1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 正弦定理和余弦定理 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 正弦定理 asinAbsinBcsinC 2R， 其中 2R 为 ABC 外接圆的直径 变式： a 2RsinA， b 2RsinB， c 2RsinC. a b c sinA sinB sinC. 考点 2 余弦定理 a2 b2 c2 2bccosA； b2 a2 c2 2accosB； c2 a2 b2 2abcosC. 变式： cosA b2 c2 a22bc ； cosBa2 c2 b22ac ； cosC a2 b2 c22ab . sin2A sin2B sin2C 2
2、sinBsinCcosA. 考点 3 在 ABC 中，已知 a， b 和 A 时，三角形解的情况 A 为锐角 A 为钝角或直角 图形 关系式 a bsinA bsinAb ab 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 考点 4 三角形中常用的面积公式 1 S 12ah(h 表示边 a 上的高 ) 2 S 12bcsinA 12acsinB 12absinC. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3 S 12r(a b c)(r 为三角形的内切圆半径 ) 必会结论 在 ABC 中，常有以下结论 (1) A B C . (2)在三角形中大边对大角，大角对大边 (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之
3、差小于第三边 (4)sin(A B) sinC； cos(A B) cosC； tan(A B) tanC； sinA B2 cosC2；cosA B2 sinC2. (5)tanA tanB tanC tanAtan Btan C. (6) A B?ab?sinAsinB?cosA0， sinA 1， A 2 ，故 ABC 为直角三角形 本例条件变为若 ab cosBcosA，判断 ABC 的形状 解 由 ab cosBcosA，得 sinAsinB cosBcosA， sinAcosA cosBsinB， sin2A sin2B. A、 B 为 ABC 的内角， 2A 2B 或 2A 2B
4、， A B 或 A B 2 ， ABC 为等腰三角形或直角三角形 本例条件变为若 a 2bcosC，判断 ABC 的形状 解 解法一：因为 a 2bcosC，所以由余弦定理得， a 2b a2 b2 c22ab ，整理得 b2 c2，则此三角形一定是等腰三角形 解法二： sinA 2sinBcosC， sin(B C) 2sinBcosC， sin(B C) 0， 0，于是有 cosB0， B 为钝角，所以 ABC 是钝角三角形 触类旁通 判定三角形形状的两种常用途径 (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通
5、过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断 =【 ;精品教育资源文库 】 = 提醒 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角 A， B， C 的范围对三角函数值的影响 【变式训练 2】 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边的长分别为 a， b， c，若 asinA bsinB csinC，则 ABC 的形状是 ( ) A锐 角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不确定 答案 C 解析 根据正弦定理可得 a2 b2 c2.由余弦定理的推论得 cosC a2 b2 c22ab 0，故 C是钝角 考向 与三角形面积有关的问题 例 3 2017
6、全国卷 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 ABC 的面积为 a23sinA. (1)求 sinBsinC； (2)若 6cosBcosC 1， a 3，求 ABC 的周长 解 (1)由题设得 12acsinB a23sinA，即12csinBa3sinA. 由正弦定理得 12sinCsinB sinA3sinA . 故 sinBsinC 23. (2)由题设及 (1)得 cosBcosC sinBsinC 12， 即 cos(B C) 12.所以 B C 23 ，故 A 3. 由题意得 12bcsinA a23sinA， a 3，所以 bc 8. 由余弦定理得
7、 b2 c2 bc 9， 即 (b c)2 3bc 9.由 bc 8，得 b c 33. 故 ABC 的周长为 3 33. 触类旁通 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S 12absinC 12acsinB 12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【变 式训练 3】 2017 全国卷 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知sinA 3cosA 0， a 2 7， b 2. (1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC，
8、求 ABD 的面积 解 (1)由已知可得 tanA 3，所以 A 23 . 在 ABC 中，由余弦定理得 28 4 c2 4ccos23 ， 即 c2 2c 24 0， 解得 c 6(舍去 )或 c 4. (2)由题设可得 CAD 2 ， 所以 BAD BAC CAD 6. 故 ABD 面积与 ACD 面积的比值为 12AB ADsin612AC AD 1. 又 ABC 的面积为 1242sin BAC 2 3， 所以 ABD 的面积为 3. 核心规律 1.在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正弦定理、余弦定理即可求解 2.在 ABC 中，已知
9、a， b 和 A，利用正弦定理时，会出现解的不确定性，一般可根据 “ 大边对大角 ” 来取舍 满分策略 1.在解三角形中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号，防止出现增解等扩大范围的现象 2.在判断三角形的形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解 . 板块三 启智培优 破译高考 题型技法系列 6 利用均值不等式破解三角函数最值问题 2016 山东高考 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 2(tanA tanB)=【 ;精品教育资源文库 】 = tanAcosB tanBcosA.
