求出 BMDN2，可得 BMMNDN2解决问题 【解答】 （1）证明：ABC，ACD 是全等的等边三角形， ACBC，ABCDACBCA60， AFBE，在CBE
37、和CAF 中， ， 第23页（共24页） BECAFC（SAS） ， CECF，BCEACF， BCE+ACEACF+ACE， ECFBCA60， CEF 是等边三角形 （2）解：AEF 的周长AE+AF+EFAE+BE+EFAB+EF6+EF， EF 的值最小时，AEF 的周长最小， ECF 是等边三角形， EFCE， 当 CEAB 时，CE 的值最小，此时 CEACsin603， AEF 的周长的最小值为 6+3， 故答案为：6+3 （3）证明：ABC，ACD 是全等的等边三角形，ACBD AOCO，BODO，ABOABC30 BE3，ABAC6， 点 E 为 AB 中点，点 F 为 AD 中点， AOAB3， BO， BD6， ABC 是等边三角形，BEAE3， CEAB， BM2EM， BM2， 同理可得 DN2， MNBDBMDN2 第24页（共24页） BMMNDN
