1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 三角函数的图象和性质 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 =【 ;精品教育资源文库 】 = 必会结论 1函数 y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为 T 2| |，函数 ytan(x )的最小正周期为 T | |. 2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 14周期而正切曲线相邻两对称中心之间的距离 是半周期 3三角函数中奇函数一般可化为 y Asinx 或 y Atanx 的形式，而偶函数一般可化为 y Acosx
2、b 的形式 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)y cosx 在第一、二象限内是减函数 ( ) (2)函数 y sin? ?2x 32 是偶函数，最小正周期为 .( ) (3)函数 y sinx 的对称轴方程为 x 2k 2(k Z) ( ) (4)函数 y tanx 在整个定义域上是增函数 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 (1) (2) (3) (4) 2 课本改编 若函数 f(x) cos2x，则 f(x)的一个递增区间为 ( ) A.? ? 4 ， 0 B.? ?0， 2 C.? ? 2 ， 34 D.? ?34 ， 答案 B 解析
3、 由 f(x) cos2x 知递增区间为 ? ?k ， k 2 ， k Z，故只有 B 项满足 3 2018 福建模拟 函数 f(x) sin? ?x 4 的图象的一条对称轴是 ( ) A x 4 B x 2 C x 4 D x 2 答案 C 解析 由 x 4 2 k ，得 x k 34 ，当 k 1 时， x 4. 4 2018 厦门模拟 函数 y 2sin? ?2x 4 1 的图象的一个对称中心的坐标是( ) A.? ?38 ， 0 B.? ?38 ， 1 C.? ? 8 ， 1 D.? ? 8 ， 1 答案 B 解析 对称中心的横坐标满足 2x 4 k ，解得 x 8 k2 ， k Z.
4、当 k 1 时， x 38 ， y 1.故选 B. 5 课本改编 函数 y tan? ? 4 x 的定义域是 ( ) A x? ?x 4 B x? ?x 4 C x? ?x k 4 ， k Z D x? ?x k 34 ， k Z 答案 D 解析 y tan? ? 4 x tan? ?x 4 ，由 x 4 2 k ， k Z，得 x k 34 ， k Z.故选 D. 6函数 y 3 2cos? ?x 4 的最大值为 _，此时 x _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 5 34 2k( k Z) 解析 函数 y 3 2cos? ?x 4 的最大值为 3 2 5，此时 x 4 2k( k
5、Z)，即 x 34 2k( k Z) 板块二 典例探究 考向突破 考向 三角函数的定义域、值域 例 1 (1)2018 烟台模拟 函数 y cosx 32 的定义域为 ( ) A.? ? 6 ， 6 B.? ?k 6 ， k 6 (k Z) C.? ?2k 6 ， 2k 6 (k Z) D R 答案 C 解析 cosx 32 0 ，得 cosx 32 ， 2k 6 x2 k 6 ， k Z. (2)函数 y 2sin? ? 6x 3 (0 x9) 的最大值与最小值之和为 _ 答案 2 3 解析 0 x9 ， 3 6x 3 76 ， 32 sin ? ? 6x 3 1 ， 故 32sin ? ?