10、(1)证明： a b 2c； (2)求 cosC 的最小值 解题视点 (1)首先把切函数转化为弦函数，将分式化为整式，然后根据和角公式及三角形内角和定理化简，最后根据正弦定理即可证明； (2)首先根据 (1)中的结论和余弦定理表示出 cosC，然后利用基本不等式求解最值 解 (1)证明：由题意知 2? ?sinAcosA sinBcosB sinAcosAcosB sinBcosAcosB，化简得 2(sinAcosBsinBcosA) sinA sinB， 即 2sin(A B) sinA sinB. 因为 A B C ，所以 sin(A B) sin( C) sinC，从而 sinA si
11、nB 2sinC.由正弦定理得 a b 2c. (2)由 (1)知 c a b2 ， 所以 cosC a2 b2 c22ab a2 b2 ? ?a b2 22ab 38? ?ab ba 14 34 14 12， 当且仅当 a b 时，等号成立 故 cosC 的最小值为 12. 答题启示 对于含有 a b， ab 及 a2 b2的等式，求其中一个的范围时，可利用基本不等式转化为以该量为变量的不等式求解 . 跟踪 训练 已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 ctanC 3(acosB bcosA) (1)求角 C； (2)若 c 2 3，求 ABC 面积的最大值
12、解 (1) ctanC 3(acosB bcosA)， sinCtanC 3(sinAcosB sinBcosA)， sinCtanC 3sin(A B) 3sinC， 0 C ， sinC0 ， tanC 3， C 3. (2) c 2 3， C 3 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC，得 12 a2 b2 ab2 ab ab， ab12 ， S ABC 12absinC3 3， 当且仅当 a b 2 3时， ABC 的面积取得最大值 3 3. 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 北京西城期末 已知 ABC 中， a 1
13、， b 2， B 45 ，则 A 等于 ( ) A 150 B 90 C 60 D 30 答案 D 解析 由正弦定理，得 1sinA 2sin45 ，得 sinA 12.又 ab， AB 45. A 30.故选 D. 2在 ABC 中， a， b， c 分别是内角 A， B， C 的对边若 bsinA 3csinB， a 3， cosB 23，则 b ( ) A 14 B 6 C. 14 D. 6 答案 D 解析 bsinA 3csinB?ab 3bc?a 3c?c 1， b2 a2 c2 2accosB 9 1231 23 6， b 6.故选 D. 3 2018 甘肃张掖月考 在 ABC 中
14、，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，若 c 2a，bsinB asinA 12asinC，则 sinB 为 ( ) A. 74 B.34 C. 73 D.13 答案 A 解析 由 bsinB asinA 12asinC，且 c 2a，得 b 2a， cosB a2 c2 b22ac a2 4a2 2a24a2 34， sinB 1 ?342 74 . 4设 A 是 ABC 的一个内角，且 sinA cosA 23，则这个三角形是 ( ) A锐角三角形 B钝角三 角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 答案 B 解析 将 sinA cosA 23两边平方得 sin2A 2sinAcos A cos2A 49，又 sin2A cos2A