6、 6 3 2. 即函数 y 2sin? ? 6x 3 (0 x9) 的最大值为 2，最小值为 3.所以最大值与最小值的和为 2 3. 本例 (2)中的函数换为 “ y 3 sinx 2cos2x， x?6 ，76 ” ，如何解答？ 解 x ? ? 6 ， 76 ， sinx ? ? 12， 1 . 又 y 3 sinx 2cos2x 3 sinx 2(1 sin2x) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2? ?sinx 14 2 78， 当 sinx 14时， ymin 78； 当 sinx 12或 sinx 1 时， ymax 2. 故函数的最大值与最小值的和为 2 78 238. 本例 (
7、2)中的函数换为 “ y sinx cosx sinxcosx， x 0， ” ，又该如何解答？ 解 令 t sinx cosx，又 x 0， ， t 2sin? ?x 4 ， t 1， 2 由 t sinx cosx， 得 t2 1 2sinxcosx， 即 sinxcosx 1 t22 . 原函数变为 y t 1 t22 ， t 1， 2 即 y 12t2 t 12. 当 t 1 时， ymax 12 1 12 1； 当 t 1 时， ymin 12 1 12 1. 故函数的最大值与最小值的和为 1 1 0. 触类旁通 三角函数定义域、值域的求解策略 (1)求三角函数的定义域实际上是构造简
8、单的三角不等式 (组 )，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解 (2)求解三角函数的值域 (最值 )，首先把三角函数化为 y Asin(x ) k 的形式，再求最值 (值域 )，或用换元法 (令 t sinx，或 t sinxcos x)化为关于 t 的二次函数求值域 (最值 ) (3)换元法的应用：把 sinx 或 cosx 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域 (最值 )问题此时注意所换元的取值范围 【变式训练 1】 (1)函数 y 2sinx 1的定义域为 ( ) A.? ? 6 ， 56 B.? ?2k 6 ， 2k 56 (k Z) =【 ;精品教育资源文库 】 = C
9、.? ?2k 6 ， 2k 56 (k Z) D.? ?k 6 ， k 56 (k Z) 答案 B 解析 由 2sinx 10 ，得 sinx 12，所以 2k 6 x2 k 56 (k Z) (2)函数 y cos? ?x 6 ， x ? ?0， 2 的值域是 _ 答案 ? ? 12， 32 解析 x ? ?0， 2 ， x 6 ? ? 6 ， 23 ， y ? ? 12， 32 . 考向 三角函数的单调性 例 2 已知函数 f(x) 2sin? ?2x 4 ( 0)的最小正周期为 . (1)求 的值； (2)讨论 f(x)在区间 ? ?0， 2 上的单调性 解 (1)因为 f(x) 2si
10、n? ?2x 4 的最小正周期为 ，且 0.从而有 22 ，故 1. (2)因为 f(x) 2sin? ?2x 4 . 若 0 x 2 ，则 4 2 x 4 54 . 当 4 2 x 4 2 ，即 0 x 8 时， f(x)单调递增； 当 2 2x 4 54 ，即 8 x 2 时， f(x)单调递减 综上可知， f(x)在区间 ? ?0， 8 上单调递增， 在区间 ? ? 8 ， 2 上单调递减 触类旁通 三角函数单调性问题的解题策略 (1)求形如 y Asin(x )或 y Acos(x )(其中， 0)的单调区间时，要视“ x ” 为一个整体，通过解不等式求解但如果 0)在区间 ? ?0，
11、 23 上单调递减，则有 23 T2，即 T 43 ，所以 T 2 43 ，解得 32.所以 的值可以是 12.故选 A. (2)函数 y sin? ? 3 2x 的递增区间是 _ 答案 ? ?k 512 ， k 1112 (k Z) 解析 y sin? ?2x 3 ， 2k 2 2 x 3 2 k 32 k 512 x k 1112 (k Z) 考向 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 命题角度 1 三角函数的周期性与奇偶性 例 3 2018 长沙模拟 设函数 f(x) 2sin? ?x 4 ? ? 0， | |0,00)的形式 2.函数 y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周
12、期为 2| |， y tan(x )的最小正周期为 | |. 3.对于函数的性质 (定义域、值域、单调性、对称性、最值等 )可以通过换元的方法令 t x ，将其转化为研究 y sint 的性质 满分策略 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最 值的影响 2.要注意求函数 y Asin(x )的单调区间时 的符号，尽量化成 0 时的情况 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的 . 板块三 启智培优 破译高考 数学思想系列 4 三角函数中的分类讨论思想 2018 龙岩模拟 已知函数 f(x) 2asin? ?2x 6 a b 的定义域是 ? ?0， 2 ，值 域是 5,1，求 a， b 的值 解题视点 先求出 2x 6 的范围，再求出 sin? ?2x 6 的值域； 系数 a 的正、负影响着 f(x)的值，因而要分 a0， a0 或 a0 时，? b 5，3a b 1， 解得 ? a 2，b 5. 当 a0 或 a2 ，即图象 A；当 a1 时，三角函数的最大值为 a 1 2，且最小正周期为 T 2a 2 ，即图象 B. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标
